幾類復合函數典型問題的解法探究

安徽省利辛縣第十中學 (236700) 孫 標

近年來，高考對復合函數的考查力度有加大趨勢，隨之對應的模擬題也不斷涌現，本文中介紹的復合函數就是幾個典型的題例，供參考．

一、復合函數的求值

點評：有一些復合函數很難化為普通函數，此時關于他們的求值問題，我們可以逆向思維，如本例的方法建立方程解題，這里要注意多值情況的分類與統一．

點評：本題雖然也是求函數值的問題，但如果直接代入得f(f(4)-1)=4，往下就無路可走了，故而需審視問題特點，抓住解決復合函數問題的規則，通過換元將題目轉化為我們熟悉的一階函數題.

二、解復合函數方程或不等式

點評：本題實質是解方程類型的問題，通過換元后分層解兩個方程使問題獲得順利解決，關注中間變量范圍的變化是正確解題的重要因素.

析解：當x≤0時，f(x)=2x∈(0,1]，則f(f(x))=log22x=x，不等式即x>1，與x≤0不合；當01，也不合題意；當x>1時，f(x)=log2x∈(0,+∞)，則f(f(x))=log2(log2x)，不等式即log2(log2x)>1，得x∈(4,+∞)．

點評：本題通過分類討論可以把具體的函數表達式寫出來，這樣就能順利解不等式了，這是解此類題的常規方法，如果不能直接表示出來，可采用換元法(如前例)分層求解．

三、求復合函數中的參數最值或范圍

圖1

點評：本題通過設m=k2y2+ky，把問題轉化為方程f(f(x))=m有一個解的問題，然后再尋找此復合函數方程有一個解的條件，再用前面解方程的方法可以達到解題目的．

點評：本題實際上是已知函數值域求其定義域的問題，通過分段討論得到函數表達式是最基本的方法，也可用換元法(如前面)分步求解．

四、復合函數的零點問題

例7 若函數f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2，且f(x1)=x1，則關于x的方程3(f(x))2+2bf(x)+b=0的不同實數根是.

圖2

析解：由于f′(x)=3x2+2ax+b，則方程3(f(x))2+2bf(x)+b=0就是f′(f(x))=0，令f(x)=t，則原方程變為f′(t)=0，因為函數有兩個極值點x1,x2，即f′(t)=0有兩個根t=x1,t=x2，所以解兩個方程f(x)=x1，f(x)=x2的根就是原方程的根.畫出三個函數y=f(x),y=x1,y=x2的圖象如圖2，設x1

點評：本題是一個關于導函數的復合函數，通過換元并設出兩個極值點x1,x2，就將原方程轉化為兩個函數的零點問題，再根據條件f(x1)=x1畫出符合題意的函數關系圖，得到了原方程解的情況．

圖3

點評：本題是根據函數零點的個數來確定參數范圍，通過換元并分層利用分段函數圖象和特點分析就能比較容易地解決問題．