透過(guò)圓“看”圓錐曲線(xiàn)

唐如強(qiáng)

(浙江省余姚市第八中學(xué)，浙江余姚，315400)

圓是我們最早接觸的圖形之一.圓的幾何性質(zhì)相對(duì)于圓錐曲線(xiàn)要簡(jiǎn)單得多，更容易讓我們所接受.下面介紹幾個(gè)通過(guò)類(lèi)比圓的性質(zhì)來(lái)得到圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)的實(shí)例，投石問(wèn)路，與讀者共饗.

1 圓與圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)

1.1 垂直弦問(wèn)題

圓性質(zhì)1：等于直角的圓周角所對(duì)的弦過(guò)圓心(直徑).

類(lèi)比圓性質(zhì)，我們可以得到橢圓的一個(gè)性質(zhì)：

(1) 橢圓性質(zhì)： 過(guò)橢圓上一點(diǎn)作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點(diǎn)所對(duì)的弦必過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

求證：直線(xiàn)AB必過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

證明：當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程x=my+n，A(x1,x2),B(x2,y2)

因?yàn)镻A⊥PB，

兩兩組合，平方差得a2(n-x0+my0)(n-x0-my0)+b2(n+my0+x0)(n+my0-x0)=0，

所以 (n-x0+my0)(a2n-a2x0-a2my0+b2n+b2my0+b2x0)=0.

因?yàn)辄c(diǎn)P不在直線(xiàn)AB上，所以n-x0+my0≠0，

所以a2n-a2x0-a2my0+b2n+b2my0+b2x0=0，

類(lèi)似地，我們也可以得到雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)上的性質(zhì).

(2) 過(guò)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點(diǎn)所對(duì)的弦必過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

(3) 過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點(diǎn)所對(duì)的弦必過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

以上性質(zhì)的證明在這里不再贅述.結(jié)合三個(gè)性質(zhì)，我們?nèi)菀椎玫綀A錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一性質(zhì)：

(4) 過(guò)圓錐曲線(xiàn)上一點(diǎn)作互相垂直的兩條弦，則該直角頂點(diǎn)所對(duì)的弦必過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

1.2 中點(diǎn)弦問(wèn)題

類(lèi)比圓性質(zhì)2，圓錐曲線(xiàn)也有類(lèi)似性質(zhì)：

利用點(diǎn)差法很容易證明以上性質(zhì)，本文省略這一證明過(guò)程.需要指出的是，以上各性質(zhì)在形式結(jié)構(gòu)上與各自的圓錐曲線(xiàn)方程保持一致，體現(xiàn)出代數(shù)式整體和局部的整齊性和對(duì)稱(chēng)美.利用上面結(jié)論，我們很容易解決中點(diǎn)弦問(wèn)題，與點(diǎn)差法解題比較，特別是選擇、填空題，可以免去重復(fù)繁瑣的計(jì)算，提高解題效率.

1.3 切線(xiàn)方程問(wèn)題

圓性質(zhì)3：過(guò)圓：x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)引圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為：x0x+y0y=r2.

類(lèi)比圓的切線(xiàn)方程，我們同樣可以得到圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程：

(3) 拋物線(xiàn)y2=2px及拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P(x0,y0)，則過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：y0y=p(x+x0).

圓性質(zhì)4：過(guò)圓：x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓切線(xiàn)，則切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程為x0x+y0y=r2.

類(lèi)比圓性質(zhì)4，我們有：

(3) 過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px外一點(diǎn)P(x0,y0)引拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，則切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程為：y0y=p(x+x0).

對(duì)于雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)，我們也可以得到類(lèi)似結(jié)論，這里不再論述.

圓性質(zhì)5：過(guò)圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)P(x0,y0)作直線(xiàn)與圓相交，則過(guò)交點(diǎn)的圓的切線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡方程為x0x+y0y=r2.

類(lèi)比性質(zhì)5，我們有：

(3) 過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px內(nèi)一點(diǎn)P(x0,y0)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，則過(guò)交點(diǎn)的拋物線(xiàn)切線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡方程為y0y=p(x+x0).

2 結(jié)語(yǔ)

開(kāi)普勒曾說(shuō)“我珍惜類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可信賴(lài)的老師，它能揭示自然界的秘密.”透過(guò)圓的性質(zhì)，通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、遷移、推廣，去獲得圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，增加了數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向類(lèi)比建構(gòu)，加深了對(duì)相關(guān)知識(shí)的了解和認(rèn)識(shí)，同時(shí)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)類(lèi)比嘗試體驗(yàn)，學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)創(chuàng)新的一種途徑，提高了數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力.