函數(shù)“等值問題”變式探究

江蘇省海門中學 (226100) 張 婕

函數(shù)“等值問題”是指“已知函數(shù)在多個自變量處的的函數(shù)值相等，這些自變量稱之為‘等值點’，求關于等值點的某個代數(shù)式的值、最值、范圍或參數(shù)的取值范圍等”的一類問題.函數(shù)“等值問題”在近年高考或各地模擬試題中高頻出現(xiàn)，往往處于數(shù)學試卷客觀壓軸題的位置，利用函數(shù)的圖象直觀可使問題的解決明朗化，所以也是培養(yǎng)和形成直觀想象數(shù)學核心素養(yǎng)的良好載體.

1、試題重現(xiàn)

已知函數(shù)y=|x2-2x-1|的圖象與直線y=m(m∈R)有四個交點，且這四個交點的橫坐標分別為a,b,c,d滿足a

2、解法探析

設f(x)=|x2-2x-1|，將已知條件“函數(shù)y=|x2-2x-1|的圖象與直線y=m(m∈R)有四個交點，且這四個交點的橫坐標分別為a,b,c,d”，進行轉譯為f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m，是典型的函數(shù)“等值問題”.作出函數(shù)y=|x2-2x-1|的圖象與直線y=m，利用函數(shù)圖象的對稱性求得a+b+c+d的值，利用求根公式用變量m表示出函數(shù)2(d-a)+(c-b)，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解得2(d-a)+(c-b)的最大值.

圖1

解：在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=|x2-2x-1|的圖象與直線，如圖1.

函數(shù)“等值問題”是一類函數(shù)零點或方程的根等問題的延伸，借助函數(shù)圖象，數(shù)形結合解答問題，考查數(shù)學抽象、直觀想象及邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)在解題中的應用，多數(shù)情況下承載著高考函數(shù)客觀壓軸題的重任，比如，2020年高考數(shù)學天津卷選擇題壓軸題第9題就是一個典型例子：

求解函數(shù)“等值問題”的基本思路是：分析題意，從中挖掘出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性及不變性等性質(zhì)，結合函數(shù)式的特點及函數(shù)的相關性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合有效快速地解答問題.

3.試題變式

若改變一下母題第二個空的問題，將求“2(d-a)+(c-b)的最大值”變?yōu)榍蟆?(d-a)+(c-b)的取值范圍”，可有：

變式1 已知函數(shù)y=|x2-2x-1|的圖象與直線y=m(m∈R)有四個交點，且這四個交點的橫坐標分別為a,b,c,d滿足a

若改變母題中的解析式，將母題中分段函數(shù)的兩段分別是“分式型”解析式和“二次函數(shù)型”解析式，求關于“等值點”的代數(shù)式的值，可有：

圖2

若改變母題中的解析式，將母題中分段函數(shù)的兩段分別是“指數(shù)型”解析式和“一次函數(shù)型”解析式，求關于“等值點”的代數(shù)式的取值范圍，可有：

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,6)

圖3

由圖3可知-20，所以由|2x2-1|=m，得2x2-1=m.從而得2x1+2x2=2.又由圖3可知1

若改變母題中的解析式，將母題中分段函數(shù)的兩段分別是“對數(shù)型”解析式和“二次函數(shù)型”解析式，求關于“等值點”的代數(shù)式的最值，可有：

圖4

若進一步改變母題中的解析式，將母題中分段函數(shù)的兩段分別是“對數(shù)型”解析式和“三角函數(shù)型”解析式，分別求關于“等值點”的代數(shù)式值和取值范圍，可有：

圖5

解析：設f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)f(x)的圖象與直線y=t，如圖5，則由題意可知直線0