高中數學中導數解題教學研究

徐 斐

（甘肅省莊浪縣紫荊中學，甘肅莊浪 744600）

導數是研究函數及其性質的有效工具，對于培養學生的理性思維具有重要作用。在實際教學中，有些學生一提到導數就感到頭疼，不能熟練掌握導數的性質和內涵，在解題的時候總是找不到切入點，久而久之，就會產生厭學心理。現代教學觀念對高中數學教學提出了嚴格的要求，學生需要從“學會”向“會學”轉變，注重知能統一，培養積極探索的科學精神。近幾年，高考對導數的考查越來越多，在各種不同的題型中都會遇到，這也給高中數學教師敲響了警鐘，需要加強對導數解題的重視，注重實際應用題的教學，指導學生正確的解題思路，激發其無盡的活力，將導數的基礎及精髓落到實處。學生不僅要掌握導數的概念、性質，還要學會運用導數解題的思想，具體問題具體分析，感到導數的優越性。

一、導數在高中數學中的地位

（一）有助于學生理解函數性質

函數在高中階段的重要性不言而喻，學生不僅要掌握函數的定義域、解析式等基礎信息，還要熟練操作單調性、奇偶性等特性。這些數學知識點可以通過函數圖像進行表示，在解題時也可以利用描點法探索函數性質。但是，當遇到非基本初等函數時利用描點法作圖就會遇到困難，此時則可以通過導數知識來解決問題。比如，學生可以利用一階導數來判定某個函數的單調區間，這樣就簡化了解題步驟，還能夠提高正確率；也可以利用極限思想找出函數的水平漸近線和垂直漸近線，降低函數學習的難度，有利于開發自身的潛力。

（二）有助于發散學生思維能力

以前，高中數學教師在教授導數知識時都是按照固定的模式，先講解概念，再講解用法，最后進行做題鞏固，沒有照顧到不同水平學生的感受，對于學生的監督和指導力度不足，容易造成學生思維發展緩慢。在新時期，高中數學教師要將導數放到實際問題中進行講解，做好互動和點撥，讓學生以動態的、開放的思想去研究數學，全面提高學生的思維能力。同時，數學教師還要幫助學生建立數學專題模塊，讓學生從掌握一道題的解法轉換成掌握一類題的解法，在一定程度上提升了其邏輯推理的核心素養。

（三）有助于學生認識數學價值

絕大多數學生都認為數學難學，總是把學習數學當成一種任務和負擔，沒有認識到學習數學的真正目的，這將會影響學生的學習興趣。當給學生講述導數方面的知識時，高中數學教師可以向他們講述導數的工具性和實用性，并且滲透其在國防、醫藥、工程、經濟方面的作用，使學生從內心中注重導數的應用，從而全面認識數學的價值。這在一定程度上改變了學生的思維誤區。高中數學教師要挑選典型的教學案例及數學文化教育，激發學生的學習熱情，使其養成正確的數學觀，受到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的熏陶。

二、高中數學中導數解題教學研究

（一）導數在函數解題中的應用

1.利用導數求解函數的單調性。導數是函數單調性的萬能解法，特別是在求解復雜函數的單調性時常常會用到，要比運用函數的單調性定義更加便捷和高效。很多學生在學習導數的時候都會有一個誤區，就是不知道何時應用導數求解，總是把導數局限在一個小范圍內，這樣會影響學生的學習效率。還有的學生在運用導數解題時總是對函數定義域的限制作用以及最終的單調區間端點的開和閉理解不清，導致出現各種各樣的錯誤，這些都需要引起教師的關注。高中數學教師在日常教學中應該向學生講述導數的作用以及應用場景，幫助學生提高理性思維能力，逐步滲透數形結合思想，引導學生養成自主學習的好習慣。

在解題過程中，學生首先要熟練掌握函數的單調性：（1）在區間（a，b）內，若f'（x）＞0，則f（x）為增函數；若f'（x）＜0，則f（x）為減函數；若f'（x）＝0，則f（x）為常函數。（2）在區間（a，b）內，若f（x）為增函數，則f'（x）≥0；若f（x）為減函數，則f'（x）≤0；若f（x）為常函數，則f'（x）＝0。然后數學教師再向學生講述用導數求函數單調性的一般方法：（1）確定函數f（x）的定義域。（2）求出函數的導數f'（x）。（3）解不等式，如果f'（x）＞0，則f（x）在對應區間上是增函數，對應區間為增區間；如果f'（x）＜0，則f（x）在對應區間上是減函數，對應區間為減區間。在實際解題中還會遇到含有參數的函數單調區間的求法，有些學生會出現混淆，其實這種題型并不難，只要做好分析和總結，就能夠清楚的得知。如對f'（x）＝0 的根的有無，根的大小，根是否在所給的區間內進行討論是最常用的解題方法。

2.利用導數求函數的極值。縱觀近幾年高考試題，利用導數求函數的單調性與極值問題已經成為熱點，不僅有計算題，還有解答題，更加側重于對學生綜合能力的考查。學生已經學習了對函數單調性的研究，因此在學習極值的時候就能夠更加順暢。高中數學教師需要幫助學生理解函數極值的概念。簡單來說，極值是函數局部范圍的最大或最小值，其中，極大值就是局部最大值，極小值就是局部最小值。函數極值在工農業生產、工程技術實驗中有著廣泛的應用，通常情況下會考查：怎樣達到“成本最低”“效率最高”等等。對于這類問題都可以通過導數來轉化為求某一函數的最大值或最小值問題。然后，數學教師要向學生講解導數求函數極值的解題步驟，第一步先求函數f（x）的定義域和導函數f'（x），第二步求方程f'（x）=0 的根，第三步判斷f'（x）在方程的根的左、右兩側值的符號，第四步根據符號畫表格求極值。值得注意的是，極值是把導函數中的靜態點x 值代入原函數。最后，高中數學教師要帶領學生總結規律。在極值點左右，如果一階導數符號從減號變到加號，那么該點為極小值點；如果一階導數符號從加號變到減號，那么該點為極大值點；如果一階導數不變號，那么該點不是極值點。為了加深學生對極值的掌握，數學教師可以設計一道沒有極值的題目，讓學生知道并不是任何函數都有極值，在實際問題中要靈活運用知識，從而達到最佳的學習效果。

3.利用導數求函數的最值。顧名思義，函數最值指的是函數最小值和最大值，其中最小值即定義域中函數值的最小值，最大值即定義域中函數值的最大值。很多學生遇到求函數最值問題經常是花費了很多時間卻不能準確得出答案，究其原因就是沒有掌握正確的學習方法，對于函數最值的理解不透徹。學生解決函數最值問題的時候必須進行全方位的考慮，以函數的定義域為依托，對可能出現的每一個結果作出合理的分析，最終求出結果。很多時候函數最值的求解與函數極值有著密不可分的關系，函數最值要么在極值處取得，要么在區間端點處取得。所以，學生在用導數求函數最值的時候可以先求出函數的極值，如果是閉區間，那么求出端點值與極值進行比較；如果是開區間，那么函數最值可能不存在。高中數學教師可以給學生列舉高考數學中求函數最值的真題，以此來深化學生的數學思維，使其能夠將函數極值問題轉化為不同的導函數根的分布問題，進而利用函數的性質和圖像解決問題。這樣不僅有利于增加學生學習數學的自信和動力，還促進了學生對數學真題難度的把握。

（二）導數在幾何解題中的應用

導數是高中現行教材中新增加的內容，也是新課標的重點考查內容，在日常學習中經常會出現關于導數幾何意義應用的題型，解決這類問題要用到函數、導數、不等式、方程等知識。高中數學教師需要從紛繁復雜的題目中提煉出一些常見的模型，幫助學生構建數學知識體系，以專題的形式向學生進行答疑，從而全面提升學生的數學綜合能力。導數在幾何解題中應用的主要數學思想是“數形結合”和“轉化思想”，對于有些數學水平薄弱的學生理解起來存在一定的困難，這就需要數學教師做好分層教學，引導學生在學中做，在做中悟，不斷積累數學知識和解題經驗，使數學問題簡單化。

導數的幾何意義在高中數學教學中通常是用于求曲線的切線斜率或者方程，其關鍵點就在于求出切點P（x，y）。數學教師可以為學生總結如下四種類型：第一，已知切點，求曲線的切線方程。這個題型屬于基礎題，只需要求出曲線的導數f'（x），再將其帶入到點斜式方程中求解即可。第二，已知斜率，求曲線的切線方程。這個題型難度適中，需先利用斜率求出切點，再利用點斜式方程求解。第三，已知過曲線上一點，求曲線的切線方程。這類題型相對復雜，需要用到待定切點法，先設切點，再求切點，因為切線過曲線上一點，該點未必是切點。第四，已知切線過曲線外一點，求曲線的切線方程。此題解法同第三點，先設切點，再求切點。

（三）導數在不等式解題中的應用

導數方面的知識點并不復雜，復雜的是綜合應用到實際中。導數在不等式解題中的應用是一個重難點，不僅思維量大，還極易出錯，需要學生提高重視，強化基礎能力訓練，達到融會貫通的效果。利用導數進行不等式解題主要考查的知識點時不等式與函數之間的聯系，對此可結合不等式的結構特征，將不等式直接或間接進行等價轉化，將不等式的證明問題轉化為函數問題，發展學生的辯證思維能力，為其將來學好微積分打下基礎。

利用導數知識解不等式是學生的必備能力，考查內容主要包括以下幾點：分類討論求函數的單調區間；借助函數的單調性確定不等式的解集；確定函數在某個單調區間上有無零點的方法；借助特殊值來判斷單調區間端點處的函數值的符號。在實際教學中發現，很多學生不會利用導數解決不等式恒成立的問題，每次遇到這樣的問題都不知道該如何解答。因此，高中數學教師可以制作一個小專題，幫助學生答疑解惑，降低數學知識的難度，促進學生全面認識數學的價值。一般情況下，不等式恒成立會涉及求參數范圍，此時可以把變量分離，轉化為m＞f（x）或m＜f（x）恒成立，這樣就把不等式恒成立問題轉化成了函數求最值問題，學生可以利用以前學過的知識順利求解，不僅簡便了算法，還實現了新舊知識的銜接。由此可見，不管是證明不等式，還是解不等式，只要涉及函數的單調性或最值，都可以利用導數來解決。

（四）導數在方程求根解題中的應用

在日常練習及高考試題中均以不同的形式出現過運用導數求方程根的問題，可見這是一個需要重點研究和學習的內容。在解決這類問題的時候，高中數學教師要善于指導學生利用導函數與X 軸的交點個數來判斷方程根的個數，這會使學生發現數學問題被迎刃而解，從而更加熱愛數學。教師可以利用微視頻或者電子課件的方式給學生歸納學習方法，并且將其上傳到共享平臺上，使學生在課后也可以下載學習，打破了時空限制，更有利于全體學生的共同進步。將方程的問題轉化成函數的零點或者函數圖像交點問題，對于學生的抽象思維和空間能力要求較高，數學教師要做好日常訓練工作，通過多種渠道加深學生對函數性質的理解，并且使其能夠熟練繪制函數圖像，發現更多有價值的信息，從而快速找到解題的方向。如今，導數已經從“配角”升級為“主角”，高中數學教師要將導數解題與傳統解題結合起來，指導學生靈活分析問題和解決問題，養成良好的審題習慣和學習能力。

（五）導數在實際問題解題中的應用

高中數學新課程標準強調：提供多樣課程，適應個性選擇，引導學生會學數學，會用數學，形成數學應用意識，培養數學核心素養。因此，高中數學教師要加強導數在實際問題中應用的教學，發展學生的數學眼光，使其獨立獲取數學知識和能力。

在學習過程中，學生經常會遇到一些與生活相關的問題，其實這些問題可以通過導數來解決，對學生數學能力的發展大有裨益。生活中的數學問題通常會被稱為最優化問題，解決這類問題并不是沒有規律可循的，只要學生能夠理清思路，學會分析實際問題中各變量之間的關系，列出數學模型，就能夠根據函數的性質來提出優化方案。高中數學教師要做好數學與其他學科的融合，讓學生有更大的發展空間。有時候導數可以應用到物理問題的解答中，例如求最小拉力、最大速度等問題，利用傳統的解題方法不僅浪費時間，還容易出錯，而通過導數建立一定的函數式，就可以很快找到已知量和未知量，簡化了復雜的物理問題。導數知識的考查具有較強的綜合性和靈活性，幾乎涉及高中數學的每個分支，需要學生具備良好的數據分析和邏輯推理能力，因題而異地選擇恰當的解題方法。

三、結語

綜上所述，導數及其應用是高考的必考內容，高中數學教師要善于研究以導數為載體的數學問題，指導學生正確的導數解題方法和技巧，加強學生的解題興趣，提升思維的發散性和靈活性，從而突破難點。還要注重知識的遷移，將導數知識廣泛應用到數學、物理等學科中，使學生養成良好的數學思想，可以輕松應對導數難題。