新的單位是怎樣產生的
——基于知識本質剖析的度量單位教學思考

文|池紅梅

量感，是《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中數學學科核心素養的主要表現之一。主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。具體表現有以下幾個方面：一是知道度量的意義;二是能夠理解統一度量單位的必要性；三是會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；四是初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果。針對以上表現，我們可以從中抽取幾個關于量感認識的關鍵詞“度量意義”“度量單位”“度量方法”“度量工具”“定量描述”。其中，度量單位是在人類漫長的發展過程中，逐步建立和完善起來的度量標準和度量系統。關于度量單位的教學，就成了量感培養的重點。

在小學階段的數學學習中，度量單位是一個核心概念。但在日常教學中，關于度量單位的教學，特別是涉及數的運算與圖形的測量部分，存在一定的認識誤區。如“10×10=100”，認為是計數單位“十”乘計數單位“十”產生新的計數單位“百”，如“3 厘米×3 厘米=9平方厘米”，認為是“厘米乘厘米產生平方厘米”，真的是這樣嗎？

本文擬從以下幾方面進行剖析，從而在厘清知識本質的基礎上探索出與度量單位有關內容的正確教學路徑，從而幫助學生形成量感。

一、單位如何自成體系

單位是指計量事物的標準量的名稱。什么是計量事物的標準量呢？因為度量的本質是指用統一的度量單位去測量，看度量對象包含多少個單位，最后為度量對象賦值也就得到了度量的結果。度量包括抽象度量和具象度量，抽象度量是用通過抽象得到的計數單位去測量，如數數、寫數、比等；具象度量主要是指利用工具得到的計量單位去刻畫事物的重量、長度、能量、體積、溫度、速度等。下面我們分別以“計數單位”與“長度單位”為例進行分析。

國際通用的計數單位是以十進制為基礎，人類首先將自然數1定義為最基本的計數單位“一”，然后滿十進一，將10 個一定義為一1 個十，10 個十定義為1 個百，以此類推。也就是說，從計數單位一到十，并不是由計數單位一相乘得到的，而是由于計數單位一的累加，達到了一個新的標準（十進制下新的標準就是累加達到10個），于是就定義產生了一個新的計數單位“十”。同理，計數單位0.1，是將計數單位一進行十份的細分，將細分后的其中一份（即十分之一）命名為計數單位0.1，而0.01 又是將0.1 細分后命名的其中一份（即百分之一）。

國際通用的長度單位也經歷了一個漫長的發展過程。1889 年第一屆國際計量大會決定，把長度單位“米”固化，制作出了“米原器”，并以“米”為基本單位。通過十進制，衍生出了現在統一使用的國際度量長度單位體系。先定義了1 米，再將1 米平均分成十份，其中一份命名為分米，再將1分米平均分成十份，其中一份命名為厘米，這是長度單位往小的細分；而長度單位往大的累加，也應該有十米、百米。其實關于十米百米的長度單位，在面積單位里是有專門命名的。如邊長為一米的正方形面積是一平方米，邊長為一百米的正方形面積為一公頃，邊長為一千米的正方形面積為一平方千米。由于省略了“平方十米”的學習，小學階段的學習是平方米、公頃、平方千米，學生往往記不住它們之間的進率。

長度單位與面積單位的發展結構，如圖所示：

國際通用的七個基本單位為長度m、時間s、質量kg 等，每一個單位體系都在基本單位的基礎上通過往大的累加和往細的均分形成自己的單位體系。

二、單位能相互運算嗎

1.計數單位能相乘嗎？

以40×20 與0.4×0.2 為例，根據相關運算律，可以進行如下運算：

這樣的運算，背后的算理是什么呢？我們用幾何直觀來說理，如圖：

40×20，表示40 個20 相加，可以先將10 個10 打包，累加為一個新的計數單位百，會發現有這樣的8 個百。實際上在計算10×10 中兩個10 所表示的意義是不一樣的。第一個10 作為計數單位十，第二個10 就表示的是計數單位的個數是10 個，10 個十累加為1 個百，并不是計數單位十乘十的結果，而是因為10 個十達到了新的計數單位的標準。

0.4×0.2，首先在圖中表示出0.4，根據小數的意義，0.2×0.4 就是求0.4的是多少。把0.4 看作一個整體，將它平均分成10份，取其中的2 份。這時通過圖能看到0.4 的0.2 是8 小格，那這個每一小格是多少呢？這時發現如果僅僅將0.4 平均分成10 份，并沒有把原來的整體1 平均分成一樣的份數，而要將剩下的0.6 都均分成10 份，其實也就是將整體平均分成了100 份，每一份就是0.01。由此可見，0.1×0.1，也并不是兩個計數單位0.1 相乘，同理也是一個0.1 表示計數單位，一個0.1表示計數單位的個數，也就是將計數單位再進一步細分成十份，取其中一份，從而產生了新的計數單位。

2.長度單位能相乘進而產生面積單位嗎？

長方形的面積=長×寬，當一個長方形的長為3 厘米，寬為2厘米時，它能擺下6 個面積為1平方厘米的面積單位，這個“6”得到的過程，就正好是3×2。實際上嚴格地來講3×2=6，6 的單位不應該直接帶平方厘米，而應該是3×2=6（個平方厘米）。數學上為了表達更加簡潔，我們就約定省略掉“個”，于是才有3×2=6（平方厘米）。同上面的計數單位的運算相同，這里的3 和2，所表示的并不是3 厘米和2 厘米的長度，3 代表的是一行可以擺3 個面積為1 平方厘米的面積單位，2 表示可以擺這樣的2 行，最后的結果就是3×2=6，6 是計算得到的面積單位的數量。長度單位的變化，是因為所對應的面積單位發生了變化。而面積單位規定了邊長為1 厘米的正方形面積就是1 平方厘米。

到體積單位，也是同理可證。我們先定義了棱長為1 厘米的正方體體積為1 立方厘米、棱長為1分米的正方體體積為1 立方分米，然后再計算長方體里包含了多少個這樣的體積單位，也就是最后的度量結果。如圖：

長為5 厘米，寬為3 厘米，高為3 厘米。長乘寬，計算出一層可以擺5×3=15（個立方厘米）；高為3，可以像這樣擺3 層，即15×3=45（個立方厘米），也就是5×3×3=45（立方厘米）。因此，長×寬×高，并不是長度乘長度再乘長度就能得到體積單位，而內在的邏輯是先定義了相關的體積單位，再計算出體積單位的個數。

綜上所述，無論是計數還是測量，涉及的相關運算，都是在計算已確認的計量單位的個數。

三、如何基于意義的理解開展教學

1.基于運算的一致性，理解運算的法理。

算理就是運算的道理，算法是基于運算的道理而抽象形成的運算方法。基于理解的算法掌握會更利于學生遷移與運用。

整數加減的算法是數位對齊，小數加減的算法是小數點對齊，本質都是相同數位對齊，因為相同計數單位的個數才能相加減。同分母分數加減的算法是分母不變分子相加減，異分母分數的算法是先通分為同分母分數再加減，分母相同是為了保證分數單位相同，再計算分數單位的個數。

整數的乘法是先分別計算有幾個一幾個十幾個百再相加，小數乘法是先按照整數乘法進行計算，再根據乘數的小數位數確定積的小數位數，其實最后確定積的小數位數點上小數點，也就是在確定每一個相應的計數單位的個數。小數除法是在整數除法的基礎上，將無法在計數單位一的基礎上進行平均分的數細分為更小的計數單位來均分。分數乘法中分母乘分母是根據分數的意義確定新細分的分數單位，分子乘分子是在計算新的分數單位的個數。

整數、小數、分數的四則運算，其本質都是在計算計數單位的個數。理通則法自明，學生能理解了計算背后的道理，所有的運算法則就不再是繁雜的添加，而僅僅是算理一致性這條主干上所生長出的枝杈而已。

2.基于度量的一致性，理解度量的本質。

長度與角度的度量，都是先確定一個統一的標準，然后再利用相應的度量工具（長度的度量工具是直尺，角度的度量工具是量角器），再采用一定的度量方法，最后獲得度量結果。面積和體積的度量，沒有具體的度量工具，試想生活中我們如何拿著1 平方米的面積工具去鋪地呢？又或者如何拿著體積為1 立方米的小方塊去堆積？于是聰明的人想到了將二維的度量與三維的度量都轉化為利用一維的量去計算出結果。如前文所述，測量出長方形的長和寬，就能計算出能鋪滿的面積單位的個數；測量出長寬高，就能計算出能堆積的體積單位的個數。在教學面積、體積的內容時，就一定要讓學生理解公式所代表的意義。

有了對度量單位本質和體系的認識，學生就能在真實情境中選擇合適的度量單位進行度量，并在同一度量方法下進行不同單位的換算，感受單位的換算只是改變度量單位和度量單位的個數，其度量值本身沒有變化。

總之，小學階段關于度量單位的教學，占據了較大篇幅。無論是抽象的計數還是具象的測量，其本質都是計數單位個數的累加與細分的過程，而不是單位乘單位的過程。運算中單位的變化，都是往大乘倍率、往小乘分率的結果。