始于“自然而然”終于“貫通了然”
——整體性視角下人教版“中括號”的教學探尋

文|金瀅

一、基于整體看“括號的認識”編排：有序推進，自然生成

以人教版為例，兩步混合運算分散在四冊教材中進行學習，在一二年級依次經歷了“連加連減——加減混合——認識小括號——乘加乘減——加減乘除混合”這幾個階段的學習，二年級下冊第五單元《混合運算》是對前面所學知識的一個梳理和總結。第一學段兩步混合運算與小括號認識的學程細膩而緩慢，關鍵例題都結合具體情境，可以讓學生充分了解四則運算的意義。

四則混合運算的難點是括號的使用，而到了第二學段，中括號的出現(xiàn)將四則混合運算的學習帶入新的高度，它讓運算的順序變得更加多變，也更加復雜。四年級下冊的《括號》一課既帶領學生認識“中括號”，同時也是整數(shù)四則混合運算的收官課，容量大、思維含量高，但教材卻以最直接、最簡單的方式告訴學生：一個算式里，既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。

那么，這樣的方式是否適合每個學生呢？小括號的使用方法是否能直接被遷移？學生是否真正理解中括號的意義呢？

二、基于課例看“中括號的認識”實踐：形式有余，本質難達

教學中許多教師都緊緊抓住了“中括號改變運算符號”這一核心，通過“24 點”“合并算式”等形式激發(fā)學生創(chuàng)造“中括號”的需求，在討論交流中明晰“中括號”的使用方法和四則混合運算的計算法則。看似“基于學情”的設計背后，卻暴露出諸多“漏洞”。

1.高起點引入——云里霧里。

在課的引入環(huán)節(jié)，有教師通過把“2×6=12，12÷3=4，24-4=20”“8-2=6，24÷6=4，4×7=28”和“1+5=6，12÷6=2，56÷2=28”三個層次的分步算式合并成綜合算式展開。但是很多學生無從下手或者錯誤應答，失去了學習的興趣。

其實，早在二年級下冊的混合運算單元練習中，人教版教材就出現(xiàn)了上述合并綜合算式的練習，盡管當時只有兩步計算，但這類練習卻是錯誤率最高的。可見，教學不可只追求創(chuàng)意，基于學情，前后關聯(lián)才是明智之舉。

2.簡單化遷移——漏洞百出。

遞等式計算過程的展開環(huán)節(jié)，許多教師原先認為“學生能自主遷移”。把遞等式計算簡單化處理的背后是對學情的盲目和不理解，以及對教材認識的不到位，導致計算漏洞百出。

3.優(yōu)生化替代——表面建構。

無論是“算式合并”還是“算24 點”，當對選擇的學生的材料進行再加工時，“中括號”確實能呼之而出。但往往集中在部分學生中，他們能直擊問題所在，并通過“中括號”解決運算順序問題，而很大一部分學生始終處于能“聽懂”卻“不會用”的狀態(tài)。

三、立足教材學情實現(xiàn)“中括號的認識”重構：扎根本質，貫通了然

《數(shù)學課程標準（2022 年版）》中關于“數(shù)與運算”的內容要求中明確指出：第一學段是在具體情境中，了解四則運算的意義；第二學段是在解決簡單實際問題的過程中，理解四則運算的意義，能進行整數(shù)四則混合運算，正確運用小括號和中括號。可見，情境是理解意義的基礎，意義是學習最終的指向。本著整體性和結構性教學思想，筆者以為，尋找相關知識、方法和思想的連接點，才能讓學生真正掌握括號的意義和應用。

1.合理借鑒，特寫教材留白的內容。

浙教版教材在中括號之前一共安排了七個例題的學習。這個學習的過程恰好對應人教版教材學習兩步混合運算的路徑。教學中應基于人教版教材有所取舍地進行補充，把從形式上看具有類似結構的算式作為混合運算拓展的切入點。

2.創(chuàng)編情境，意義的學習有章可循。

數(shù)學課程的整體化，要凸顯對數(shù)學本質的理解，應引導學生從混合運算的原理和法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結構。

（1）變式追尋本質，讓知識生長有“根”。

從最基本的題型入手進行教學。引入新課后，教師出示12-4×2，讓學生說一說運算順序。

【教學放大鏡一】

第一次變式：如果讓算式長出翅膀96÷12-4×2 你還會算嗎？試著算一算。

收集資源后進行反饋交流：

對比一：

（1 號生成材料）

（2 號生成材料）

交流問題：沒有小括號的三步混合運算中先乘還是先減？引導學生從“8-4×2”這一步聯(lián)想到以前學習的兩步混合運算順序。

對比二：

（2 號生成材料）

（3 號生成材料）

交流問題：除和乘能同時計算嗎，能不能舉出一個數(shù)學問題來說明可以同步計算？通過實際問題充分說明這里的乘和除可以同時計算。在此基礎上，進一步追問，如果算式改成“96-12÷4+2”還能兩邊同時計算嗎？為什么？以此突破前測中錯誤率最高的混合運算類型。

第二次變式：聚焦到上文1號作品，追問如果要按照這樣的運算順序，原題可以進行怎樣的改變？引出小括號算式（96÷12-4）×2。并讓學生創(chuàng)作：小括號除了加在這里，還可以加在哪里？通過對比進一步深刻體會有小括號混合運算的運算順序。

（2）情境助力模型，讓中括號有“意”。

通過情境鏈接運算的分步與綜合，能讓學生更加深刻地理解中括號產生的必要性以及運算順序的合理性。

【教學放大鏡二】

依次出示題組，讓學生選擇用哪個算式解答，以情境解讀剛才的混合運算含義，并通過問題引發(fā)中括號的使用：從分步計算——合并成綜合算式——中括號不同形式表征的異中求同來完成對含有中括號的算式的意義理解。

反饋層次一：分步計算，聯(lián)系算式意義。

反饋層次二：將分步計算合并為綜合算式后出示兩幅錯誤作品。

讓學生進行辨析，得出第一幅作品算完小括號里的以后，要先算96÷8，不符合剛才的思路；第二幅作品沒有用一個完整的綜合算式。在對比交流中，結合問題情境形成以下板書：

（3）抽象脫離情境，化整為零聯(lián)系“運算本源”。

運算教學既要讓學生理解算理，也要掌握算法，混合運算的學習同樣需要這樣推進。在脫離具體情境聚焦到算法的提煉的環(huán)節(jié)，追問學生“在這遞等式計算中，你找到了哪些我們以前學的混合運算算式？”根據(jù)學生回答，電腦演示從算式中進行剝離（如下圖）。

通過局部到整體，再由整體關注到局部，著眼于整個知識體系的視角，有效打通了兩步計算和三步計算之間的本質聯(lián)系。

（4）超越“運算順序”，添加符號體會“結果唯一性”。

一直以來，“括號”用來改變運算順序的作用深入人心，卻忽略了改變運算順序背后的數(shù)學實質是確保運算結果的唯一性。

【教學放大鏡三】

出示360÷48÷12+4，根據(jù)這個算式添加不同的括號并進行計算。

1 號作品

2 號作品

3 號作品

交流添了括號后運算順序是否正確后，學生發(fā)現(xiàn)：

生1：數(shù)相同，運算符號也相同，得數(shù)不同。

生2：括號的位置不同，造成運算順序也不同，所以計算結果也不同。

生3：如果沒有規(guī)定的括號，不同的人添加的位置不同就會有各種結果。

師：添加的括號位置決定了運算的順序，也就保證了運算結果的唯一。

緊接著對比1 號作品和4 號作品，通過比較把學生的思維引向深入：

1 號作品

4 號作品

師：添加的括號不同，什么相同？

生1：運算順序相同，結果也相同。

生2：看上去符號不同，其實都是先算48÷12，再算4+4，所以中括號在這里并沒有起到作用。

生3：添加的括號要有效，否則就是畫蛇添足。

至此，學生對于括號的使用有了更加理性的思考，也對括號改變運算順序使得運算結果唯一有了深入的體驗。

綜上所述，對于數(shù)學規(guī)定性的知識，同樣需要厘清它的體系，基于整體性視角賦予有意義的學習，讓學生經歷知識發(fā)生的過程，而不是直接告訴結論。如此，才能讓學生主動地學習，更加深刻地理解“規(guī)定”的來龍去脈。