彈性力學探究式案例教學的設計與實踐

劉子心，劉章軍，孫治國

(1.防災科技學院 土木工程學院，河北 三河 065201；2.武漢工程大學 土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430074)

探究式教學是在教學過程中創設一種類似科學研究的情境，以課堂作為教師和學生溝通的主渠道，讓學生在學習過程中獨立自主地探究學科知識，從而理解、質疑、反思、批判、發展并創造學科知識，并從中發展與培養個性、思想、人格及社會責任感，全方位提高自身素質。可見，探究式教學與傳統教學模式存在顯著差異。探究式教學更加注重學術深度，探討基本教學內容的深層次內涵。教學實踐中，適度追求教學內容的深度，可幫助學生加深對于基本教學內容的理解，并激發學生的專研精神和創新精神。彈性力學是固體力學的重要分支，也是塑性力學等后繼力學課程的重要基礎，其理論被廣泛應用于土木、水利、機械、航天等工程領域。然而，彈性力學相對于材料力學而言，其涉及的數學公式較多且復雜(多為偏微分方程)，邏輯推理更為嚴密，計算工作量大，具有較強的理論性和抽象性，學生學習難度較大。因此，在彈性力學教學過程中，應突出彈性力學的基本理論，向學生展現其豐富的內涵。同時，開展探究式教學，需注重從力學的基本原理方面挖掘基本教學內容的深度，引導學生從更深的層次上分析和理解這些內容。此外，教學中注重從工程案例中引入力學概念，并強調其物理意義和數學邏輯關系，強化研究方法和解題思路。使學生在理解基本教學內容的同時，能創造性地應用這些概念、原理以及公式去分析解決復雜的工程實際問題。

圣維南原理(Saint Venant’s Principle)在彈性力學中具有重要的理論與實際意義。彈性力學求解問題實質是偏微分方程組的邊值問題。其中，偏微分方程組是彈性力學的共性問題；邊界條件是彈性力學的個性問題。應力、位移等未知函數必須滿足所有偏微分方程組和全部邊界條件。其求解的困難主要在于難以滿足邊界條件。一方面，雖然大部分邊界條件能精確滿足，但在部分局部邊界上的邊界條件卻較難精確滿足；另一方面，工程中往往只知道作用于某一局部邊界上的主矢量和主矩，而不清楚其面力的具體分布形式，因而無法精確地表達局部邊界上的邊界條件。而圣維南原理為簡化局部邊界上的應力邊界條件提供了便利。本文基于探究式教學的內涵與理念，在彈性力學課程教學過程中，以圣維南原理及其應用這一基本教學內容為例，通過對基本教學內容的深入闡述與延拓，開展了探究式案例教學的設計與實踐。

一、基本教學內容

在工科專業的彈性力學課程教學中，圣維南原理及其應用的基本教學內容主要包括基本概念、基本問題和基本方法。通常，以鉗子夾鐵絲這一常見的生活實例為引子，如圖1所示，鐵絲在A處被鉗子夾緊，相當于在該處施加了一對平衡力系，無論作用力的大小，在所夾部位A處以外的其他部位幾乎沒有應力產生，甚至鐵絲被鉗子夾斷后，A處以外的其他部位幾乎不受影響。這個例子生動地說明了圣維南原理的真實性。

圖1 鉗子夾鐵絲

(一)基本概念

圣維南原理源于法國著名科學家圣維南。圣維南在1855年發現了一個現象：若將作用于物體局部邊界上的面力，用另一組與它靜力等效的力系來代替，則在力系作用區域近處的應力將有顯著的改變，但在遠處幾乎不受影響。這就是局部效應原理，也稱為圣維南原理。實際上，對于圣維南原理，關鍵在于如何理解局部邊界(小邊界或次要邊界)、靜力等效、近處以及遠處等概念。

正如鉗子夾鐵絲的例子，在鉗子夾鐵絲的A處，相當于在該處施加了一對平衡力系。由此可引出圣維南原理的另一種表述：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系，那么，這個面力僅僅使近處產生顯著的應力，而遠處的應力可以忽略不計。在這一表述中，重點需要理解靜力平衡的概念。在實際教學中，一般通過幾個具體的例子，來進一步闡述圣維南原理的基本概念。

圖2 圣維南原理的基本概念：例1

例2，如圖3中兩個帶小圓孔的無限平面域。右邊圖在小圓孔周邊作用有均布壓力，但由于它是一個平衡力系，即主矢量和主矩都等于0的面力，因此，小圓孔附近區域會產生顯著的應力，而其他絕大部分區域，將與左邊圖(小圓孔周邊沒有任何面力作用)的應力狀態相似，接近于無應力狀態。

圖3 圣維南原理的基本概念：例2

從上述兩個例子可知，靜力等效和靜力平衡這兩個概念較重要。不僅要明確兩者之間的區別與聯系，還要清楚如何由這兩個概念得到應用圣維南原理解決工程問題的兩種基本方法，即靜力等效法和靜力平衡法。

(二) 基本問題

在圣維南原理及其應用的基本問題中，通常以圖4所示的等截面矩形梁為例。其中，梁的厚度為1，在局部邊界上受主矢量和主矩(這里可以理解為廣義面力，區別于分布面力)的作用，思考如何應用圣維南原理建立局部邊界的應力邊界條件。

圖4 基本問題

對于基本問題，可以通過兩種基本方法來建立應力邊界條件，第一種是在局部邊界上，首先用假想的分布面力的主矢量和主矩與已知的主矢量和主矩進行靜力等效，再利用應力邊界條件公式，建立積分的應力邊界條件；另一種是在局部邊界附近取一微小的脫離體，考慮脫離體的靜力平衡條件，進而建立積分的應力邊界條件。第一種方法為靜力等效法，第二種方法為靜力平衡法。教學實踐中，基本教學內容中一般僅介紹靜力等效法，而將靜力平衡法放在具體彈性力學問題的求解中直接應用。這樣安排教學內容，不利于學生深刻理解靜力等效法與靜力平衡法之間的聯系與區別，也不利于學生在解決具體問題時思考如何更好地選擇求解方法。為此，在實際教學中，將兩種方法同時介紹，以展現兩種方法的異同點，以便幫助學生靈活應用圣維南原理來建立局部邊界的應力邊界條件。

事實上，在教學過程中，對于基本問題，只考慮局部邊界為坐標面的情況，沒有考慮一般的邊界面，如斜面或曲面的情況。同時，坐標軸一般取為梁的軸線，那么，坐標軸不在梁的軸線上應如何建立應力邊界條件。上述情況需進行系統闡述。

(三) 基本方法

1.靜力等效法

圖5 靜力等效法

(1)

利用精確的應力邊界條件公式，并考慮局部邊界=0是一個坐標面，其方向余弦為{-1,0}，容易得到假想的面力分量與應力分量的邊界值之間的關系，即式(2)。

(2)

再將關系式(2)代入靜力等效條件式(1)中，即可得到積分的應力邊界條件式(3)。

(3)

事實上，積分的應力邊界條件就是應力分量邊界值的主矢量及主矩與已知的主矢量及主矩之間的靜力等效。因此，對于局部邊界為坐標面時，也可以直接用應力分量邊界值的主矢量及主矩與原問題中的主矢量及主矩進行靜力等效，即可得到積分的應力邊界條件。可見，對于坐標面邊界，直接用應力進行靜力等效比面力等效更為簡潔方便；但對于一般的局部邊界，如斜面、曲面等，則需要用面力進行靜力等效。

2.靜力平衡法

對于靜力平衡法，首先在局部邊界附近取一微小的脫離體，并暴露出應力分量，如圖6所示。

圖6 靜力平衡法

根據靜力平衡條件，得到圖6所示脫離體的靜力平衡條件：

(4)

最后，令d→0，即可得到局部邊界=0的應力邊界條件式(3)。通過比較式(1)與式(4)，可看到靜力等效與靜力平衡的聯系與區別。

在彈性力學的教學實踐中，圣維南原理及其應用的基本方法主要包括以圖5為主的靜力等效法和以圖6為主的靜力平衡法。教科書中也采用了靜力平衡法來處理楔形體在尖劈頂端受集中力或力偶作用的問題。為了幫助學生深刻理解圣維南原理的實質，以及掌握在不同局部邊界上如何靈活應用圣維南原理，可以對基本問題和基本方法進行延拓，以便更好地理解圣維南原理的內涵，并應用圣維南原理來解決實際工程問題。

二、基本問題的延拓

圖4中，當坐標軸平移至梁的上、下邊界時，如圖7(a)和7(b)所示，則需要考慮如何建立局部邊界的應力邊界條件。

圖7 基本問題的延拓

主矢量的靜力等效條件(即沿兩坐標軸投影的靜力等效條件)沒有實質性的變化，只需將積分的上下限作相應的改變，而主矩的靜力等效條件則需要重新建立。圖7(a)的應力邊界條件為式(5)，圖7(b)的應力邊界條件則式(6)

(5)

(6)

顯然，式(5)和式(6)中的第三式均以坐標原點來建立主矩的靜力等效條件。事實上，只要等式兩邊都以同一點來建立主矩的靜力等效條件即可。此外，若以靜力平衡條件來建立上述應力邊界條件，也較容易得到相同的結果。

對于基本問題的延拓，還可以直接從基本問題的積分應力邊界條件式(3)中，分別利用坐標變換=-/2和=+/2，即可得到式(5)和式(6)。

從基本問題的延拓中可以看到，圖7中，雖然局部邊界也為坐標面，但坐標軸的位置發生了改變。在實際操作時，學生需要根據變化后的坐標軸應用靜力等效條件或靜力平衡條件或坐標變換來得到積分的應力邊界條件，這對于深刻理解“靜力等效”“靜力平衡”以及“坐標變換”等概念較有利。

三、基本方法的延拓

(一)靜力等效法的延拓

圖8(a)所示有斜邊的矩形懸臂梁厚度為1，在斜邊的中心作用有切向力和力矩。應用圣維南原理建立斜邊的應力邊界條件。

圖8 靜力等效法的延拓

顯然，案例中的局部邊界面是斜面(不是坐標面)，應力分量的邊界值不能直接給出，因此直接用應力等效較為不便。為此，需要按照面力等效的步驟來建立積分的應力邊界條件。

首先，列出局部邊界的外法線方向余弦=cos，=sin，并給出邊界面的數學表達式。然后，列出局部邊界上的應力，用假想的面力分量來表示的靜力等效條件。應用圣維南原理，在局部邊界上，圖8(b)與圖8(a)的靜力等效條件為：

(7)

再利用精確的應力邊界條件公式：

(8)

其中，斜邊界可表示為=-(-/2)tan。

將式(8)代入式(7)中，同時，注意到弧微分與坐標微分的變換關系d=d/cos，即可得局部邊界的積分應力邊界條件：

(9)

事實上，對于一般的局部邊界，如斜面、曲面等，應用面力的靜力等效法來建立其應力邊界條件較方便。

(二)靜力平衡法的延拓

圖9(a)中三角形懸臂梁厚度為1，在頂端處受單位厚度的集中力偶作用，應用圣維南原理建立其應力邊界條件。

圖9 靜力平衡法的延拓

對于圖9(a)所示的特殊局部邊界問題，采用靜力平衡法較方便。在一般彈性力學教科書中，大多以坐標原點為中心，取任意半徑的脫離體，如圖9(b)所示。考慮脫離體的靜力平衡條件，得到式(10)。

(10)

事實上，對于這一特殊的局部邊界(局部邊界為頂端處的一點)，可以轉化為常規的局部邊界(即=邊界)，如圖9(c)所示。只要脫離體II取得微小(即較小)，根據靜力等效條件，彈性體III與彈性體I等價，從而彈性體III具有了常規的局部邊界(即=邊界)，其應力邊界條件即為式(10)。因此，彈性體III的解答與原問題(彈性體I)的解答相同，根據這一思想，對于變截面矩形懸臂梁則可利用三角形懸臂梁的解答來求解。

對于圖9(a)所示的彈性力學問題，當→0時，其解答出現奇異解，說明在三角形頂端附近處的解答不適用。因此，在滿足靜力平衡條件時，可將三角形頂端附近的小部分彈性體作“減”處理，而不會對遠離三角形頂端彈性體的解答產生影響。

四、基本概念的延拓

(一)工程應用中的注意事項

在工程實際中，圣維南原理并不能適用所有的情況，如圖10所示的工字鋼受扭矩作用。對于作用在翼緣上的一對力偶，該力偶雖然是一對平衡力系，但距離該力偶較遠處的部位依然存在顯著的應力。因此，對于殼體、梁和桁架之類的薄壁結構，不能簡單按處理“結實”物體的方式來應用圣維南原理。因為薄壁結構內的載荷路徑較少，所以擾動傳播的距離較遠。

圖10 工字鋼受扭矩作用

這個例子表明，當荷載作用區域大于物體受力處截面組成部分的最小尺寸時，圣維南原理無效。如果雙力偶同時作用在腹板上，且雙力偶的力臂小于腹板厚度，圣維南原理仍然有效。因此，在應用圣維南原理時應當具體問題具體分析。

(二)對位移邊界條件的啟發

盡管圣維南原理主要針對應力邊界條件，事實上，其基本思想對于局部邊界上的位移邊界條件也有重要的借鑒意義，例如圖11中懸臂梁固定端位移邊界條件的近似表達。固定端精確的位移邊界條件可由函數方程式(11)表達。

圖11 位移邊界條件

(11)

該方程在實際工程中往往不易滿足。此時，需要用近似的位移邊界條件來替代，即式(12)。

(12)

顯然，近似的位移邊界條件是代數方程，可簡化問題的求解。

可見，近似的位移邊界條件與積分的應力邊界條件，或者與近似的應力邊界條件具有異曲同工的效果，這是圣維南原理基本思想的具體體現。最后，總結歸納應力邊界條件和位移邊界條件，見表1。

表1 精確的邊界條件與近似的邊界條件對比

五、結語

開展探究式教學是提高高等學校教育教學質量的途徑之一。探究式教學重在鼓勵學生“在學習中研究，在研究中學習”，鼓勵學生不要僅僅滿足于教材中的基本教學內容和知識，要研究和挖掘基本教學內容的深度。通過在教學過程中給學生提供基于課程教學內容而又略高于課程教學內容的問題，這些問題可以是基于教學內容的延伸和擴展，也可以是與工程實際有關的問題，還可以是力學建模問題，激勵學生敢于質疑、善于專研、勤于思考的品質，使學生初步具備研究能力和一定的科學素養。

彈性力學是固體力學的分支，主要研究彈性體在外力、位移約束或溫度變化等外界因素下所產生的應力、應變和位移，從而解決各類工程中的強度、剛度和穩定問題。在彈性力學課程教學中，以圣維南原理及其應用這一基本教學內容為例，深入開展了探究式案例教學的設計與實踐。在基本教學內容的基礎上，通過對圣維南原理的基本概念，以及圣維南原理應用的基本問題和基本方法進行深入闡述與延拓，并進一步結合工程實踐，探討了在不同的局部邊界上如何有效理解和靈活應用圣維南原理。教學實踐表明，探究式教學有助于學生更加深刻地領悟力學原理的實質及實踐應用，能夠極大地提高學生的學習興趣和鉆研精神。學生的學習效果和學習成績顯著提高，探究式教學值得在教學中推廣應用。