例談指對數混合式問題的同構解法

浙江省湖州新世紀外國語學校蓮花莊校區 (313000) 孫 平

在數學解題實踐過程中，同構法有著重要的作用，對于一些由指數函數、對數函數混合的問題，通過采用移項、加、減、乘、除、乘方、開方、取對數等諸多方式對函數進行變形，使其左、右兩邊呈現出結構相同的形式，然后重新構造函數，結合導數研究函數性質進行處理，使問題得以順利解決.具體來說:處理同時涉及指數函數ex與對數函數lnx的相關等式或不等式問題時,往往需要靈活運用對數恒等式alogaN=N,logaaN=N的特例,即elnx=x,lnex=x．涉及到具體解題時,時常還要用到xlnx=lnx·elnx=tet(設t=lnx)，xex=ex·lnex=tlnt(設t=ex)等變式.一般而言，通過構造同構函數解決指對數混合式問題通常有以下三種基本模式，本文例析如下．

1 “和差型”模式

這種模式的解題流程呈現以下特點:

例1 已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

(2)由f(x)≥1可知aex-1-lnx+lna≥1，于是elna+x-1-lnx+lna≥1，則elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.令g(t)=et+t，則g′(t)=et+1>0，則g(t)在R上單調遞增，而g(lna+x-1)≥g(lnx)，所以lna+x-1≥lnx恒成立.若lna≥lnx-x+1恒成立，只需lna≥(lnx-x+1)max.

評注：本題第(2)問先運用對數恒等式,對原不等式變形,然后通過移項、將不等式的兩邊都加上x,使不等式的兩邊出現同構的形式,進而構造函數,利用導數研究函數的單調性,再將不等式轉化,分離參數后二次構造函數,利用“最值法”求出a的取值范圍．其中將不等式變形出相應的同構式是求解本題的關鍵．當然，我們還可以通過aex-1-lnx+lna≥1得到elna+x-1+lnelna+x-1≥x+lnx，然后構造g(t)=t+lnt也可以使問題獲解．

2 “乘積型”模式

這種模式的解題流程呈現以下特點:

例2 對任意x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,則實數a的最小值為( ).

3“作商型”模式

這種模式的解題流程呈現以下特點:

例3 證明: 當x>0時，恒有(ex-1)ln(x+1)>x2．

“同構”解題策略，即通過分析代數式的結構特征，從而發現式子結構中蘊藏的同型與共性，并提取相同或相似的結構與模型并予以構造，揭示式子間的內在聯系，繼而利用同型同構后的模型性質予以解題的數學方法.顯然以上運用“同構”策略解決指對數混合式問題的過程及其模式可以說是“提綱挈領、言簡意賅”.