關于“二次函數的圖像與性質”的教學探討

許 浩

江蘇省徐州市第三十三中學 221000

“二次函數的圖像與性質”是初中數學的重難點內容，是繼一次函數的圖像與性質的探究后又一典型函數的探究.通過探索二次函數的圖像與性質，有助于學生深刻理解二次函數，是后續解決問題的知識基礎.下面結合教材梳理主線，開展教學探討.

回顧類比中梳理主線

學生在前面已經深入學習了一次函數的相關內容，掌握了一次函數的圖像與性質，雖然二次函數與一次函數的性質有著顯著的不同，但整體上的研究思路、內容和方法是相一致的.可以引導學生回顧一次函數的知識內容，用以探索二次函數的圖像與性質，梳理教學主線.

一次函數的探究是圍繞三大內容開展的：一是解析式的形式，二是研究過程，三是研究內容.對于二次函數圖像與性質的探究，同樣需要把握上述三大內容，即引導學生從概念出發，關注二次函數的解析式；探索二次函數圖像與性質的研究方法；探討二次函數圖像與性質要研究的具體內容.

在概念探究中，教師要引導學生從全局與局部的關系出發來思考問題，把握二次函數的概念，關注二次函數的解析式.即從函數的概念出發，引導學生辨析二次函數的概念，并引出二次函數解析式的兩種基本形式：一般式y=ax2+bx+c（a≠0），頂點式y=a（x-h）2+k（a≠0）.開展兩式的變式互化訓練，能為后續的圖像與性質的探究做鋪墊.

在二次函數圖像與性質的研究中，教師要引導學生類比一次函數，構建二次函數圖像與性質的研究方案，為后續分析問題、解決問題提供途徑.整體上要采用知識探究的方式，生成“定義探究→圖像性質→性質應用” 系統的研究主線，引導學生體驗探究活動，積累探究經驗.而在性質的探究過程中要合理滲透思想方法，由易到難逐層剖析.

對于二次函數的研究內容，同樣類比一次函數，主要集中在以下幾點：一是圖像的特征，二是函數的性質，三是具體的研究步驟，四是研究方法.其中，圖像的特征研究中關注函數曲線的形狀、位置和關鍵點；性質研究中關注因變量y隨自變量x的變化規律；而研究步驟需要引導學生掌握“作圖→觀察”的研究思路；同時在研究過程中要合理采用分類討論、數形結合、對比分析等思想方法.

描點畫圖中構建二次函數圖像

描點畫圖法是繪制二次函數圖像的重要方法，教學中教師要引導學生關注該方法的具體步驟，掌握性質分析的方法.描點畫圖法的教學指導可分為四個環節：列表、描點、連線、特征分析.具體教學以簡單的、具有代表性的二次函數y=x2為例，具體探究過程如下.

教學中，教師先引導學生觀察二次函數y=x2的特征，猜想該函數的圖像形狀，在此基礎上按照描點畫圖法的流程進行探究.

（1）列表：引導學生圍繞x=0正負對稱取值，并計算對應的y值完成列表.列表完成后，不必急于描點，而是引導學生觀察表格中的數對是否具有對稱性.

（2）描點：在該環節引導學生構建平面直角坐標系，在坐標系中根據表格中的數對描點.同時引導學生重溫平面直角坐標系的構建方式，理解坐標系的原點、坐標軸、正方向和象限等概念.

（3）連線：連線時引導學生思考用何種線來連接（是直線，還是平滑的曲線），并解釋具體的原因.教學中讓學生對比一次函數思考二次函數的連線方式——利用光滑的曲線連點，如圖1所示.

圖1

（4）分析：分析環節是對二次函數性質的直觀歸納.教學中讓學生思考系數a的符號，基于符號開展性質分析，即按照如下順序逐層分析：系數a的符號→開口方向→圖像對稱軸→圖像最低點→圖像兩側的變化趨勢.然后引導學生系統地完成二次函數y=x2的圖像特征及性質的概括.

同樣以函數y=x2的圖像為例，引導學生提取圖像的最低點的坐標——（0，0），以圖像的對稱軸為界，將曲線分割為兩部分，分別分析圖像的單調性：

在對稱軸的左側（x＜0時）：y隨著x的增大而減小；在對稱軸的右側（x＞0時）：y隨著x的增大而增大.

二次函數的性質探究則應立足二次函數解析式與圖像，構建圖像與解析式的聯系.教學中以特殊的二次函數為例，采用繪圖、分析的方式，引導學生直觀分析，深刻理解二次函數的單調性.探究分析環節要注重思維的邏輯性，由“式”到“形”，再由“形”總結規律.

對比分析中歸納總結

對于二次函數圖像與性質的全方位歸納，建議采用數形對比、特殊到一般的方式，即利用具體函數的直觀圖像進行對比分析，歸納總結一般函數的圖像性質.教學中建議結合二次函數的頂點式y=a（x-h）2+k（a≠0），探索二項式系數a的符號和大小以及k對二次函數圖像的影響.因此探究教學可以分三步進行：第一步，以特殊函數為例，列表描點作圖像；第二步，觀察圖像，猜想規律；第三步，總結概括，生成函數圖像與性質.

1.探索二次項系數a的符號對二次函數圖像的影響

教學中同樣以較為簡單的特殊的二次函數為例，利用畫圖描點法繪制圖像.如分別繪制y=x2和y=-x2的圖像，如圖2①和圖2②所示.

圖2

以上述實例引導學生觀察兩個二次函數圖像的相同點和不同點，并結合二次函數圖像分析二次項系數a的符號對其的影響，引導學生構建“a的符號”與“拋物線開口”之間的聯系.

2.探索二次項系數a的大小對二次函數圖像的影響

顯然，二項式系數a的大小對二次函數圖像也具有一定的影響，教學中可以針對a的大小來作圖探究.在同一平面直角坐標系中繪制不同二次函數的圖像，如圖3所示，引導學生分別探究y=，以及y=-2x2，y=-x2，y=x2的圖像的開口大小，讓學生從a的視角作出相應的猜想.

圖3

3.探索頂點式中的k對二次函數圖像的影響

在頂點式中的k的影響探究中，給出二次函數的頂點表達式y=a（x-h）2+k（a≠0），引導學生明晰（h，k）為拋物線的頂點坐標.先在同一平面直角坐標系中繪制y=2x2+1和y=2x2-1的圖像，如圖4所示；然后引導學生從下述方向進行探究：一是解析式的異同點，二是圖像的異同點.即關注頂點式中的k值的不同，明晰k值與頂點坐標之間的聯系——k值將影響拋物線的頂點坐標，決定二次函數圖像的位置.

圖4

活學活用中完成知識強化

二次函數的圖像與性質屬于初中數學的重難點內容，知識的規律性極強，探究教學中要注意知識的應用，即設計合理的變式問題，引導學生探究思考，幫助學生內化吸收，鍛煉學生的思維.問題設計建議從以下兩方面入手：一是基本規律調用分析，二是綜合性問題探究分析.前者注重基礎知識的規律，后者則應引導學生掌握問題的分析方法.

問題設計1：已知二次函數y=mx2經過點A（-2，-8）.

（1）求該二次函數的解析式，并判斷該函數是否存在最大值或最小值；

（2）分析點M（2，-8）是否位于此拋物線上？

（3）試求該拋物線上縱坐標為-4的點的坐標.

教學立足三個小問，分三個環節進行引導：

環節1：引導學生重溫待定系數法，結合點的坐標計算二次函數的解析式.

環節2：重溫二次函數的性質規律，即a＞0時，函數有最小值；a＜0時，函數有最大值，且函數的最值實則就是拋物線頂點的縱坐標.

環節3：構建點的坐標與二次函數解析式的聯系，即二次函數圖像上的點滿足其解析式.

問題設計2：現有函數y=kx2和函數y=kx+k，在同一平面直角坐標系中，兩圖像的大致位置關系是下圖中的（ ）

該問題設計有一定的拓展性，旨在考查學生對函數位置關系的理解，教學中需要引導學生按照如下思路進行分析：①思考k對一次函數的位置的影響；②思考k的符號對兩函數單調性的影響；③思考兩函數相對的位置關系.

總之，“二次函數的圖像與性質”教學是一個動態分析、圖像觀察、結論歸納總結的探究過程，對學生各方面的能力有著較高的要求.教師在教學中要合理設計環節，采用科學的探究方法，引導學生直觀分析、分類討論、嚴謹論證，完成知識生成.過程教學還要注重將數學思想融入性質探究中，促進學生知識與能力的雙重提升.