多視角探究一道以梯形為背景的解三角形問題

廣東省佛山市順德區第一中學 (528300) 常 艷

求解解三角形問題時，常常使用正、余弦定理進行求解，其本質是將三角形中的圖形信息代數化，通過方程的思想進行求解.而三角形本身具有豐富的幾何性質，也是體現數形結合思想的理想素材.2021年佛山市一模第18題便是一道優質的解三角形問題，該問題背景豐富，解題角度多，本文將從多個角度對該問題進行分析，并探尋其命制原理與背景.

一、題目

本題以“梯形”為背景，蘊含豐富的數量關系與幾何關系.本題的第(1)問給出的信息較為完整，可以完整地確定出所有的邊長及角度信息；而第(2)問給出了對角線的夾角關系(垂直)，自然將解題的視角聚焦在內部的小三角形上.以下的解答過程只分析第(2)問.

二、解法呈現

圖2

解法三：(正切關系)由解法一可知，該“梯形”完全可解，但為何會選擇問一個角的“正切”值呢？而上兩種解法有一種“圍魏救趙”的感覺(即先求得正、余弦的關系再轉化為正切).那么該問題可以直接求解嗎？

解法四：(解析法)在新的教材中，解三角形由原來獨立的一章并入到“向量”這一章節之中.那么本題能否從向量的角度求解呢？通過建立直角坐標系，表示出各點的信息再利用垂直條件求解.

圖3

解法五：(一般的向量法)在上述解法中，通過建系，本質上選擇了一組單位正交基底.那么能否選擇一般的基底利用向量進行求解呢？

三、背景探究及模型推廣

根據上面的解答過程可知，該“梯形”的基本量之間滿足某種固定的聯系.接下來，筆者嘗試推測其相關關系.現研究如下的一般性問題：

如圖1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=m，CD=n，BC=t，∠BCD=θ，且AC⊥BD.試探究m,n,t,θ(m

接下來筆者還討論了四邊形四條邊的關系.

設AD=s，則有m2+n2=s2+t2.該結論并不受“梯形”的限制，當“凸四邊形”對角線垂直時，該四邊形的四邊即滿足上述關系.現簡要證明如下：

圖4

如圖4，在凸四邊形ABCD中，AB=m，CD=n，BC=t，AD=s，則有AC⊥BD等價于m2+n2=s2+t2.

證明：(充分性)若AC⊥BD，分別考慮△AOB，△BOC，△COD，△AOD.應用勾股定理得m2=OA2+OB2；t2=OB2+OC2；n2=OC2+OD2；s2=OD2+OA2.上式相加即可得結論成立.

(必要性)設∠AOB=θ，在上述四個三角形中分別使用余弦定理得m2=OA2+OB2-2OA·OBcosθ；t2=OB2+OC2+2OB·OCcosθ；n2=OC2+OD2-2OC·ODcosθ；s2=OD2+OA2+2OD·OAcosθ.由m2+n2=s2+t2可得(OA·OB+OC·OD+OB·OC+OD·OA)cosθ=0.即可得cosθ=0，從而AC⊥BD.命題成立.

基于上面的分析，筆者設計了如下幾個變式供讀者練習.

變式1 在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，若AC⊥BD，則BC的取值范圍是.

變式2 在梯形ABCD中(CD>AB)，AB//CD，AB=2，BC=4，若AC⊥BD，則CD的取值范圍是.

變式3 在梯形ABCD中(CD>AB)，AB//CD，CD=5，BC=4，若AC⊥BD，則AB的取值范圍是.

答案：(2,5)；(4,8)；(0,4).