例談“充分與必要”的三類應用

福建省古田縣第一中學 (352200) 蘭詩全

數學解題過程一般是尋找充要條件的過程，但有時尋求原問題的充要條件是很困難的，或所尋求的充要條件很繁，不便于求解．此時，可以先找到使結論成立的一個充分條件，再一步一步逼進找到使結論成立的充要條件；也可以考慮從原問題的一個較弱的必要條件開始，挖掘出問題的隱含條件，尋找解題的突破口，進一步探究原問題的充要條件．以上這三類都是很重要且非常實用的解題方法，現結合例子加以說明．

1 先充分再充要

先根據已知找到一個使結論成立的一個充分條件，再順水推舟地一個一個把所有的解都找回來，或說明沒有其它解，最后得到問題的準確解．

例1 已知a∈R時，f(x)=x(ex-2a)-ax2，當x∈R時，f(2x)≥2f(x)，求a的取值范圍．

解：f(2x)≥2f(x)?xe2x-xex≥ax2①．

當x=0時，①式恒成立；

故當a≤0時，①式恒成立．(即找到了使當x∈R時，f(2x)≥2f(x)恒成立的一個充分條件．)

以上“先充分再充要”在實際解題中是很有用的，許多分類討論方法也是歸于此類，充分與必要，二者都需要，要明白根本原理，才能思路清晰，正確解題．

2 先必要再充要

解題成功的關鍵是能及時準確地找到解題的突破口，如何尋求解題的突破口？方法之一是可以巧用原問題的必要條件，再在這個必要條件的基礎上尋找突破口，充分體現必要條件的解題功能．

例2 設0(ax)2的解集中的整數個數恰有三個，求實數a的取值范圍．

(即先找到使結論成立的一個必要條件，在這基礎上再研究．)

本題關鍵利用二次函數圖象求出恰有三個整數解的一個必要條件a>1，在這個必要條件下求出原不等式的解集是一個開區間，再在這個必要條件下，求出區間右端點只能在某一小區間內活動，從而由已知可確定這個區間的三個整數，進而得出這個區間左端點的活動區范圍，列出不等式，最后求出1

3 直接充要

對充要條件是否準確應用直接關系到解題的成敗，許多時候解題都是因為充要關系沒用好而致錯，對充要條件應用要十分注意，要從錯解中明白錯因，要從正解中認識解題的原理，要形成專題不斷鞏固，要構成數學思想方法，發現解題的規律性與本質性．

例3 已知方程x2-(m+1)x+4=0在x∈(-∞,3]上有兩個不同的實數解x1,x2，求實數m的取值范圍.

需要說明的是，證明不等式(或等式)，只要求每一步的結論須是前提的必要條件，但解不等式(或方程)要求的是同解過程，即必須是：“充分且必要”條件即等價轉化，不能只是必要條件或充分條件，這是關鍵，這是本質．對充分與必要條件的應用要深刻準確，根據問題的不同特點，區別對待，給出不同的解題方法，領悟解題規律，才能思路清晰，準確解答，故特作以上三類解法的歸納與總結．