準確把握認知起點 提高數概念課教學的有效性
——“倍的認識”案例分析

陜西省安康市教學研究室 李 志

案例背景：

“倍的認識”是人教版數學三年級上冊第五單元第一課時的內容，是“數與代數”領域中的一節典型概念課。比較兩個數量大小，一種是比較它們的差（相差問題），另一種是比較它們的比率關系（倍比問題），比率這一概念在數學學習中有重要的作用，是學生進一步學習比例、一次函數的基礎。而倍的認識又是進一步認識分數、百分數、比這些比率關系的基礎。

在學習“倍”之前，學生頭腦中建立的是“加法結構”，是數量的合并與多少的比較，而對兩個量之間的比率關系問題的理解，則需要在頭腦中建構起“乘法結構”，“倍的認識”正是建構乘法結構的開始。心理學研究表明：“乘法認知結構的發展，乃是對乘除法問題中的兩組對應的四個數值構成的關系（對應、倍數關系）的認知過程”，可見，理解兩個量的倍數關系（比率）也是學生乘法認知結構建立的重要方面。

乘法結構是在加法結構基礎上產生的高層次的數學認知結構。從加法結構到乘法結構，學生的認知需要發生一定程度“質”的變化。“倍”的學習是發生質的變化的第一次機會（乘法的認識還是“合并”與“累加”的過程，本質還是“加法結構”）。學生學習倍需要經歷認知結構的轉變，而認知結構的轉變是學習中最大的困難。因此，建構倍的直觀模型，認識倍這個抽象的概念學生存在困難就很容易理解了。

平利縣教研師訓中心呂蒙老師執教的“倍的認識”一課，就為廣大教師提供了很好的范式。其課堂最大的亮點在于教師能夠根據學生的年齡特點，準確把握學生的認知起點，做到了三個注重：一是注重用直觀、趣味化的呈現方式引導學生學習概念；二是注重用多樣化的體驗方式引導學生感知內化概念；三是注重用靈活的變式學習活動拓展學生的思維寬度。抽象的數學概念教學在有趣的情境、豐富的活動、多維的思考中落地生根。

一、課前精彩互動，讓數學學習情感有溫度

【片段】

師：同學們，你們喜歡看電視嗎？喜歡看什么電視節目呀？

生：動畫片、科幻片……

師：溫馨小提示，同學們看電視可要控制好時間，注意保護好我們的視力！你們想知道老師喜歡看什么電視節目嗎？

生（急切）：想！

師：老師可喜歡看魔術表演了。今天，老師也給大家帶來了一個小魔術，你們想看嗎？不過呀，今天我帶來的小魔術需要和同學們合作才能完成，你們愿意跟老師合作嗎？

生（激動）：愿意！

師：（師出示道具）現在由你們來施魔法，一起做手勢說魔法咒語“魔法變變變”看看會發生什么奇跡呢？

…………

魔術表演，很吸引學生的眼球，伴隨著“魔法變變變”的聲音，開始魔術表演。

片段分析：

魔術表演既為探索新知做了鋪墊，又讓課堂有序有度，有思維含量。學生的學習積極性高了，學習熱情就高了。這樣的課堂，學生喜歡，課堂氛圍也非常好。

二、靈活處理教材，讓數學學習參與有興趣

【片段】

師：剛才我們一起玩了一個小魔術，好玩嗎？

生（興奮拍手）：好玩好玩！

師：在今天的數學課堂上，我們也來感受一下魔法的神奇、魔術的魅力吧！

課件出示：

師：看，這里有3個水果魔盒（蘋果、梨、桔子），只要你在任意一個水果魔盒里面放入相應的一個水果，它就能變出不止一個這樣的水果，想不想來見證一下？

生（迫不及待）：想！

師：我們首先來看看蘋果魔盒吧！當在魔盒里放入一個蘋果后，大家就一起說魔法咒語“魔法變變變”，看看會有什么神奇的變化呢？

…………

（伴隨著“魔法變變變”的有節奏的聲音，學生在神奇的魔術變化中發現蘋果魔盒變出了2個蘋果，梨魔盒變出了6個梨，教師板貼其個數，為新知學習提供了素材。）

師：我發現咱們班的同學都有一雙數學的眼睛，作為數學老師，必須為你們點贊！數學的課堂，不僅需要我們具有數學的眼光，還要能從數學的角度思考問題才行，那現在請同學們比一比這兩種水果的數量，說說有什么發現？

生1：梨比蘋果多4個。

生2：梨的個數是蘋果的3倍。

師：是的，在比較兩個事物的數量時，除了誰比誰多、誰比誰少這種相差關系，還有一種關系就是剛才這位同學（生2）說的倍的關系。今天這節課，我們就一起來研究：倍的認識。（生書空板書課題。）

片段分析：

教師評價語言豐富、多樣，對學生的評價有揚有抑，并且絲絲入扣，直抵內心。教師在自然和諧的氛圍中與學生一起寫課題“倍的認識”，小手隨教師板書書空，有示范性和重點強調的作用。在有趣的情境中，從學生已有認知出發，讓學生感受到了學習數學的樂趣，激發他們主動參與的意識和愿望。

三、注重操作體驗，讓數學學習知識有建構

【片段】

師：剛才這位同學說是3倍的關系，你能說說是怎樣想的嗎？

生：蘋果有2個，我看梨有3份蘋果那么多，所以數量就是蘋果的3倍。

師：有什么好辦法能讓別人從圖中一眼看出梨的個數是蘋果的3倍嗎？

（生將梨2個2個圈起來。）

師：她剛才是怎樣圈的？（2個2個圈）你有什么疑問？

生：我想問你，你為什么要兩個兩個圈呀？

師：這位同學是今天課堂上第一個主動提出問題的，會提問的學生一定是會思考、會學習的學生，希望大家能向她學習。

生：蘋果有2個，2個2個地圈能讓我們清楚看出梨有這樣的3份，就是蘋果個數的3倍。

師引導梳理：哦！蘋果有2個，梨圈出了（3個2），也就是圈出了這樣的3份，我們就說梨的個數是蘋果的（3倍）。（板書：梨的個數是蘋果的3倍。）

師：圈的過程中有什么要注意？

生：不能隨便圈。

生：要把蘋果的數量看作一份，2個2個地圈。

片段分析：

核心環節教學活動的組織，一定要讓學生在自主參與中經歷概念的形成過程。教師在引導學生感知兩種水果倍數關系的基礎上，啟發思考：為什么這樣做？這樣做要注意什么問題？很好地將操作和思維有機結合，不僅更好地建構“倍”的直觀模型，也促進了學生思維的發展。

【片段】

師：剛才我們用的什么方法一眼看出來梨的個數是蘋果的3倍？

生：圈一圈。

師：我們一起再來回顧一下剛才的過程吧！

…………

師：誰能完整地再說一說？

片段分析：

課堂中，教師反復讓學生完整的表達和清晰的思考，從這一過程中，學生不僅能初步感知倍的概念，還能體會到語言表達的重要性。語言是思維的外殼，只有想得清，才能說得明。注重語言表達的條理性，就能有效地培養學生思維的邏輯性。而且在說的過程中，還明確了標準量和比較量的關系，讓倍的概念真正內化于學生心中。

四、落實四基四能，讓數學學習思維有發展

【片段】

師：我們再來看看桔子魔盒有什么神奇的魔力吧！（課件演示：魔盒中放入一個桔子，變出12個桔子。）

生（驚訝）：哇！變出了這么多的桔子呀！

師：當然魔盒的魔力變大了，思考的難度也就變大了。仔細觀察，桔子和蘋果的數量，想一想，它的個數和蘋果又有著怎樣的倍數關系呢？

生：桔子的個數是蘋果的6倍。

師：咦，同樣都是和蘋果比較，為什么這次比出的倍數關系不一樣呢？

生：因為蘋果有2個，梨圈出了3個2，梨的個數是蘋果的3倍；而桔子圈出了6個2，桔子的個數就是蘋果的6倍，所以它們的倍數關系不一樣。

片段分析：

在學生通過“圈一圈”的活動初步感知倍的概念后，讓學生在觀察、對比中引發進一步思考：為什么梨、桔子都和蘋果比，倍數關系不一樣？（標準相同，倍數變化）教學中，教師抓住學生的學習基礎，以標準量為切入點，引發學生思考，不僅使學生對倍的認識更加深刻，而且也把學生的思維逐步引向了深入。將思考與操作有機結合，層層遞進，讓學生的操作更有效，讓學生的數學思考更有序。

五、感悟數學思想，讓數學學習活動有意義

【片段】

師：同樣都是在跟蘋果比，梨有3個2，梨是蘋果的3倍，桔子有6個2，桔子的個數就是它的6倍。如果桔子魔盒的魔力更大，變出這樣的10個2呢？

生：它的個數就是蘋果的10倍。

師：如果變出這樣的50個2呢？

生：它的個數就是蘋果的50倍。

師：如果變出100個2呢？

生：它的個數就是蘋果的100倍。

師：如果再繼續這樣變的話，誰能用一句話概括一下？

生：桔子的個數變出了這樣的幾個2，它的個數就是蘋果的幾倍。

師：說得太好了！在比較的時候，雖然它們的倍數關系不一樣，但是它們有沒有什么相同的地方？

生：都是2個2個一圈。

師：為什么都是2個2個的圈呢？

生：因為都在和蘋果比較，蘋果有2個。

師：蘋果有2個，我們就把蘋果的這兩個作為一份。我們圈出了這樣的幾份，個數就是它的幾倍。

師：再來看看這些水果的數量，你還有什么新的發現嗎？

生：我發現桔子的個數是梨的2倍。

師：你是怎么看出來的呢？

生：把6個梨的數量看成一份，桔子能圈出這樣的2份，所以桔子的個數就是梨的2倍。

師（故作疑惑）：咦，剛才不都是2個2個的圈，這次怎么要6個作為一份圈呢？

…………

引導小結：一份的量變了，它們之間的倍數關系也就變了。看來，我們在比較的時候，確定一份的量很重要。

片段分析：

抽象、推理、模型是基本的數學思想。數概念課是培養學生抽象思想的一種非常好的載體。本節課從蘋果和梨、蘋果和桔子具體的3倍、6倍的倍數關系，到誰里面有幾個幾，誰就是誰的幾倍，以及在活動中進一步引發思考：為什么梨、蘋果都和桔子比，倍數也變了？（標準不同，倍數就不同。）這不僅讓學生更加深入理解倍的概念，也體現了從具體到一般的推理思想。在這個過程中，讓學生用數學的眼光觀察，用完整的數學語言表達，這正是在培養學生的模型思想。

六、關注知識本質，讓數學學習定位有高度

【練習一：填一填】

課件出示：

練習一中呈現了綠、黃、藍3種點子圖，分四個層次完成，先讓學生們自己獨立完成，然后集體匯報,誰是誰的幾倍？然后教師追問，還能看到其他的倍數關系嗎？學生說出了藍色圓點個數是黃色圓點的2倍。最后教師追問，在完成的過程中你們圈了嗎？為什么不圈？引出當一組一組呈現的時候不用圈，可以一眼看出來。

練習一片段分析：

這是一道基礎性練習題，綠色、藍色、黃色三種點子圖，在顏色區分與一組一組的呈現方式中，學生可以很直觀地看出三種量中存在的倍數關系，鞏固了本節課的重點知識。教師善于挖掘素材中存在的知識點，完整找出三種量的倍數關系，這樣的倍數關系顯性的有兩組，隱性的有一組。同時教師注重數學方法的指導，一組一組地看，一組一組地引導。

【練習二：想一想】

課件出示：

這是一道比較開放的題，呈現的素材是4朵紫花6朵黃花，分三個層次教學：首先明確兩種花有關系嗎？學生受新知學習的影響，認為沒有關系。教師繼續追問：兩個量一點關系都沒有嗎？引出：兩個量雖然沒有整數倍關系，但是它們有相差的關系，不能“結識了新朋友忘了老朋友”。最后教師追問：如果要是黃花的朵數是紫色的2倍，可以怎么辦？給了學生充分表達的機會：可以添上2朵黃花，也可以去掉1朵紫花，或是同時去掉2朵紫花和2朵黃花……這樣就使得原本不具備整數倍關系的兩個量變成有倍數關系的兩個量。在改變標準量與比較量的過程中，不變的是倍的本質屬性，一種量中有幾個另一種量，它就是另一個量的幾倍。

練習二片段分析：

這里的設計符合學生的認知規律，構建了生本、師本、文本的和諧關系，打破學生的固化思維，體現了“溫故知新”“學而時習之”的理念。

【練習三：變魔術】

課件出示：

課件中呈現直觀的兩條絲帶，分四個層次教學：首先綠色絲帶的長度不變，不斷變化紅色絲帶的長度，使紅絲帶的長度是綠絲帶的1倍、2倍、3倍、4倍，在不斷的變化中，體現了一份量不變，變化比較量，倍數關系發生了變化，突出了1份量的重要性；接著標準量（綠絲帶）增加一節，即1份量變化了，倍數關系發生了變化；第三個層次是要使紅絲帶的長度是綠絲帶的3倍，怎么辦？（增加兩節紅絲帶。）這個時候1份量不變，變化比較量。在這三個層級的基礎上最后教師把這兩根絲帶不斷變細，變成線段圖，引導學生發現兩個量之間長度的倍數關系是不變的，突出了倍的本質屬性，倍就是兩個量之間的一種關系。

練習三片段分析：

這樣的練習設置體現了層次性，從基礎練習到拓展性練習，層層遞進，由概念的表象層向深層本質挖掘；讓學生從這些實物中抽取共同的、本質的特征，舍棄非本質的特征，以加深學生對抽象的“倍”的認識，從而對倍本質屬性的認識逐步加深。

總之，概念課教學是抽象的，枯燥的，教師要關注學生的個體，和諧共進，創造有溫度的課堂；有效地整合教材內容，激發學生的學習興趣；重視學生的操作體驗，引導學生經歷模型的建構過程；關注多維目標的落實，提高學生的數學素養，讓概念課教學的有效實施真正地落地生根。