“做中學”理論在“勾股定理”課堂教學中的運用

張海濤

(江蘇省徐州市中國礦業大學附屬中學 221116)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中指出：“數學教學應根據具體的教學內容，注意使學生在獲得間接經驗的同時也能夠有機會獲得直接經驗，即從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，促使學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.學習數學的最好方式是做數學，因此在數學課堂教學中，就要求授課教師應該根據學生已有的知識狀況和心理特點進行教學，讓學生親身經歷知識的發生發展過程，充分發揮學生的主體作用，進行知識的再創造，“從做中學”，從而達到改變學生的學習方式的核心理念.

1 “做中學”的意義

“從例中學”作為傳統的傳授-接受教學法的典型代表，主要是指教師通過言語講解和操作示范來讓學生接受并掌握系統的知識和技能的教學方法.這種教學方法能夠在短時間之內較快地讓學生掌握所要學習的知識點，比較適用于原有的認知結構比較全面，知識結構比較系統的學生，而且要求學生要有較強的學習主動性和積極性.但是這種教學方式在顯示了教師的主導作用，學生的思維活動主要是按照教師的引導方向而發展的，從而很大程度上忽視了學生的主體作用，不能充分調動學生學習的積極性和主動性，禁錮了學生的思維發展.美國著名教育家杜威(John Dewey)以“教育即生活”、“教育即生長”、“教育即經驗的改造”為依據，對知與行的關系進行了論述，并提出了舉世聞名的“從做中學”(Learning by doing)的理論.在《明日之學校》(School of Tomorrow)一書中，他明確地提出：“從做中學要比從聽中學更是一種較好的方法.”在杜威看來，“從做中學”充分體現了學與做的結合，也就是知與行的結合.在數學課堂教學中，運用“做中學”理論進行課堂教學，使得學生成為數學學習中的參與者、探索者，有利于充分發揮學生的主觀能動性，調動學生學習數學的主動性和積極性，提高學生認知學習的質量.

2 基于“做中學”理念下的“勾股定理”課堂教學

有著“幾何學的基石”之稱的勾股定理，作為溝通代數與幾何間的橋梁之一，在數學發展中有著無可替代的作用，它是人類文明的共同成果，幾乎在各個國家的數學課程中都詳細而又不盡相同地介紹了勾股定理，由于不同的文化與史料背景，不同的教師在進行勾股定理教學時所采用的方法各有千秋.

2.1 蘇科版教材下的“勾股定理”教學片段

在一節蘇科版教材的數學課堂中，授課教師以一系列的問題串入手，開始了勾股定理的教學：

師1： 同學們，我們已經學過了三角形的一些基本知識，那么如果一個三角形的兩條邊長分別為8和6，你能夠知道第三邊的長嗎?如果又已知這兩邊的夾角，那么第三邊的長是多少?如果這兩邊的夾角為直角，那么第三邊的長能求出來嗎?

生:通過刻度尺測量.

師1：測量可行嗎?沒有誤差嗎?那么如何求出三角形第三邊的長?請大家打開學案，完成活動一：在等腰直角三角形中，探究三角形的三邊關系.請大家以等腰直角三角形的三條邊為邊向外作正方形，將所作的正方形沿對角線剪開，拼圖探究所作三個正方形的面積關系.

學生通過作圖，剪紙(如圖1，依虛線剪開)拼圖活動發現兩個小正方形的面積之和等于大的正方形的面積.

圖1

師1:請大家思考一下剪紙活動得到的結果有沒有嚴謹的數學推算?

生:沒有，剪紙存在誤差.

師1:很好，結果是否正確我們得畫個問號，這個三角形是等腰直角三角形，那么剛剛我們所得到的結果是不是對于任意的三角形都適用?下面請大家完成操作活動二：在一般的直角三角形中，探究三角形的三邊關系.注意要以格點為頂點任意作一般直角三角形，這里我們不妨取兩直角邊分別為3和4.同樣以直角三角形的三條邊為邊向外作正方形，來探究一下三角形三邊的關系.

在學生活動時，教師提示學生通過活動一的方法思考并探究所作三個正方形的面積關系，特別強調如何求斜邊上正方形的面積.通過小組合作，教師指導，學生采用割補法作圖計算得出了下面兩種方式(如圖2、圖3)求斜邊上正方形的面積，并得出了兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積這一結果.

圖2 圖3

在學生探究、交流、討論之后，教師讓學生小組展示，并給與數學推算，最后根據各正方形的面積即為三角形所給各邊的平方，進而得到勾股定理，即:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.2 人教版教材下的“勾股定理”教學片段

在一節人教版教材的數學課堂中，授課教師以一張1955年希臘發行的一枚紀念郵票入手(如圖4)，開始了勾股定理的教學：

圖4

師2:這是一張郵票，請大家仔細觀察這枚郵票上的圖案和圖案中小方格的個數，你有哪些發現?先不要討論，自己觀察.

生:左邊正方形小方格個數為16，右邊正方形小方格個數為9，下面正方形小方格個數為25.

師2：很好，那么大家有沒有發現三個正方形的面積有什么數量關系呢?

生：兩個小正方形的小方格個數之和等于大正方形的小方格個數.

師2：好的，其實這三個正方形是由中間的直角三角形以三條邊為邊向外作正方形所得到的，那么這個直角三角形的三條邊有什么樣的數量關系呢?下面我們把它放到格點圖中，請看格點圖( 如圖5)，每個小方格的面積看作1，那么以BC為一邊的正方形的面積是____，以AC為一邊的正方形的面積是____.你能計算出以AB為一邊的正方形的面積嗎?請通過作圖說明你的理由.

圖5

學生按照教案上的要求進行探究活動，在學生探究過程中，教師提出疑難之處：如何計算斜邊上三角形的面積，在教師引導下，學生的思路逐漸清晰，通過作圖思考，合作交流，學生得到了下面的兩種方式割補法(如圖6、圖7)計算斜邊上正方形的面積，并通過計算得到兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積.

圖6 圖7

在學生展示敘述自己的探究過程和結果后，教師對學生的探究結果給予肯定，并再次進行分析講解，正方形的面積正是直角三角形的邊的平方，進而得出所給直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師2:我們自己找出了所給直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這是不是一個特例呢?請大家在所給的方格紙中任意畫一個頂點都在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形，仿照上面的方法計算以斜邊為一邊的正方形的面積，探究直角三角形三邊的關系.

由于各個學生所選擇的直角三角形的邊長不完全相同，而得到的結果卻是相同的，即直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就將前面的特例推向了一般，通過學生成果展示，教師輔助以解釋，在學生看來已經驗證了前面結論的一般性，但是教師進而追問學生，由于所作圖形的邊長皆為整數，那么如果邊長不是整數，結論是否仍然成立.進而在教師的引導下進入多媒體輔助教學環節，通過幾何畫板的動態驗證，從而初步得到了結論的一般性，教師提示由于沒有無限驗證，總覺得還有些不太嚴謹，從而引導學生開展了下面的數學活動.