主元法在多變量問題中的應用

云南師范大學數學學院 (650500) 陳亞聰 彭先綺 孔德宏

多變量函數的最值與取值范圍問題一直都是歷年高考、模考的熱點問題，這類問題形式多變、解法靈活、綜合性強，考生往往難以打開思路，得分較低，是考試中的難點.關于這類問題的解決方法已經有很多學者歸納總結，本文通過幾個例題介紹主元法在多變量函數問題中的應用，探索主元法各種使用條件以及計算過程中需要注意的細節.

一、各變量地位相同，不獨立求最值

題1 已知實數a、b、c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=3，求a的最大值.

分析：由題意知，a、b、c三個變量是對稱的，且地位相同.運用換元法可將a2+b2+c2=3化為關于a、c(或者關于a、b)的二元方程，另外根據主元法中求“誰”，“誰”不為主元，可令c(或者b)為主元，利用求根公式判斷a的取值范圍.

二、各變量地位相同，相互獨立，證明不等式

題2 已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：ab+bc+ca+1>0.

分析：由題意知，a、b、c三個變量的取值范圍互不干擾，而所求不等式每個變量的次數都是1，因此任選一個變量(例如a)為主元，此時構成一個(關于a的)一次函數，再利用一次函數單調性證明不等式即可.

解：令a為主元，設f(a)=ab+bc+ca+1=(b+c)a+bc+1，則f(a)是a的一次函數，根據一次函數的性質，若要f(a)>0，只需f(1)>0且f(-1)>0，又因為|b|<1，|c|<1，所以f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0，f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)(c-1)>0，所以f(a)=(b+c)a+bc+1>0，即ab+bc+ca+1>0.

在題1和題2中均用到了主元法，但是兩題中變量關系有所不同，因此解題過程也有異同.總結以上兩題，我們可以發現在多元變量中可以利用主元法減元，減少變量數量，從而降低題目難度；且在主元的選擇上都遵循求“誰”，“誰”不為主元.兩題也存在不同點，當個變量間不獨立，存在等式關系時，首先利用換元法對所求多項式進行減元，之后再選擇主元進行求解；當多變量間相互獨立時，可任選主元，之后利用題設的變量限制條件進行求解.

三、各變量地位不相同，求取值范圍

下面來看一道高考題，當題設不滿足以上條件時，會出現什么情況呢？

題4 設函數f(x)=x3+3bx2+3cx有兩個極值點x1，x2，且x1∈[-1,0]，x2∈[1,2].

(1)求b，c滿足的約束條件，并在圖1所示的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點(b,c)的區域；

圖1

解：(1)略(答案如圖1所示)

下面考察函數g(x)的單調性.

我們可以看到(2)的解題是利用多變量函數消元的方法，運用①式消b后再討論.那么此處如果消c是否也會得到正確答案呢？下面是解題步驟：

下面考察函數h(x)的單調性.

因為h′(x)=-6x2-6bx=-6x(x-b)<0，則函數h(x)，即f(x2)在x∈[1,2]中單調遞減；又因為當x2=2時，f(x2)=-16-12b；當x2=1時，f(x2)=-2-3b； 所以-16-12b≤f(x2)≤-2-3b④，由b∈[-1,0]得-16≤f(x2)≤1.

我們發現，解法1和解法2運用相同的解題思路與步驟，得出的結果卻大相徑庭，這是為什么呢？解法2錯誤的根源又在哪里呢？事實上，在消元過程中，我們將x2視為主元，消去b或者c，然而，此時的三個變量x2、b、c之間并非相互獨立的，每一個x2的值都對應新的b和c的取值范圍.但是我們在②、④取最值時并沒有注意到這一點，因此答案有誤，且消b求解獲得的答案具有偶然性.

下面我們來看一下正確解法.

圖2

圖3

同理，對于解法2的④處也要從新考慮b的取值范圍，詳細步驟略.

四、小結

在一些多變量不等式或求最值的問題中，由于參量、變量等不確定的值過多，我們需要找出處于主導地位的元素，將它視為主變量.當各變量地位相同，或者各變量之間相互獨立，不存在等式關系時，我們經常選擇主元法.另外，需要注意的是，細節決定成敗，變量的取值范圍常常被忽略，應多加注意.