加強概念變式增進概念理解
——《梯形的認識》素養進階習題展評與教學建議

文|章威維 陳楚楚 宋煜陽

一、習題展評

●習題一

1.習題內容。

在下面兩個圖形中分別添加一條線段，使它形成梯形。（每個圖形各畫四個）

圖1

圖2

說一說：圖1 改畫為梯形，你是怎樣想的？_______________。

圖2 呢？_______________。

2.能力指向。

對梯形定義的理解。通過梯形的分割活動，考查學生對梯形概念的了解程度。要形成梯形，在沒有平行線的圖形中，需要創造出一組平行線；在平行四邊形中需要破壞一組平行線，使圖形只有一組平行線，強化“只有一組對邊平行”的定義理解。

3.學情分析。

對鄉鎮小學39 名學生進行了后測，發現一半以上的學生對圖1 能畫出2、3 個梯形，圖2 基本能畫對。圖1 中58.9%的學生畫出與線段a 構成一組平行線的梯形，38.5%的學生畫出與線段b 或線段d 構成一組平行線的梯形，只有12.8%的學生畫出與線段c構成一組平行線的梯形。可見學生對一般四邊形中分割出梯形，有需要創造出一組平行線這樣的意識，但對平行線的方位，還是趨向于水平方向的最多。69.2%的學生無法清楚地寫出“說一說”中畫出梯形的依據，只會根據圖形描述成：“把四邊形分割成一個梯形和三角形”，不能從梯形的概念去說明如何從一般四邊形或平行四邊形中分割出梯形。

●習題二

1.習題內容。

在下面圖形中任選兩個圖形進行隨意交叉擺放，重疊部分會形成不同形狀的圖形。按要求選擇合適的序號并畫出草圖。

2.能力指向。

對各個圖形特征的掌握與應用。通過兩個圖形交叉后重疊部分圖形的判斷，考查學生對圖形特征的認知，發展學生的動態想象能力。

3.學情分析。

測評統計顯示，試測班級中12.8%的學生能全部正確解答，但大部分的學生只能回答正確（1）（2）（3）小題，解答兩個圖形重疊部分是六邊形出現困難。錯例中部分學生畫成了五邊形，如下圖。

這個錯誤體現出學生缺少對不規則多邊形圖形的認知。學生平時常見的圖形都是規則的圖形，如六邊形常見的是正六邊形的圖示，但對不規則六邊形學生就不敏感，已有認知經驗的缺乏導致解題困難。

●習題三

1.習題內容。

在下面方格圖中，在格點上（方格交點）添加一個點，得到一個梯形ABCD，點D 的位置有（）種選法。請在格子圖里畫出所有梯形，標注出點D 的序號，如第一種D1，第二種D2。

2.能力指向。

對梯形概念變式和梯形特征的辨析。根據三個點找第四個點形成梯形，在動點的移動中，考查學生對梯形概念的理解和特征的掌握，發展學生的空間觀念。

3.學情分析。

根據學生解答的具體表現，劃分為五個水平層次，如下表。（表格見文末）

測試班級學生的水平大多集中于水平1、水平2 和水平3。問題主要反映為概念變式認識不充足，局限于標準梯形（兩底水平方向）和直角梯形等特殊梯形的認知，對一般梯形（兩底不在水平方向或兩腰接近平行）辨認度低。60%的學生能找到形成直角梯形的點D；43.5%的學生能找到與AB 邊平行的線段DC 上的三個點，還有20%的學生錯誤地把形成平行四邊形的那個點也標進去了。另外的三個點，需要調用與BC 邊平行的線段認知經驗，學生明顯碰到了困難，只有15.6%的學生能找到其中的1、2 個點，達到水平4 的不足6%，說明對梯形概念特征的靈活辨析能力還不足。

二、教學建議

1.在操作和辨析中，建構圖形特征，強化概念理解。

在建立標準梯形的表象時，學生對于“兩條底不在水平方向”或“兩條腰接近平行”這些非標準圖形的一般梯形，容易出現辨識困難，需要通過變式材料的操作、辨析幫助學生建構概念。教學中，一方面通過畫不同梯形的活動，在比較中凸顯梯形的本質屬性；另一方面通過變式圖形辨析活動，引導學生從形和邊這兩個角度去判斷，以強化梯形的特征。像習題一添加線段的過程中，在一般四邊形中努力找出一組平行線，建立“沒有平行線的四邊形需要創造一組平行線”的操作經驗；而在平行四邊形中，則需要破壞一組平行線，使它們不平行。這樣的操作，都指向“只有一組對邊平行的四邊形是梯形”這一概念本質理解。

2.在分割和移動中，加強圖形聯系，發展空間觀念。

在四邊形概念體系中，梯形與其他四邊形的關系非常密切。需要打通各圖形之間的聯系壁壘，通過分割或移動，建立梯形與其他圖形的聯系。如，移動梯形的上底，當上底與下底一樣長時，就變成了平行四邊形；當上底為零時，就變成了三角形。又如，在一個梯形中畫一條線段，既能分割成平行四邊形和梯形，也能分割成兩個三角形，還能分割成兩個梯形或一個梯形和一個三角形等。這些分割和移動，有效溝通了梯形與其他圖形的關系，培養和發展了學生的動態想象能力。教學中，可以動態演示一個梯形，隨著一個點的不斷移動，從“標準梯形——等腰梯形——直角梯形——平行四邊形——兩腰接近平行的梯形——三角形”進行轉變，圖形的變動引發了特征的變化，促使學生對梯形與平行四邊形、三角形之間的內在聯系理解更為清晰。