一道恒成立求參數取值范圍問題的解法探究

山西省太原市第三實驗中學校 (030031) 董立偉

恒成立求參數取值范圍問題是導數解答題中一類重要的也是常見的題型.這類題型將函數、導數、不等式等知識，函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想等數學思想有機融合，知識背景豐富、呈現形式多樣、思維層次較高、解題方法靈活，能有效考查學生的應變能力、對知識和方法的綜合應用能力，及邏輯推理、直觀想象、數學運算等素養.

一、試題呈現

試題第(1)問是常規的含參函數單調性問題，利用分類討論法可以輕松解決，本文不再贅述.第(2)問以恒成立問題為情境，又隱含了Karamata不等式的背景，使得試題的解法靈活多樣，有利于不同思維水平的學生作答.

二、解法探究

視角一：分類討論

點評：解法1將原問題等價轉化為“函數g(t)≥0在區間[1,+∞)上恒成立”，之后以函數g(t)的導函數g′(t)的判別式4a2-4a在區間[1,+∞)上的正負為依據確定分類討論的標準，并在每種情況下分別確定使得問題恒成立的參數a的取值范圍，求解問題.

從更大視野來看，賽努奇對中國繪畫的關注是從對整個中國文化關注的角度切入的，是對中國歷史、生活等方面的興趣在引導其對繪畫的購藏。賽努奇對中國繪畫的收藏是從文化的廣闊視野下對中國繪畫進行觀照和思考認識，而不是從所謂的于歷史中建構起來的“審美”角度來進行判斷和選擇。賽努奇以西方文化的“他者”之眼，從中國繪畫歷史和理論相對狹隘的束縛中逃脫出來，而向我們展示了更為豐富、充盈的中國傳統美術樣態。這與當時法國漢學家、收藏家對中國繪畫之于中國歷史、文化的關系所持有的重視態度、進行研究和收藏屬同一流向，也即賽努奇博物館的人物畫收藏對整個歐洲關于中國繪畫和文化的理解，具有樣本性的代表意義。

綜上，a的取值范圍是(-∞,1].

點評：當a=1時，原問題恰好退化為引理.因此，解法2以引理所述不等式為依據，確定分類討論的標準：“a=1”、“a<1”和“a>1”，并借助于放縮法及取特值的方法確定參數a的取值范圍.

視角二：分離參數

點評：解法3采用分離參數法，將原問題轉化為a≤g(x)min的問題，之后利用多次求導的方法確定g(x)的最小值，解決問題.

視角三：尋找充分必要條件

解法5：同解法2，對任意的x∈[1,+∞)，①式恒成立.可知，“x=1時①式成立”是“對任意的x∈[1,+∞)，①式恒成立”的一個必要條件.將x=1代入①式得1-a≥0，解得a≤1.

下面證明“a≤1”是“對任意的x∈[1,+∞)，①式恒成立”的一個充分條件.

所以，a的取值范圍是(-∞,1].

點評：解法5以“x=1時原問題成立”為突破口，找到原問題的一個必要條件“a≤1”，再證明“a≤1”也是原問題成立的一個充分條件，解決問題.