五階KdV方程的行波解、周期波解及其漸近分析

秦春艷

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

眾所周知，在非線性科學(xué)中，研究變系數(shù)非線性演化方程具有重要的作用，特別是求精確解的問題。因此，研究非線性偏微分方程的精確解是有重要意義的。精確解有很多種類型如孤子解、行波解、周期波解、復(fù)解、有理解等。過去的幾十年里，在孤子理論中，有很多求解精確解的方法。成功的求解方法是Hirota雙線性方法[1]，反散射變換方法[2], 達(dá)布變換法[3]、Tanh-coth法[4]、齊次平衡法[5]、李對(duì)稱方法[6]等等。在這些方法中，Tanh-coth法是一種強(qiáng)大的方法，在處理各種非線性色散方程中已得到廣泛的應(yīng)用，本文正是利用它來求五階KdV方程的行波解。Hirota雙線性方法是其中重要的一種構(gòu)造非線性偏方程孤子解的簡便方法，更重要的是該方法與Riemann theta函數(shù)相結(jié)合可以得到方程的周期波解。

本研究首先利用Tanh-coth法研究五階KdV方程的行波解：

ut+αu2ux+γuuxxx+βuxuxx+uxxxxx=0

(1)

考慮到在文獻(xiàn)[7]中，上述五階KdV方程的雙線性形式、可積性、孤子解和1-周期波解及其漸近性分析已經(jīng)被研究，接下來重點(diǎn)討論如下廣義的五階KdV方程：

ut+h1u2ux+h2(uuxxx+uxuxx)+h3uxxxxx=0

(2)

1 Tanh-coth法

為了得到方程的行波解，下面簡單介紹一下此方法，主要分為以下幾個(gè)步驟：

(i)令波變量ξ=x-ct,則u(x,t)=u(ξ),從而可以將非線性的偏微分方程Ρ(u,ut,ux,uxx,uxxx,…)=0轉(zhuǎn)化成常微分方程Q(u,u′,u″,u?,…)=0。然后只要常微分方程所有項(xiàng)都包含導(dǎo)數(shù),對(duì)它關(guān)于ξ積分,積分常數(shù)被認(rèn)為是0。

(ii) 引入一個(gè)新的自變量Y=tanh(μξ),ξ=x-ct,其中，μ是波數(shù),于是可以得到：

(iv) 分別將(2)和(3)步驟中的式子代入(1)步驟中所得到的常微分方程,通過合并同類項(xiàng),并令Y的各次冪的系數(shù)為零就可以得到關(guān)于c,μ,a0,a1,a2,b1,b2的方程組，求解這些代數(shù)方程組，得到它們的數(shù)值,進(jìn)而也就得到所求方程的解u(x,t)。

2 五階KdV方程的行波解

利用上述Tanh-coth法，首先對(duì)方程(1)做如下變形：

利用波變量ξ=x-ct, 然后關(guān)于ξ取一次積分，則上述方程可以轉(zhuǎn)化為：

(3)

第一種情況：

第二種情況：

a0=A, (A是一個(gè)常數(shù))，

對(duì)于第一種情況，可以得到五階KdV方程(1)的行波解如下：

同理，對(duì)于第二種情況，可以得到五階KdV方程(1)的行波解如下：

3 廣義的五階KdV方程的2-周期波解

3.1 雙線性形式、二孤子解和Riemann theta函數(shù)

為了下一小節(jié)構(gòu)造2-周期波解，首先，根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果，很容易得出：

定理1：在5h1h3=h22的條件下，通過考慮變換u=30h2-1h3(lnf)xx，廣義的五階KdV方

程有如下的雙線性表示：

Ξ(Dx,Dt)≡(DxDt+h3Dx6+δ)f·f=0,

(4)

其中Dx,Dt表示雙線性算子，δ=δ(t)是積分常數(shù)。

同樣地，它的二孤子解具有如下形式：

(5)

然后簡單回顧Riemann theta函數(shù)的內(nèi)容，考慮以下多維Riemann theta函數(shù)：

(6)

其中n=(n1,…,nN)T∈N是整數(shù)值向量，復(fù)相位變量ξ=(ξ1,…,ξN)T∈N。此外，對(duì)于兩個(gè)向量f=(f1,…,fN)T和g=(g1,…,gN)T，它們的內(nèi)積被定義為：

〈f,g〉=f1g1+f2g2+…+fNgN。

-iτ=(-iτij) 是一個(gè)正定實(shí)值對(duì)稱的N×N矩陣，可以稱之為Riemann theta函數(shù)的周期矩陣。周期矩陣中的元素-iτ可以看作是Riemann theta函數(shù)的自由參數(shù)。在這種情況下,傅里葉級(jí)數(shù)(6)收斂于一個(gè)帶有任意向量ξ∈N的實(shí)值函數(shù)。

3.2 2-周期波解和它的漸近性

為了構(gòu)造廣義的五階KdV方程的2-周期波解，考慮雙線性方程(4)的更廣義的形式。假設(shè)方程(2)滿足非零漸近條件，即當(dāng)|ξ|→0時(shí)，u→u0，則引入一個(gè)變量變換：

u=u0+30h2-1h3?x2ln?(ξ),

(7)

其中，u0是方程(2)的常數(shù)解，相位變量ξ的形式為：

ξ=(ξ1,…,ξN)T,ξi=kix+ωit+εi,i=1,2,…,N

將(7)代入方程(2)中并關(guān)于x取積分，可以得到新的雙線性方程為：

Θ(Dx,Dt)?(ξ)·?(ξ)=(DxDt+h3Dx6+u0h3Dx6+c)?(ξ)·?(ξ)=0

(8)

這里，c=c(t)是積分常數(shù)。在文獻(xiàn)[8]中，利用多維Riemann theta函數(shù)提出了構(gòu)造非線性偏微分方程的Riemann theta函數(shù)周期波解的兩個(gè)重要定理?，F(xiàn)在根據(jù)這一結(jié)果，可以直接得到廣義的五階KdV方程的2-周期波解。

3.2.1 2-周期波解

定理2：假設(shè)Riemann theta函數(shù)?(ξ,τ)中N=2,ξi=kix+ωit+εi,(i=1,2)，則廣義的五階KdV方程有如下形式的2-周期波解：

u=u0+30h3h2-1?x2ln?(ξ1,ξ2,τ),

其中，ω1,ω2,u0和δ滿足公式H(ω1,ω2,u0,δ)T=b, 這里：

證明：為了得到方程(2)的2-周期波解，考慮下面的Riemann theta函數(shù)取N=2，

(9)

其中n=(n1,n2)T∈2,ξ=(ξ1,ξ2)T∈2,ξi=kix+ωit+εi,(i=1,2) 和-iτ是實(shí)值正定對(duì)稱2×2矩陣，它可以寫成下面的形式：

注意到方程(8)的特殊形式，如果下式成立，則可以得到2-周期波解：

結(jié)合方程(8)和上面的表達(dá)式，得到：

上述方程可以轉(zhuǎn)化為如下形式：

(10)

對(duì)上面的式子進(jìn)行求解，可以得到方程(2)的2-周期波解：

u=u0+30h3h2-1?x2ln?(ξ1,ξ2,τ)

(11)

其中，?(ξ1,ξ2,τ)和參數(shù)ω1,ω2,u0,δ分別由(9)式和上述方程來確定，其他參數(shù)ki,τij和εi(i,j=1,2)是任意的。

通過選取合適的參數(shù)，繪制了廣義的五階KdV方程的2-周期波解的傳播情況，如圖1和圖2所示。

圖1 k1=-2,k2=3,τ11=i,τ12=0.5i,τ22=2i,ε1=1.5,ε2=0,h2=1,h3=2時(shí)周期波解的傳播情況

圖2 k1=1,k2=1.5,τ11=i,τ12=0.15i,τ22=2i,ε1=ε2=0,h2=2,h3=4時(shí)周期波解的傳播情況

2-周期波解有下面的簡單特征:

(i)它的表面是二維的, 也就是有兩個(gè)相變量ξ1和ξ2, 它表明2-周期波在兩個(gè)獨(dú)立的水平方向有兩個(gè)獨(dú)立的空間周期。

(ii)在(ξ1,ξ2)中, 它有2N個(gè)基本的周期{ζi,i=1,2,…,N}和{τi,i=1,2,…,N}。其中

ζ1=(1,0,…,0)T,…ζN=(0,0,…,1)T。它的傳播速度是:

(iii)假如ki,li滿足下面的關(guān)系:

可以得到：

ω2～mω1,ξ2～mξ1,?(ξ1,ξ2)～?(ξ1,mξ1) 。

2-周期波其實(shí)是一維的并且它可以退化為1-周期波。

3.2.2 漸近性質(zhì)

在本小節(jié)中研究廣義的五階KdV方程的2-周期波解的漸近性。

定理3：如果(ω1,ω2,u0,δ)T是方程(10)的一個(gè)解，對(duì)于2-周期波解(11)，?。?/p>

(12)

其中μi,δi,i=1,2和A12可以由方程(5)得到，則有下面的漸近關(guān)系：

證明：周期波函數(shù)?(ξ1,ξ2,τ)可以展開為如下形式：

?(ξ1,ξ2,τ)=1+(e2πiξ1+e-2πiξ1)eπτ11+(e2πiξ2+e-2πiξ2)eπτ22+(e2πi(ξ1+ξ2)+e-2πi(ξ1+ξ2))eπ(τ11+2τ12+τ22)+…

(13)

其中，Δ,Υ分別為：

4 結(jié)語

本研究利用Tanh-coth法，得到了五階KdV方程的行波解，然后借助Riemann theta函數(shù)周期波解的方法，構(gòu)造了廣義的五階KdV方程的周期波解。并對(duì)周期波解和孤子解之間的關(guān)系做了分析，證明了參數(shù)在一定的極限條件下，周期波解趨近于孤子解。那么，所采用的求解方法對(duì)其他非線性偏微分方程是否適用以及還有沒有其他方法可以用來對(duì)五階KdV方程進(jìn)行研究，這都是值得思考的問題，需要以后進(jìn)一步的研究。