數學解題中轉化思想的運用
——以二道高考模擬題教學為例

淮北師范大學數學科學學院 (235000) 司雋男 張 杰

化歸與轉化思想是將復雜或陌生的問題A通過某種方法，轉化為有解決思路的或熟悉的問題B，通過解決問題B進而解決問題A的思想方法．在數學解題的過程中，轉化思想是至關重要的，同時這也是實現數學變換的必要思想．數學高考與模擬考中的導數壓軸題往往具有較強的綜合性，可以很好的考察學生化歸與轉化思想，分析與解決問題的能力以及邏輯推理、數學運算等核心素養，而這些題目常常需要進行數學變換才能順利解決．所以教師在解題教學中應當重視滲透化歸與轉化思想，鼓勵學生主動思考，幫助學生拓寬解題的思路．

為了說明如何運用化歸與轉化思想以簡馭繁，解決導數不等式證明題，先從2021年廣州市普通高中畢業班綜合測試(二)中的一道壓軸題說起．

例1 (2021廣州二模22)已知函數f(x)=ln(x+1)+a(x-1)2(a>0)．

(1)討論函數f(x)的單調性；

對于問題(2)，由于不等號左邊是累加形式，因此可以對原式進行轉化，再運用放縮法證明該不等式．現將解題過程呈現如下：

由上述解答過程，可以感受到轉化思想能夠化繁為簡，有助于證明不等式．但是具體如何轉化，從而能夠利用已有的知識來證明不等式，對于很多學生而言心余力絀．因此在教學過程中不能直接向學生展示題目的解法，而應該啟發學生思考，幫助學生理解其中的數學思想，以便能夠舉一反三、觸類旁通．下面展示傳授這一解題方法的教學設計：

生1：求數列的前n項和．

師：很好，那我們是否可以考慮將不等號的左邊看作是數列的前n項和，嘗試運用解決數列問題的常用方法進行證明？

師：既然①式對任意n∈N*都成立，所以有a1+a2+…+an-1

生3：an

師：③式中的“<”一定成立嗎？

生4：不一定成立，例如5<2，3<1，但是2>1．

師：③式與①式有怎樣的關系呢？

生5：①式成立時，③式不一定成立，但是③式成立時，①式一定成立．

師：很好，那么對于④式該如何證明呢？

至此，此題的解答思路已經很清晰了，后續的證明學生可以獨立完成，這里不再贅述．通過上述的解答過程，可以看出在化歸與轉化思想的指引下可以較簡便的解決這類導數不等式證明題．

例2 已知定義在R上的函數f(x)=x2+acosx+(a-2)e-x,a∈R．(其中常數e是自然對數的底數，e=2.71828…)

(1)當a=2時，求f(x)的極值；

(2)(i)若f(x)在[0，π]上單調遞增，求實數的取值范圍；(ii)當n∈N*時，證明：

這是2021年深圳市高三年級第二次調研考試中的一道壓軸題，其中問題(2)中的第(ii)問與例1中的第(2)問比較類似，即不等號左邊都是累加的形式．于是仿照例1的解答思路，將問題轉化為證明“an>f(n)-f(n-1)”．但本題是否可以繼續使用這種解題思路還需要進一步分析．現將本題的解答過程呈現如下：

對于問題(1)，讀者通過對函數進行求導并判斷其單調性，從而求出f(x)的極值，即當a=2時，f(x)極小值為f(0)=2，無極大值．

通過上述對問題(2)中的第(ii)問的解答可知，遇到證明同類型的題目時不能完全按照“套路”進行，需要具體問題具體分析，根據已知條件對問題進行轉化，再進行證明．下面展示解答該題的教學設計：

師：很好，那么④式是否成立呢？

師：既然仿照例1中的方法不能解決此題，那么我們就要轉換思路了．請同學們仔細觀察題目中的已知條件，有什么發現嗎？

生3：題目中并沒有出現tan，但是出現了cos，所以不妨考慮將②式中的tan轉化為cos，即

師：很好，現在我們可以將這一累加的式子看作是數列的前n項和，想一想在學習數列知識時若遇到這種不等式常采用什么方法來證明呢？

生4：我們通常使用放縮法進行證明，先對每一項進行放縮，再通過累加相消，最終證明不等式成立．

師：那我們不妨嘗試使用放縮法，看看是否能夠證明本題．

在導數壓軸題中證明形如“對任意n∈N*，都有a1+a2+…+an>f(n)”的基本方法：首先判斷an>f(n)-f(n-1)是否成立，若成立，則原式得證；若不成立，則需要利用題目中的已知條件對問題進行轉化，進而證明該題．

通過上述的解題教學，學生不僅可以明晰何時需要對題目進行轉化，而且能夠知道如何進行轉化，進而能夠融會貫通，真正理解解題的思路，這樣才是有效的教學．

經過上述的兩道高考模擬題的解答容易意識到，在數學解題的過程中，選擇何種思路解決問題是十分關鍵的．而對于導數不等式的證明題，如果不等式中出現了累加的式子，可以考慮對累加部分進行轉化，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，再運用已學的方法進行證明．最終使新知識融入到已有的數學知識結構中去，并在此基礎上生長出一些新的想法與感悟，從而在腦海里構建出一個更加完善的知識結構．