高考研題“四重境界”
——以2022年新高考Ⅰ卷第15題為例

福建省福州高新區第一中學(閩侯三中) (350299) 洪雪金

1．真題呈現

(2022年數學新高考Ⅰ卷·15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．

2．第一重境界：通技通法，守住“底線”

根據題目條件的分析與理解，結合條件確定切線方程，為進一步的求解提供條件，從而確定數學問題求解的“通技通法”，也是數學教學與學習的初級境界——第一重境界，守住“底線”．

評注：本解法中切線方程的確定，很好綜合了導數的運算與幾何意義、直線的方程等相關知識，又聯系函數與方程、不等式等相關知識，具有很好的知識交匯性與融合性．

3．第二重境界：巧技妙解，發散思維

探索數學問題的實質，探尋“巧技妙解”，利用導數的幾何意義與直線的斜率公式，從不同的層面來確定直線的斜率，形成兩者的一致性，這是數學教學與學習的第二重境界，充分發散數學思維．

評注：本解法關鍵是構建兩斜率相等的關系式，從而轉化為對應的方程問題，再利用方程的判別式與不等式的求解來確定參數的取值范圍．切線方程斜率的不同求法，為問題的解決提供了廣闊的思路．

4．第三重境界：追根溯源，合理歸類

深挖問題的內涵，合理追根溯源，回憶并聯系教材實例或高考真題，形成知識的反饋，構建知識體系，這是數學教學與學習的第三重境界，合理歸類，脫離“題海”，“促雙減”，提效益．在2021年的新高考試卷中也有該問題的“影子”，如利用過“動點”到“定曲線”的切線有兩條來確定參數的大小關系問題．

例1 (2021年數學新高考Ⅰ卷·7)若過點(a，b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則( ).

A．eb

C．0

解析：由于函數y=ex是定義域R上的增函數，導函數y′=ex>0恒成立，設切點為(t，et)，則切線方程為y=et(x-t)+et，則有b=et(a-t)+et，整理可得(t-a-1)et+b=0，構造函數f(t)=(t-a-1)et+b，求導可得f′(t)=(t-a)et，由f′(t)=0解得t=a，則當t∈(-∞，a)時函數f(t)單調遞減，當t∈(a，+∞)時函數f(t)單調遞增，根據題意可知，方程f(t)=0有兩解，所以f(t)min=f(a)=-ea+b<0，即b0，此時存在x2∈(-∞，a)，使得f(x2)=0.綜上，可得0

評注：該高考真題改變視角，從另一個層面來闡述過“定點”到“動曲線”的切線有兩條來確定參數的取值范圍問題．

5．第四重境界：思變篤行，舉一反三

在掌握對應數學問題的“通技通法”與“巧技妙解”，以及“追根溯源”的基礎上，探尋對應數學問題的變式，倡導“思變篤行”，這是我們數學教學與學習的第四重境界，有效舉一反三．

探究1 根據高考真題以及相應的解析過程，改變過坐標原點的切線的條數，可以得到以下兩個相應的變式問題．

變式1 若曲線y=(x+a)ex有且只有一條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．(答案：{-4，0}．)

變式2 若曲線y=(x+a)ex沒有過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．(答案：(-4，0)．)

評注：上述變式是在原高考真題的解析基礎上加以拓展的，通過這種探究，更有效地鞏固了相關的知識點、思想方法及能力要求.

探究2 根據高考真題的情境創設，合理改變條件與題型，引入動點與切線的變數情況，得到以下對應的變式問題．

變式3 若過點P(1，λ)最多可作出n(n∈N*)條直線與函數f(x)=(x-1)ex的圖象相切，則下列結論中錯誤的是( ).

A．λ+n<3

B．當n=2時，λ的值不唯一

C．λn可能等于-4

圖1

評注：本題以“動點”與“定曲線”的位置關系，增加了“變”的切線數，使得問題更加復雜，求解中抓住了問題的本質，結合導數的運算與幾何意義，并綜合利用函數的單調性，構建知識之間的交匯與融合，從而形成知識網絡與應用體系．

綜上可見，在具體的數學教學及解題研究過程中，借助實際數學解題研究的“四重境界”——通技通法，巧技妙法，追根溯源，思變篤行，從“通技通法”到“巧技妙法”，是“底線”的突破與思維的發散；從“巧技妙法”到“追根溯源”，是思維與方法的提升；從“追根溯源”到“思變篤行”，是知識積累到能力升華的飛躍．數學解題研究的“四重境界”，逐步遞進，螺旋上升，在一定程度上可以發散并拓展學習者的數學思維，真正實現提升數學品質，提高數學能力，培養數學核心素養的目標．