凸顯概念建構過程 促進數學素養生成
——以“無理數”教學為例

張 鵬

江蘇省揚州市梅嶺中學 225000

由于七年級學生知識儲備不夠，沒有認識無理數的現實經驗，因此學生理解無理數存在一定的困難.如何建構無理數概念呢？如何使用有限逼近、合情推理的方法，讓學生認識無理數呢？在學習無理數的過程中，如何落實數學素養的提升呢？筆者就本節課教學展開討論，與大家分享筆者的教學實踐與思考.

教材分析

經過前一節課的學習，學生已經了解了正數、負數的意義，構建了整數體系與分數體系，讓數集體系得到了進一步的擴展.本節課將學習兩個重要的概念——有理數和無理數，無理數是對數系的又一次擴展.教材這樣安排教學內容是基于知識的延續性，學生學完有理數與無理數后，對后面學習數軸、在數軸上表示數、完善數系都有很大的幫助，有助于發展數學思維，也避免了圓周率π無處安放的尷尬.

本節課的難點在于無理數的認識.由于在學生的現實生活中，與無理數相關的信息實在太少，僅有的內容是圓周長計算與圓面積計算時接觸的圓周率π.同時，對于研究“無限”，學生也缺乏經驗，因此建構無理數的概念具有一定困難.教材安排了這樣一個操作活動，讓學生感知無理數的存在，即用兩個邊長為1的正方形，沿對角線剪開后得到四個等腰直角三角形，然后拼成一個大正方形，它的面積是2，求它的邊長；然后教材運用列舉法與逼近法，讓學生感受大正方形的邊長無法寫成分數的形式，它的值是一個無限不循環小數，最后得到無理數的概念.為了讓學生進一步感受無理數的存在與多樣，強化對無理數的認識與理解，教材出示了圓周率π，自行構造無限不循環小數.

為了讓學生積累數學經驗，發展思維能力，提升數學素養，筆者確定本節課的教學目標如下：（1）分析前面學習的整數與分數，猜想是否存在其他的數，既不是整數，也不是分數；從有限小數、循環小數的角度猜想是否存在無限不循環小數.（2）制作面積為2的正方形，體會它的邊長不能寫成分數的形式.（3）在分析比較、歸納猜想的過程中，感受有理數與無理數的存在，通過無理數發現的歷史故事，幫助學生感受數學家探索真理的精神，激發學生學習的信心與熱情.

教學過程

1.回顧舊知，引出新知

活動1：回顧發現.從各個不同的角度寫幾個具體的整數與分數，然后解決以下的問題：（1）嘗試把這些數都寫成兩個整數比的形式，并總結你的發現.（2）嘗試把這些數都化成小數的形式，并總結你的發現.（3）嘗試把下面的小數寫成分數的形式：1.2，-6.8，32.31，1.3333…，58.6666….把你的發現與同伴交流分享.

設計意圖本活動通過三個問題先讓學生獨立思考，再交流研討，旨在復習前面學習的整數與分數的意義，讓學生充分體會所有的整數都可以寫成分數的形式，整數與分數都可以化成小數的形式；反之，不論是有限小數還是循環小數都可以化成分數的形式.在獨立思考與交流合作中，培養學生的思考力、合作意識與語言表達能力.

2.精準建構，探索新知

活動2：合理猜想.前面我們學習了有限小數與循環小數，請同學們想一想，除了這兩種小數外，還會有什么樣的小數呢？如果存在，試著寫幾個出來，與其他同學交流分享.

設計意圖本活動旨在引導學生觀察有限小數與循環小數的特征，進而發現無限不循環小數；同時，鼓勵學生自行構造形如3.12112111211112…這樣的無理數，感受無限不循環小數的存在，培養學生的分類意識與創新意識.

活動3：拼圖討論.如圖1所示，把兩個邊長都是1的正方形，沿它們的對角線剪開，然后拼成一個大正方形.請回答：（1）設大正方形的邊長為x，那么x是整數嗎？你的理由是什么？（2）x是分數嗎？說說你的想法.（3）通過上述探究，請估計x所處的范圍，并說出你的想法，嘗試估計x的整數部分、十分位、百分位，等等.（4）請寫出關于x的一個特征，在小學學習數學中遇到過類似的數嗎？請介紹一下.

圖1

設計意圖本活動引導學生識圖，按圖示拼圖，發現拼成了一個面積為2的正方形，讓學生思考：這個正方形的邊長是多少呢？從而開啟學生發現此正邊形邊長的探索之旅.從直角三角形的斜邊長可得正方形的邊長x一定大于1，從三角形“兩邊之和大于第三邊”可得正方形的邊長x一定小于2；或者根據12=1，22=4也可得正方形的邊長x在1與2之間，不是整數.通過分母分別是2，3，4的分數的平方進行計算，發現x也不是分數.然后引導學生從x的整數部分、十分位、百分位、千分位等數位估算x的值，讓學生體會到x不是整數，也不是分數，而是小數，且是無限不循環小數.在此過程中，學生能體會到無限逼近與合情推理等數學思想.

活動4：合理分類.從上面的討論可以看出，小數可以分為哪三個類型？前面學習的分數與整數可以化為何種小數？

設計意圖本活動引領學生建構有理數與無理數的概念，形成數的分類結構圖.小數可以分為有限小數、無限循環小數、無限不循環小數，其中有限小數與無限循環小數是有理數，無限不循環小數是無理數.

3.鞏固應用，深化理解

活動5：歸類與辨析.

整數集合：{ }；分數集合：{ }；負有理數集合：{ }；無理數集合：{ }.

（2）下列說法正確的是（ ）

A.無限小數都是無理數

B.無理數都是無限小數

C.有理數不是正數就是負數

D.正數都是有理數

4.課堂小結，整體建構

（1）什么是有理數？什么是無理數？本節課我們研究它們的思路是什么？（2）介紹關于發現無理數的故事.

教學后思

在數學概念教學中，作為數學教師不能忽視概念的形成過程，要觸及學生的深度思考，建構學生不易遺忘的數學體系.

1.概念建構的立足點

關于數學概念的建構，教師應關注概念建構的立足點：（1）了解學生原有的認知發展區間、找到知識之間的連結點.（2）探尋學生的最近發展區，讓學生“跳一跳就能摘到桃子”.（3）明晰教材的知識線以及學生的素養線.學習本節課時，學生已經學會了整數、分數與有限小數、無限循環小數的互化，這是學生認知的基點.當數系從正到負擴充到有理數后，自然會聯想從有理數向無理數的擴充，筆者從無限循環小數的“循環”引導學生聯想“不循環”，其中的圓周率π就是可借鑒的實例，促進了學生的認知發展[1].

2.概念建構的載體

問題是數學的心臟，也是概念建構的有效載體，這需要教師精心設置問題，讓學生的思考步步深入，在多視角、多層次、全方位的探索中，使解決問題的策略與路徑得到優化，通過反思歸納最終生成概念，進而使學生的思維得到發展.本節課通過前置的三個問題構建了分數與小數之間的聯系，然后通過求異思維猜測新數是否存在；接著制作面積為2的正方形，揭示無理數的本質特征——無限不循環；最后用分類的方法建構了有理數與無理數的概念.

3.概念建構的原則

概念的建構應遵循“以生為本”的原則，喚起學生的主體意識，創建生成型課堂.本節課設置的數學情境立足學生已有的認知水平，在教學的推進過程中，通過設計有層次性、引導性的問題，創造自主探究、合作交流的學習氛圍，讓學生積極參與數學活動，在自主探究、合作交流中，實現了學生的全員參與，使其感受到了數學探究的苦與樂，積累了有效的數學活動經驗.

4.概念建構的落腳點

數學教學的落腳點是傳承數學文化、形成核心素養.章建躍教授指出，教師要理解數學、理解學生、理解教學.理解數學是指挖掘數學知識的內在價值與邏輯，關注數學文化，引導學生從數學的角度認識世界；理解學生是指把握學生的認知水平，以學生可以接受的方式表達數學內容；理解教學是指掌握數學教學規律，錘煉教學智慧，形成多樣教學方法[2].本節課中，筆者基于理解數學、理解學生、理解教學，立足教材的知識線以及學生的素養線，合理安排無理數概念的構建過程，培養了學生數學抽象、邏輯推理等核心素養.