以模塊題組為載體的“結構化練習”設計與應用

文|陳力

“雙減”背景下作業或練習的設計與管理成為大家研究的一個焦點，有效設計數學練習也成為數學教學中減負增效的一個突破口。數學是一門關于結構的科學，運用“結構”的力量可以促進學生牢固記憶、深刻理解和有效遷移。因此，“結構化練習”是數學練習中追求輕負高質的一個重要“腳手架”。

數學“結構化練習”以模塊題組為載體，以結構化超越碎片化，以“題組”取代“題海”，追求輕負高質的練習效果。具體來說，它是指數學教師把新知分解成一個個模塊（以一節課或一個單元為界），弄清模塊的結構組成，圍繞模塊結構中核心要素的生發過程，運用結構化的思想設計相配套的練習題組，通過結構化題組的訓練，促進學生對新知模塊結構化理解的形成、鞏固、深化與拓展，從而以最優的題組結構練習實現“以少勝多”的目的。“結構化練習”以“題組”形式呈現，但不是一組題的簡單拼湊，而是在某一知識模塊共同數學本質或思想方法統領下設計出來的具有內在關聯性和最優結構的好題組合。

根據上述界定，以“模塊題組”為載體的數學“結構化練習”有兩個著力點：一方面要精準吃透“模塊結構”的內涵與組成，弄清該數學知識模塊的數學本質，對它進行結構剖析，解析出核心要素及其相互關聯，并圍繞該模塊結構的生發與完善過程提供相應的練習；另一方面要盡力優化“題組結構”設計策略，遵循分層漸進的原則，安排形成題、基礎題、變式題、拓展題等練習梯度，采取結構化的對比辨析、同模變題、逆向編題、內聯溝通等方法進行最優組題。

因為數學“結構化練習”著眼于模塊結構視角設計配套練習，充分挖掘題組的結構性優勢實現題目的優化組合，所以根據數學模塊結構發生流程中的各階段特點，可設計以下一些同步的題組結構練習。

一、模塊結構“生成”階段，設計“形成性”題組結構練習

以一節新授課作為一個模塊結構來看，教師要給學生提供豐富的學習材料，通過有序的認知流程，幫助學生建立一個初步的新知認識結構。數學學科的學習材料通常以主題情境題目或嘗試練習的形式來呈現，為了有效促進學生新知結構的順利生成，教師要找準新知模塊結構中的核心要點，針對這些要點提供配套的“形成性練習”，并使這些練習題之間具有某種結構關聯性，通過結構化題組形成合力，共同促進學生新知模塊雛形的初步動態生成。

例如，學習《商不變規律》一課，通過導入環節，學生明確了今天是研究“除法里被除數和除數怎樣變化商才不變”這一主題。《商不變規律》這一模塊的本質是“除法里變中有不變的要素特征”，其結構組成中的核心要點有：同時乘、同時除以、相同的數（0 除外）等。這些要點之間的關聯性是：“同時”“相同”與“乘除”之間的條件性組合。為了促進《商不變規律》模塊結構的動態生成，教師出示“（60○□）÷（20○□）=3”讓學生嘗試練習，在學生練習后選擇部分代表性作品組成“形成性練習”結構題組：①（60×2）÷（20×2）=3；②（60×2）÷（20×3）=2；③（60÷4）÷（20÷4）=3；④（60÷3）÷（20÷5）=5；⑤（60×2）÷（20÷2）=12；⑥（60×3）÷（20÷4）=36；⑦（60+20）÷（20＋20）=2；⑧（60－10）÷（20－10）=5。教師運用這些“形成性練習”結構題組讓學生展開進一步探索：先按商不變的和商變了的進行分類，觀察商不變的題目有什么特點，并按這些特點再次舉例驗證；對商變了的題目思考為什么會變，如果要使商不變可以怎樣修改？并探究“被除數和除數同時加上或減去相同的數”商變不變？通過對上述這些正反材料的結構化辨析，學生初步生成了“被除數和除數同時乘或除以相同的數（0 除外），商才不變”這一模塊結構，為后續的進一步鞏固和深化認識奠定了基礎。

二、模塊結構“鞏固”階段，設計“基礎性”題組結構練習

前一環節中學生通過形成性學習已初步生成了新知模塊的認知結構，該結構還不是很穩定，需要進行一些鞏固基礎的活動。教師要對新知模塊結構進行深度剖析，找準結構中起決定性作用的本質要素，針對這些本質要素安排“基礎性”題組結構練習進行即時鞏固。“基礎性”題組結構練習的設計策略有：圍繞該模塊結構，設計專項鞏固本質內涵或組成要素的結構化題組，該題組遵循由封閉到半開放再到全開放的循序漸進原則，由具體到抽象，逐步遞進，抓住相同點進行提煉，根據不同點進行辨析，以少而精的基礎性練習對初步形成的模塊結構進行首次鞏固。

例如，學習《乘法分配律》一課，當學生通過探索初步獲得“（a+b）×c=a×c+b×c”的模型結構后，教師圍繞該模塊中的“兩個數的和與第三個數相乘”“這兩個數分別與第三個數相乘后的積再相加”“得數不變”等核心要素給學生提供以下專項的基礎性結構題組進行鞏固：①（42＋35）×2=42×□＋35×□；②27×12＋43×12=（27＋□）×□；③15×26＋□×11=（□＋□）×□；④（□＋□）×□=18×14＋□×□。該題組的結構組成是：前兩題是封閉題，第③題是半開放題（有兩種不同組合），第④題是全開放題（自由確定第3 個數后再進行兩種不同組合），通過這些步步推進的結構化題組練習初步鞏固了乘法分配律的模塊結構。

又如，學習《小數的意義》一課，小數的本質內涵是“十進分數的另一種表示形式”，學生學了這一課后，要能準確地說出任何一個小數與十進分數意義之間的對應關系。新授之后為了鞏固這一模塊結構的數學本質，可給學生設計這樣的結構化題組：①0.5、0.05、0.005 這三個小數分別表示什么意義？為什么都有“5”，但表示的意義卻不一樣？②0.5、0.50、0.500 分別表示什么意義？這三個小數都占了整個正方形的一半，為什么表示的意義不一樣？③比較0.05 和0.50、0.005 和0.500，每組的兩個小數之間有什么相同的地方和不同的地方？通過多維度的結構化辨析，使學生對小數意義的數學本質有一定的結構化理解。

三、模塊結構“深化”階段，設計“變式性”題組結構練習

學生在鞏固階段的訓練，是以基礎性和模仿性為主，其目的是把新知的模塊結構牢固地建立起來。但學習并沒有結束，還需要經過一個深化階段才能靈活地解釋和應用模塊知識，并使技能向技巧發展。精心設計“變式性”題組結構練習讓學生在課堂上當堂鞏固，就可以通過少而精的結構化求聯訓練獲得深刻而靈活的理解與掌握，進而減輕練習負擔。“變式性”題組結構練習是指圍繞新知模塊結構，變化呈現形式和應用角度來設計一組具有內在結構關聯的練習題，目的是訓練學生對所學知識進行靈活變通的能力。

設計“變式性”題組結構練習可采取同模變題、逆向編題、舉一反三等策略。

例如，前面提到的《商不變規律》一課，在深化階段可為學生設計以下“變式性”題組練習，幫助學生深入認識“商不變”的模塊結構：判斷對錯，①35÷7=（35÷3）÷（7÷3）；②18÷6=（18+18）÷（6+6）；③24÷8=（24-12）÷（8-4）；④12×6=（12÷2）×（6÷2）。運用結構化題組讓學生展開辯論，獲得深度認識：第①題使學生明白，只要條件具備了就要堅信商不變，至于計算中有余數等以后學了分數就能解決了；第②題和第③題讓學生透過現象看本質，前面探究時得出的結論是“同時加上或減去相同的數商會變”，但這兩題是“加上和自己相同的數或減去自己的一半”，其實質是同時乘2 或同時除以2，所以商是不變的；第④題是讓學生防止上當，要看清適用的對象是除法中的商不變而不是積不變。總之，各個題目不管形式怎樣變化，其訓練的模塊結構本質是相同的（同模變題）。

又如，學習《小數乘法》一課，其模塊結構是：先按整數乘法去乘，積的小數位數等于所有乘數的小數位數之和。圍繞該模塊結構，在學生進行了基礎性的順向鞏固之后，可采用逆向編題的策略設計“變式性”題組：已知3.2×5.4=17.28，在括號里填上適當的數，①3.2×（）=172.8；②0.32×（）=0.1728；③（）×5.4=1.728；④（）×0.054=17.28；⑤（）×（）=0.01728。通過該題組的結構化訓練，深化認識小數乘法的算法，并發展學生的逆向思維能力。

四、模塊結構“拓展”階段，設計“延伸性”題組結構練習

當某一模塊的知識經過了基礎性練習和變式性練習得到鞏固與深化后，根據結構化教學的思想，最后還有一個結構拓展環節，主要是將該模塊結構拓展延伸到新情境中應用，擴大使用對象，并將結構相同的不同對象之間進行溝通歸總，使學生領悟內在相通性，實現結構性類推遷移，最終形成結構系統。該階段主要為學生設計“延伸性”題組結構練習，通過練一組題通一類題，發現題目之間的本質聯系，找到其中的通性通法，進而將學生引向高階思維與深度學習之中。“延伸性”題組結構練習可采取一題多延、一模拓用、求聯歸總等策略進行設計與應用。

例如，學習“解決比一個數多百分之幾的問題”，當學生對基本模型結構已掌握之后，可在拓展練習階段為學生設計以下的“延伸性題組”進行結構化辨析：①立新煤礦二月份挖煤60 萬噸，三月份挖煤75 萬噸，三月份比二月份多挖百分之幾？算式為“（75-60）÷60”；②立新煤礦三月份挖煤75 萬噸，比二月份多挖15 萬噸，三月份比二月份多挖百分之幾？算式為“15÷（75-15）”；③立新煤礦三月份挖煤75 萬噸，比二月份多挖15 萬噸，二月份比三月份少挖百分之幾？算式為“15÷75”；④立新煤礦二月份挖煤60 萬噸，比三月份少挖15 萬噸，二月份比三月份少挖百分之幾？算式為“15÷（60+15）”。解題之后，讓學生將①和②進行對比辨析：發現模型結構并沒有變，都是“多挖的數量÷二月份的數量=多挖了百分之幾”，只是已知條件發生了變化。接著將②和③進行對比辨析：發現已知條件都相同，但所求問題發生了變化，其模型結構拓展成了“少挖的數量÷三月份的數量=少挖了百分之幾”。最后將③和④進行對比辨析：發現所求問題沒有變，也就是模型結構沒有變，但已知條件發生了變化。通過一題多延并進行了三次結構化辨析后，讓學生進行歸總溝通，上升到共同本質高度來認識，發現這組題不管怎樣變，其本源結構是相同的。

又如，學習《長方體和正方體的體積》一課，當學生已經比較熟練地掌握并應用了“長方體的體積=長×寬×高”和“正方體的體積=棱長×棱長×棱長”后，可在拓展練習環節帶領學生進行求聯歸總，探索出“長方體和正方體的體積=底面積×高”，并通過課件動態演示來體驗“底面累加升高形成長方體或正方體”的過程。在此基礎上進行同結構類推遷移，為學生設計以下“延伸性題組”進行結構化練習：已知各個立體圖形的底面積（長方形、正方形、三角形、梯形、五邊形、六邊形的面積）和各自的高，計算它們的體積。通過練習，讓學生發現所有的直柱體都有共同的本質：就是“底面累加升高形成直柱體”，因此都可以用“底面積×高”來計算體積，最終建立起了直柱體體積計算的結構系統。

上述四個階段是一個有機整體，它們共同促進數學新知結構的順利形成與完善。

數學結構化練習是結構化教學思想在練習環節的應用，它以共同的模塊本質結構為統領，以題組結構練習為手段進行結構化鞏固與升華，為學生開展數學結構化學習提供了練習保障，為走出題海戰術指明了一條道路。