基于下加載理論的土料廣義塑性本構(gòu)模型

張 博，朱 晟

(1.山東電力工程咨詢院有限公司，山東 濟(jì)南 250013；2.河海大學(xué)水工結(jié)構(gòu)研究所，江蘇 南京 210098)

0 引言

很多試驗(yàn)資料表明[1-2]，土料加卸載過程中都會(huì)產(chǎn)生塑性變形，并且加卸載過程中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)閉合的滯回圈。為模擬這種與常規(guī)塑性理論框架不同的變形，Hashiguchi[3-5]提出了“下加載理論”。下加載理論包括2個(gè)嵌套的屈服面，即當(dāng)前屈服面和參考屈服面，或稱為下加載面和正常固結(jié)面。該理論在提出以來被廣泛地用來改進(jìn)常規(guī)的彈塑性模型，如Yao等[6]將下加載概念用于統(tǒng)一硬化模型描述超固結(jié)土的力學(xué)性能，這個(gè)模型也可以用來模擬循環(huán)加載下的土體行為。

Zienkiewice等[7-8]提出了土體的廣義塑性理論，該理論直接定義塑性流動(dòng)方向張量、加卸載方向張量及塑性模量來構(gòu)建本構(gòu)矩陣，并且可以較容易地反映出土的剪脹性、循環(huán)荷載變形累積性。由于該理論概念清晰且便于編程實(shí)現(xiàn)，近年來在土工領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。在高土石壩的應(yīng)用中，鄒德高等[9]對P-Z模型進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用于實(shí)際工程；陳生水等[10-11]基于廣義塑性理論建立了可以考慮顆粒破碎和循環(huán)荷載變形特性的堆石料的廣義塑性本構(gòu)模型；朱晟等[12]根據(jù)高壩室內(nèi)三軸試驗(yàn)，并結(jié)合廣義塑性理論推導(dǎo)了可反映防滲土料和堆石料的統(tǒng)一廣義塑性本構(gòu)模型。

本文基于廣義塑性理論框架，結(jié)合下加載理論，推導(dǎo)一個(gè)可以反映土料在復(fù)雜加卸載條件下的本構(gòu)模型。

1 廣義塑性理論基礎(chǔ)

廣義塑性理論中總應(yīng)變增量及彈性應(yīng)變增量滿足如下關(guān)系：

(1)

塑性勢函數(shù)為g(σ)=0，在加載過程中的塑性應(yīng)變增量的方向可以通過下式確定：

(2)

式中，dλ是標(biāo)量因子。

加載過程中，應(yīng)力必須滿足屈服面方程f(σ，h)=0：

(3)

式中，h為硬化參數(shù)，控制屈服面的大小及位置，此處假設(shè)其為εp的標(biāo)量函數(shù)。

將式(1)和式(2)帶入式(3)，得：

(4)

將式(2)及(4)帶入(1)中第3式可得：

(5)

式(5)方括號(hào)中給出了彈塑性勁度張量Dep的一般表達(dá)式，即：

(6)

其中

(7)

式中，ng為塑性流動(dòng)方向張量，nf為加載方向張量，H為塑性模量。

將式(2)、式(7)帶入式(3)可得：

(8)

故式(2)可改寫為：

(9)

由式(1)及式(9)可得廣義塑性本構(gòu)方程的柔度形式：

(10)

其中，Cep稱為彈塑性柔度張量。

根據(jù)式(10)可以得出三軸應(yīng)力狀態(tài)下體積應(yīng)變增量dεv、剪切應(yīng)變增量dεs與平均應(yīng)力增量dp、剪應(yīng)力增量dq的關(guān)系：

(11)

式中，Ke和Ge分別為彈性體積模量和彈性剪切模量；ngv和ngs是ng的分量；nfv和nfs是nf的分量。

2 應(yīng)力應(yīng)變特性

2.1 彈性變形特性

類似于劍橋模型，土體的彈性模量可以通過e-lnp圖得到：

(12)

式中，κ為等向回彈線的斜率，e0為p=p0對應(yīng)的初始孔隙比，ν為泊松比，一般可取值為0.3。

2.2 塑性流動(dòng)方向向量

采用Lagioia[13]改進(jìn)的剪脹方程：

(13)

式中，Mc為土體剪縮到剪脹轉(zhuǎn)換時(shí)的應(yīng)力比，η為應(yīng)力比，μ不等于1。圖1為Fujinomori黏土的剪脹方程，可見式(13)可以較好反映土料的剪脹規(guī)律。

圖1 剪脹方程

不考慮應(yīng)力主軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，塑性應(yīng)變增量為：

(14)

塑性應(yīng)變增量的模為：

(15)

將式(14)(15)帶入式(7)中，并結(jié)合式(2)，可得塑性流動(dòng)方向ng的表達(dá)式：

(16)

2.3 加載方向向量

2.3.1 加載方向的定義

采用非相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，加載方向的定義與塑性流動(dòng)方向類似，可直接用下式表示：

(17)

其中，df的定義如下：

(18)

2.3.2 強(qiáng)度特性

1)參考屈服面和當(dāng)前屈服面。參考屈服面為正常固結(jié)狀態(tài)下土料所對應(yīng)的屈服面。在復(fù)雜加卸載條件下的土料的當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)相當(dāng)于正常固結(jié)狀態(tài)的應(yīng)力點(diǎn)依照某種“映射法則”對應(yīng)的超固結(jié)狀態(tài)的應(yīng)力點(diǎn)，其所在的屈服面稱之為當(dāng)前屈服面。當(dāng)前屈服面與參考屈服面的形狀相似，如圖2所示。

圖2 當(dāng)前屈服面和參考屈服面

對式(18)積分可以得到參考屈服面表達(dá)式：

(19)

式中，Mf0為正常固結(jié)狀態(tài)下土料的初始破壞應(yīng)力比。

(20)

式中，κ為回彈再加荷曲線的斜率，λ為加荷曲線的斜率，e0為初始孔隙比，p0為等向壓縮條件下p的初始值。

(21)

(22)

3)破壞應(yīng)力比。隨著復(fù)雜荷載的施加，正常固結(jié)土將變?yōu)槌探Y(jié)土，即本次循環(huán)荷載施加時(shí)的土體相對于首次施加荷載時(shí)表現(xiàn)為超固結(jié)土的變形性質(zhì)。在多次加卸載過程中，土體逐漸密實(shí)，其破壞應(yīng)力比也會(huì)相應(yīng)增大。類似于超固結(jié)土，在復(fù)雜加卸載條件下的破壞比Mf的推導(dǎo)中引入伏斯列夫線(見圖3)，可推得破壞時(shí)qf的表達(dá)式：

圖3 破壞強(qiáng)度推導(dǎo)

(23)

由式(23)可得破壞比如下:

(24)

式中，Mh為伏斯列夫線的斜率。考察式(24)，當(dāng)不受復(fù)雜荷載時(shí)R=1，破壞比Mf即為初始破壞比Mf0。

2.4 塑性模量

2.4.1 等向壓縮條件

土體等向壓縮條件下q=dq=0，帶入式(11)第一式可得:

(25)

對土體等向固結(jié)試驗(yàn)結(jié)果式(9)微分可得(等向固結(jié)應(yīng)力路徑在子午面上沿p軸，此處用p代表px):

(26)

結(jié)合式(25)和式(26)可得等向壓縮條件下土料的塑性模量如下:

(27)

由式(27)可知，等向壓縮時(shí)土體塑性模量隨平均應(yīng)力增加而增加，體現(xiàn)了土體的壓硬性。

2.4.2 恒壓剪切條件

式(27)中塑性模量只反映了平均主應(yīng)力的影響，但在恒壓剪切條件下，試樣的塑性模量一直減小并最終等于零。因此，考慮剪應(yīng)力的影響，應(yīng)將式(27)乘以一個(gè)隨應(yīng)力比η增大而從1減小至0的函數(shù)。參考相關(guān)文獻(xiàn)，并通過大量的假定和試算后，本文定義的塑性模量如下：

(28)

式中，d為一個(gè)無量綱的參數(shù)，可以通過擬合三軸壓縮試驗(yàn)資料，采用IGA反演確定。當(dāng)η=0時(shí)，式(28)退化為等向壓縮時(shí)的塑性模量式(27)；當(dāng)η=Mf時(shí)，塑性模量H=0，塑性變形可以一直增加，最終材料破壞，此時(shí)意味著土體達(dá)到流動(dòng)破壞。

2.5 加卸載準(zhǔn)則

在常規(guī)彈塑性理論中，加卸載準(zhǔn)則借助屈服面來確定，不能夠考慮材料的記憶功能，只能用于單一加卸載應(yīng)力路徑而不能應(yīng)用于復(fù)雜加載條件。

在本文中采用下述判斷準(zhǔn)則：

(29)

當(dāng)η<ηm且dη>0時(shí)存在2種情況

(30)

2.6 模型三維化

上面公式只適用于三軸壓縮和等向壓縮應(yīng)力狀態(tài)，不能用于一般應(yīng)力狀態(tài)。本模型針對黏土料提出，并且所采用的子午面上的破壞函數(shù)依然為線性函數(shù)，因此可以采用基于SMP準(zhǔn)則[14]的變換應(yīng)力法將上述本構(gòu)模型推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)。

3 模型的驗(yàn)證

結(jié)合Fujinomori黏土三軸試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證本文模型的合理性。

模型參數(shù)λ、κ、e0、Mh、Mf0、Mc可以通過三軸壓縮試驗(yàn)和等向壓縮試驗(yàn)獲得，參數(shù)d可以通過IGA反演三軸壓縮試驗(yàn)獲得。Fujinomori黏土本構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 黏土本構(gòu)參數(shù)

圖4為平均主應(yīng)力為196 kPa下單一加載條件下三軸壓縮試驗(yàn)和三軸伸長試驗(yàn)結(jié)果與模型預(yù)測的對比圖。圖5和圖6為復(fù)雜加卸載條件下試驗(yàn)結(jié)果與模型預(yù)測值的對比圖。其中圖5為平均主應(yīng)力為392 kPa的等幅循環(huán)荷載，圖6為平均主應(yīng)力為196 kPa的不等幅循環(huán)荷載。由圖5～6可知，在復(fù)雜荷載作用下每次加卸循環(huán)所產(chǎn)生的應(yīng)變逐漸減小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線也隨之逐漸加密。在循環(huán)荷載作用過程中，壓縮曲線距離正常固結(jié)線越來越遠(yuǎn)，相當(dāng)于超固結(jié)程度逐漸增大，使得超固結(jié)參數(shù)逐漸變小。通過對比2圖的(c)圖可知，循環(huán)次數(shù)較少時(shí)，R增加或減少的變化幅度較大，隨著循環(huán)次數(shù)越來越多，R的變化幅值減小并逐漸穩(wěn)定。

圖4 單一加載條件試驗(yàn)結(jié)果與模型預(yù)測對比圖

圖5 等幅循環(huán)荷載試驗(yàn)結(jié)果和模型預(yù)測對比圖

圖6 不等幅循環(huán)荷載試驗(yàn)結(jié)果和模型預(yù)測對比圖

由圖4～6可知，本文提出的本構(gòu)模型預(yù)測值與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

4 結(jié)論

1)基于下加載理論的廣義塑性本構(gòu)模型既可以預(yù)測單一加載條件下土料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，也可以較好地預(yù)測復(fù)雜加卸載條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

2)基于下加載理論，引入?yún)⒖记妫茖?dǎo)了一個(gè)可反映應(yīng)力歷史及材料硬化行為的超固結(jié)參數(shù)。

3)該模型在廣義塑性理論框架下無需推導(dǎo)當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)所對應(yīng)的屈服函數(shù)，僅通過定義塑性流動(dòng)方向向量、加載方向向量和塑性模量實(shí)現(xiàn)當(dāng)前狀態(tài)的模擬，使得本構(gòu)建模工作具有極大的靈活性，并且該種方法也易于編程實(shí)現(xiàn)。