舉個例子講完一類運算
——分數除法運算一致性例談

文|杜蓉

度量觸及數學的本質，是貫通數量關系和空間形式的橋梁，它是人類認識、理解和表達現實世界的重要工具。量感作為度量的核心，其重點是培育學生對于事物可測屬性進行定量感知的基本能力。在量感培養過程中，如何從度量角度解讀數的運算中的法理一致性成為當前教學的一個難點。現以分數除法的教學為例說明。

在度量視野下，分數除法的算理和算法都與整數一樣，都可以看作“計數單位個數”的累加或細分。不過，學生在學習分數除法運算時，出現這么一個現象：計算出“6÷”的得數很容易，但說明其算理卻不盡如人意。

首先，從教材看?，F有教材例題較多，算理表征復雜，使學生對運算意義表述不清。

其次，從教師看。對算理認識不夠，方法缺少統一，使學生對運算的算理掌握不了。

第三，從學生看。分數內涵豐富，運算較為抽象，學生對運算認識和理解不充分，導致算理不清算法混亂。

最后，從2022 版前課程標準看。度量意識重視不夠，運算意義把握不足，導致“加減乘除有各自的算理，整數、分數、小數運算有各自的算法”。

如何避免這一現狀出現呢？

一、抓住度量本質，理解運算標準的一致性

度量的本質就是度量數量的多與少。當度量的次數、維度或者群落不止一個時，就產生了量值運算。比如，先數出張家80 只羊，接著數出李家120 只羊。這時，要算總數就需要再計算一次，相當于再度量一次，也就是接著數或者從頭數。這樣，度量和運算的關系，就變成了干一件事兒的不同階段了。

以前人們一直認為度量只是個幾何學概念。隨著對度量本質的理解，我們才知道度量是連接數和形的紐帶。它可分為兩類，一類是借助工具得到度量結果，另一類是通過思考得到度量結果。數的運算就是用數學思考進行度量。史寧中教授說：“所有的運算都可以還原成計數單位和計數單位個數的運算?！边@就說明度量的本質決定了運算的意義。

《數學課程標準（2022 年版）》指出：“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算?！薄斑\算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法和算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題。”將兩段描述連起來看，就能理解運算的一致性，是基于度量標準和度量本質而言的一致性。

二、抓住除法意義，把握運算本質的一致性

1.把握除法類型。

從編者意圖看，這些例子包含了分數除法的不同類型。比如除數是整數（①②），除數是分數（③④⑤），除數是分率（①②⑤），除數是數量（③）。還有被除數是分數，除數是整數的例子。還能細分出分子與除數成整數倍數和分子與除數不成整數倍數的。

學習分數除法需要這么多例子嗎？根據史寧中、鞏子坤等人對運算一致性的理解：“所有的運算都可以還原為加法”“所有的數都基于計數單位建構”。我們認為，分數除法可以像整數除法那樣，也用兩類例子（如圖1）。

圖1 兩類整數除法

第一類例子代表等分除，見圖1 中的例1；第二類例子代表包含除，見圖1 中的例子2。

兩個例子舉完，接下來要做的事就像圖1 中的例3 那樣，將兩類例子進行比較，便于學生歸納和總結。因此，基于運算本質的一致性，學習分數除法就用兩個例子，一個等分除求數量，另一個包含除求分率。至于相除的時候，被除數是否為分數，除數是否為分數，我們都在這兩類的基礎上，進行數的變換。這樣，分數除法內容經過一番瘦身，減去相似與重復的，重在類型之間的區別與聯系，突出分數除法運算的本質。

關于除法的類型，也可以從乘除互逆關系進行思考。根據乘法模型a×n=b（n 為計數單位個數或頻數）得到兩個除法模型，即b÷a=n 和b÷n=a。這兩個模型就是整數、小數、分數除法運算的統一模型，只是運算時a、n、b 可以為不同的數而已。

2.把握除法意義。

圖2

圖3

這里需要強調的是，無論是整數除法還是分數除法，在表示乘法和除法的意義時，都要考慮到除法情境中每個數的具體意義，正確判斷這個數到底表示計數單位，還是表示計數單位的個數。然后按照該情境對應的除法類型進行解釋。如果是沒有具體情境的算式，就要從除數是分率和除數是數量兩個方面分別闡述。

三、抓住計數單位，突出運算方法的一致性

1.確定計數單位和計數單位的個數。

基于分數除法運算一致性，在理解分數除法的算理和算法時，最關鍵的一步是確定計數單位和計數單位的個數。

【情境1】你有6 張餅，如果邀請小朋友一起品嘗，每個小朋友分張餅，可以分給幾個小朋友？

學生理解題意后，列出算式，展開討論。首先確定計數單位，1是所有數的基本單位，因此分數計算就從單位“1”開始思考。

根據乘法結合律，用算式表征：

根據分數意義用語言表征：1里面1 個1，1 細分3 次得到3個。6 里面就有18個。將其再繼續每2個為一份度量，可以分9 份。所以=9（個）。

根據分數的意義用算式表征是：

由此可見，無論哪種算法，我們都是先確定計數單位，也就是度量的標準，再按照這樣的標準進行度量。并且，如果是二維度量或者多維度量，運算時就會產生新的計數單位。新的計數單位產生后，必須再按照同樣的方法進行度量，就可以得到運算的結果。

2.區分計數單位是累加還是細分。

在上面的算理解釋中，我們發現一個有趣的現象。分數除法運算時，一會兒是計數單位累加，一會兒是計數單位細分。到底怎樣區分是累加還是細分呢？

將除法還原成乘法進行思考。根據a×n=b（a 為計數單位，n 為計數單位個數），這里的n 可以是整數、分數和小數。那么，計數單位乘n 就會出現三種情況，即n=1，n＞1和n＜1。當n=1，計數單位不變；當n大于1，就是計數單位在累加；n＜1時，即計數單位在細分。需要指出的是，如果n 是一個分數如時，計數單位就會進行二維度量。即先將“1”細分m 份再累加c 次。如，表示計數單位“1”細分成3 份再累加2 次；n=表示計數單位“1”先細分3 份，再按照新的計數單位累加4 次。

所以講述算理時，要先確定計數單位，再確定計數單位的個數。然后，根據計數單位的個數與1 的大小關系來判斷是累加還是細分。

實際教學中，要學生判斷分數除法運算是否累加和細分如果有困難，可以把除法還原成乘法，根據乘除互逆的特點進行推理。

總之，基于運算一致性，所有的運算都可以看成是計數單位個數的運算。相信，通過對運算一致性的理解，學生會覺得分數除法的運算也不再困難和無趣。