研究生數學建模課程的教學規劃與設計

胡小寧，鄭立飛

（西北農林科技大學理學院 陜西 楊凌 712100）

全國研究生數學建模競賽起源于2003 年，是“全國研究生創新實踐系列活動”的主題賽事之一，由教育部學位與研究生教育發展中心主辦。數學建模強調運用數學方法解決實際問題，培養人的理性思維、團隊精神和創新創造能力。研究生通過參加數學建模活動極大地提高了分析問題、解決問題的能力，數學建模活動對研究生的動手能力和創新能力培養起到了強有力的推動作用，為提高研究生培養質量奠定了重要的知識和能力基礎。

目前國內鮮有高校開設面向研究生的數學建模課程，并且在教學內容和方法上很少有深入的討論和分析。一方面是人們關注的重點主要集中在學生數量多、影響較廣的大學本科層次的數學建模教學上，對于研究生層面關注不夠；另一方面是研究生的數學基礎、專業以及研究方向各不相同，這也為數學建模課程的組織帶來了不少麻煩。

研究生數學建模與本科生相比，對參賽者掌握知識的深度和廣度提出了更高要求。研究生建模本質上來說更接近科學研究，解決的問題往往是科學前沿的問題，需要更為復雜和高深的數學工具。與本科生數學建模課程相區別，研究生建模課程更應該注重數學理論知識的講解，使學生真正學會融會貫通。對于非理工類專業學生而言，其數學基礎相對薄弱，如果授課中直接講解枯燥高深的數學理論知識，勢必會降低學生的參賽積極性。尤其是在新形勢下，研究生數學建模中涉及諸多人工智能和基于大數據的機器學習方面的問題，故而培訓過程中需要加強對研究生計算機編程能力的培養。

本文將結合多年指導研究生數學建模的經驗，總結并提出研究生數學建模課程的教學規劃和設計，發揮課程思政在數學建模教學中的作用，建立過程化考核的具體方案，以期助力研究生建模能力的培養和提升。

1 課程規劃和設計

筆者通過對歷年全國研究生數學建模競賽題目的分析，總結出常用的建模方法，確定以軟件操作、微分方程、統計模型、優化模型、綜合評價和智能算法等6 個知識模塊組成數學建模課程的授課體系。

1.1 軟件操作

軟件操作是數學建模必須掌握的內容，是求解模型的必備工具。MATLAB 是數學建模中最常用的軟件，是備受大家認可的最優秀的數學模型求解工具之一。MATLAB軟件語法命令容易上手，其數學函數非常齊全，可以求解絕大多數數學問題。該軟件使用靈活，可以按照不同問題的需求，自主設計程序求解問題。課程中可以以MATLAB為例，講解程序設計的基礎語法、繪圖功能和文件操作，以此為基礎學生可以自學其他軟件，如Python、R、SPSS 等，為求解數學建模問題打下良好基礎。

1.2 微分方程模型

微分方程模型是數學建模的重要方法，因為許多實際問題的數學描述可轉化為求解微分方程的定解問題。建立微分方程模型首先需要根據實際問題確定要研究的變量和參數，并確定坐標系，然后找出變量符合的物理學、生物學等客觀規律，最后根據這些規律建立方程和定解條件并求解。如果所研究問題的客觀規律并不清晰，則需要根據實際背景和數據資料提出假設，運用模擬近似的方法建立微分方程并求解。課程中需要講解一階常微分方程及其數值解法、高階常微分方程及其數值解法、常微分方程組、時滯微分方程、一維偏微分方程、二維偏微分方程等內容，該部分內容數學原理性較強，難度稍大，可以基于軟件講解微分方程的解法，有利于學生直觀地掌握微分方程及其解法，提升學生動手求解方程的能力。

1.3 統計模型

統計模型以概率論為基礎，利用數理統計方法建立模型。統計模型研究的是隨機現象，其變量一般不具有特定的值，而是滿足某一概率分布。統計模型的思維方式是歸納法，即從數據中總結、提取規律性特征，建立反映客觀現實的一般性模型。統計模型是整理、分析、描述數據的重要手段，是對研究對象進行推斷和預測的有力工具。建立統計模型通常包括收集數據、數據預處理、尋找合適的模型、模型的驗證和結果的解釋等步驟。學生需要掌握線性回歸、含定性變量的回歸、非線性回歸、方差分析、主成分分析、聚類分析和判別分析等模型的建立方法。該部分內容雖然數學理論相對復雜，但操作性強，可以采用案例教學法進行講解，使得學生首先掌握模型的思想，能夠熟練應用軟件建立統計模型，然后在學有余力的情況下，盡可能了解統計模型的數學原理。

1.4 優化模型

優化模型所解決的問題是：在一系列約束條件下，確定可選變量的取值，使得所建目標函數達到最優。優化模型包括變量、約束條件、目標函數三個基本要素。優化模型在數學建模中占有舉足輕重的地位，許多實際問題都可以轉化為最優化求解問題。優化模型是運用整數規劃、線性規劃、非線性規劃以及圖論等方法所確定的求解最優方案的模型。建立優化模型需要根據題目要求制訂目標變量和目標函數表達式，并建立約束條件。建立模型往往并不困難，如何求解才是困擾學生的難題。因此，優化模型的講解重點在于模型的求解，該部分必須強化軟件操作的訓練。

1.5 綜合評價模型

綜合評價模型也是數學建模中常用的方法。綜合評價模型包括兩個內容，即指標體系的構建和權重的計算。其中權重的計算一般可分為兩類方法，一類是主觀賦權法，采用咨詢評分或專家打分的方式確定權重；另一類是客觀賦權法，根據指標之間的相關性或變異程度確定權重。常用的權重計算方法包括灰色關聯分析法、主成分分析法、秩和比綜合評價法、TOPSIS、模糊綜合評價法。權重計算的數學理論雖然較為復雜，但實際使用中利用計算機軟件進行求解反而顯得較為簡單。綜合評價模型的難點是指標體系的構建，這部分內容需要結合實際案例強化練習，總結經驗。

1.6 智能算法模型

隨著大數據時代的來臨，近些年來大數據分析越來越多地出現在數學建模競賽題目中，智能算法就越發顯得重要。智能算法又被稱為“軟計算”，其利用仿生學原理進行模型設計和計算，在解決一些復雜問題時起到重要作用。智能算法模型一般求解的是最優化問題，通常需要大量數據來建立模型。常用的方法包括模擬退火算法、遺傳算法、支持向量機、神經網絡、決策樹、隨機森林等。該部分內容對計算機編程能力提出了更高的要求，因此需要加強學生上機實習的力度，從而提高學生程序編寫和糾錯的能力。

2 數學建模課程思政

數學建模是將現實生活中的實際問題抽象提取為一個數學問題，并進行建模和求解的過程。數學建模和實際問題聯系緊密，其中蘊含了豐富的思政元素。在數學建模教學過程中，可以充分發掘實際案例中的思政元素，既有利于提高學生解決現實問題的動手能力，也有利于正確價值觀、人生觀的培養和形成。數學建模課程可以從以下幾個方面融入思政元素。

2.1 科學家精神中的思政元素

數學建模所研究問題涉及眾多學科和現實問題，每個學科的發展和現實問題的解決都離不開科學家的身影，科學家的學習經歷、科研歷程中蘊含豐富的思政元素。他們心系祖國、不畏艱苦、敢于鉆研、追求真理、淡泊名利、嚴謹治學、甘于奉獻，形成了新時代偉大的科學家精神。在建模課程講解的過程中，相應知識點可以引入科學家人物介紹，用科學家精神激勵學生努力學習，在建模中勇于創新，獲得更好的成績。

2.2 科技史中的思政元素

每項科學技術的發明創造乃至科學技術的發展歷史中都蘊含了思政元素。我國古代造紙術、印刷術、指南針、火藥的發明，不僅對中國的經濟社會發展作出了巨大貢獻，也為世界的科技和文明史產生了重大影響。“兩彈一星”、高鐵、5G、載人航天等科學技術的發展，使得我國在多個領域躋身世界前列。建模課程中融入這些元素，可以激發學生的民族自豪感和自信心，激勵學生以積極的姿態投身祖國的建設事業。

2.3 時事案例中的思政元素

數學建模是利用數學方法求解現實問題，因此實事案例是數學建模的研究對象。建模課程可以在案例中挖掘思政元素。如在講解微分方程模型時，可以聯系當下的新冠肺炎疫情講解傳染病模型，通過在傳染病模型中增加參數實現模型的改進演化，介紹為什么要采取隔離措施，封控區、管控區和防范區所起的作用是什么。通過講解，既能夠讓學生掌握建模知識，也能夠讓學生了解抗疫常識、自覺配合做好疫情防護工作。

3 過程化考核

數學建模是一門實踐性較強并且具有開放性的課程，正式的競賽需要3 人組成團隊經歷72 小時獲得問題的求解方案，因此，其考核方式不易采用普通課程的試卷考試方式。經過多年的實踐探索，過程化考核比較適用于本課程。

過程化考核方案包括以下3 個方面：①平時成績占課程總評的10%，包括課堂提問和出勤記錄，有利于提高學生參與課堂的積極性。②每個知識模塊講解結束后，針對該模塊設計一個小型案例題，在規定時間內每個人單獨作答，形成求解方案提交，并給出每個人的分數。6 個知識模塊共占課程總評成績的60%。這樣做便于老師了解學生對每個模塊的掌握程度，也便于學生查漏補缺，發現知識掌握的短板并在后續的學習中加以補齊。③課程講解結束后，設計一個綜合案例，按照數學建模競賽的正式流程，讓學生3 人一組組成團隊，4 天時間內共同求解，并將求解方案寫成論文提交。該部分占課程總評成績的30%。這樣做相當于正式數學建模競賽前的一次預演，既考察了學生對建模知識的掌握程度和解決實際問題的綜合能力，也鍛煉了學生的團隊合作能力，讓學生發現團隊合作中存在的問題，避免在正式競賽中再犯同類的錯誤。

4 結語

本文圍繞研究生數學建模課程的內容設置、思政元素融入和考核方式進行探討，結合多年教學實踐經驗和對歷年數學建模賽題的總結，提出了以軟件操作、微分方程、統計模型、優化模型、綜合評價和智能算法等6 個知識模塊組成的課程設計方案；在課程講解過程中融入思政元素，發揮思政的育人作用；采用過程化考核，提升學生學習積極性和課程參與度。對研究生數學建模課程的教學進行規劃和設計，有助于促進學生對建模知識的掌握和理解，為研究生在全國數學建模競賽中取得優異成績提供助力。