化歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究①

穆聰敏，張玲梅

（1.太原師范學(xué)院教育學(xué)院，山西 晉中 030619；2.太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西 晉中 030619）

在數(shù)學(xué)的實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，把數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行抽象后，就可以得到數(shù)學(xué)思想，這就是化歸思想。化歸思想在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它的本質(zhì)是揭示待解決問題和已有經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，把我們未知的、不熟悉的問題通過一系列技巧進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一步一步地與我們已知的、熟悉的問題建立本質(zhì)的聯(lián)系，再通過解決后者的問題，達(dá)到解答前者的目的。除了掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)外，學(xué)生還需要有利用知識(shí)解決問題的邏輯，也就是我們所說的數(shù)學(xué)思想。學(xué)會(huì)化歸思想，不僅能為其他思想方法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，還有利于提高解決問題的能力，降低解題難度，加快解題速度，從而增強(qiáng)學(xué)生的自信。最重要的是能逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這正是學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)世界的眼睛，學(xué)生將會(huì)受益終身。

一、化歸思想的體現(xiàn)

化歸思想不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中有所體現(xiàn)，也在數(shù)學(xué)解題方法實(shí)踐中有所體現(xiàn)，主要分析了在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)以及解題思想中涉及的化歸思想。

（一）化歸思想在方程求解中的體現(xiàn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)了一元一次方程的基礎(chǔ)上接觸了一元一次方程組和二元一次方程，在解決新接觸的問題時(shí)，直接求解往往是難以實(shí)現(xiàn)的。因此，我們希望把問題朝著已學(xué)會(huì)的、已有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)方向去轉(zhuǎn)化，在處理方程問題時(shí)，我們往往使用消元和降次的方法。“元”，指的是未知數(shù)，如：二元，就是指方程中含有兩個(gè)未知數(shù)。“次”，指的是變量的次冪，如：二次，就是指方程中未知量次冪的最大值為2。通過消元和降次，要么使原方程變成只含一個(gè)未知量的方程，要么使原方程未知量的次數(shù)都變成一次，去掉平方項(xiàng)。從本質(zhì)上來講，消元和降次都是把復(fù)雜的、不易直接求解的方程轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的、便于計(jì)算的方程，在此過程中就體現(xiàn)了化歸思想。例如，方程次數(shù)較高的四次方程x4-5x2+4=0，用直接的方法無法求解，但是令x2=y 之后就可以實(shí)現(xiàn)降冪成為y2-5y+4=0，這樣用一元二次方程的解法就可以解出結(jié)果。

（二）化歸思想在式的運(yùn)算中的體現(xiàn)

提起“式”，首先要說“數(shù)”，小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)熟練掌握數(shù)的四則運(yùn)算，初中時(shí)，運(yùn)算涉及倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值等，而這些是學(xué)生新學(xué)習(xí)的，尚未完全納入知識(shí)框架中的，此時(shí)就會(huì)給運(yùn)算帶來一定的困難。若把新獲取的知識(shí)看作一個(gè)小整體，先處理小整體，再處理大整體，便會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算。簡(jiǎn)言之，初中階段有理數(shù)的混合運(yùn)算實(shí)際上是小學(xué)階段簡(jiǎn)單運(yùn)算的深化。再說“式”，“式”包括整式、分式以及根式。中學(xué)數(shù)學(xué)中，“式”處于基礎(chǔ)但很重要的地位，尤其是數(shù)與式的運(yùn)算，數(shù)學(xué)不只是運(yùn)算，但運(yùn)算在中學(xué)數(shù)學(xué)中卻占據(jù)著相當(dāng)重要的地位。六大核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，就是其重要性的最好體現(xiàn)。以整式為例，整式指的是數(shù)與字母的乘積，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，都是將字母相同的項(xiàng)歸為一類，并將其系數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，“式”的運(yùn)算實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)的過程。無論是整式還是分式，或者是根式，都可以將其視為一個(gè)整體、視為數(shù)，在運(yùn)算時(shí)，遵循數(shù)的運(yùn)算法則即可。例如化簡(jiǎn)（7x3y2+3x2y3）-（5x3y2-6x2y3），將“式”看成數(shù)，根據(jù)四則運(yùn)算的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到簡(jiǎn)潔運(yùn)算、融會(huì)貫通的效果。數(shù)和式的運(yùn)算過程，本身就體現(xiàn)了化歸思想。

（三）化歸思想在函數(shù)求解中的體現(xiàn)

在數(shù)學(xué)函數(shù)常見問題中的基本型化歸，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)等，這些函數(shù)往往有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)形式，解決問題時(shí)往往也有萬能公式。一般是通過換元法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法及導(dǎo)數(shù)法等基本方法，將我們?cè)嫉暮瘮?shù)通過一系列變形，逐步轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本型，從而利用之前的公式進(jìn)行計(jì)算和解決。例如求三角函數(shù)的對(duì)稱軸，可以通過令化為基本型y=sinz，當(dāng)然可以通過圖象進(jìn)行求解，如下圖1 所示。

（四）化歸思想在解題方法中的體現(xiàn)

數(shù)形結(jié)合法是研究幾何與代數(shù)問題的常用方法，它可以看作幾何問題與代數(shù)問題之間的相互轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)模型法將實(shí)際問題通過建立模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而便于解決問題；向量法就是把幾何問題轉(zhuǎn)化成為向量問題，再利用向量的定理和性質(zhì)去解決；換元法將結(jié)構(gòu)實(shí)際簡(jiǎn)單卻難以觀察出結(jié)構(gòu)的方程、不等式、代數(shù)式等問題，通過換元轉(zhuǎn)為結(jié)構(gòu)清晰、易于解決的問題。這些方法都體現(xiàn)了化歸思想，在實(shí)際解題過程中可以大大提高解題數(shù)形結(jié)合法速度。例如求解分段函數(shù)的定積分，通過畫出如圖2 的函數(shù)圖之后可以看出此定積分的意義為兩部分的面積之和，則可以得到

二、化歸思想的類型

針對(duì)新問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并不是無厘頭盲目地進(jìn)行，它一般是有跡可循的，往往有不同的轉(zhuǎn)化方法與思路，化歸思想主要分為如下三種類型。

（一）一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)考試題中，選擇題或填空題部分往往有些可以使用特殊值法，不需要將完整的步驟列出，只需取幾個(gè)特殊的點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，便可得到答案，大大縮短了解題時(shí)間。在題目沒有列出具體的表達(dá)式，只說明了通用的條件時(shí)，我們就可以把一般的條件具體化，通過取熟悉、簡(jiǎn)單但符合一般條件的特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)等），以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高準(zhǔn)確率的目的。將一般問題特殊化及將特殊問題一般化是化歸思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化的常用手段。例如在各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，若a5a6=9，則對(duì)于表達(dá)式log3a1+log3a2+…+log3a10的求值，由題意等比數(shù)列中的等式可知a2=9，代入特殊值后可以求得其值為10。

（二）數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化

當(dāng)我們看到代數(shù)式a2，會(huì)想到面積；看到a3，會(huì)聯(lián)想到體積；看到a2+b2，會(huì)與勾股定理聯(lián)系起來。在解決代數(shù)問題時(shí)，直接入手，難度有時(shí)會(huì)很大，且出錯(cuò)率很高，這時(shí)需分析方程、求解的問題能否轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，從而簡(jiǎn)化思路，方便求解。例如實(shí)數(shù)x 和y 是滿足條件二元二次方程4x2-y2-3xy=1，要求兩個(gè)未知量的平方和x2+y2的最小值。直接從代數(shù)的角度去解決工作量會(huì)很大，這時(shí)需要引入變量m，將4x2-y2-3xy=1 分解因式（x-y）（4x+y）=1，再令 x-y=m，分別解出，將這兩個(gè)表達(dá)式代入x2+y2中，運(yùn)用不等式性質(zhì)a2+b2≥2ab 代入式中解得。若能分析出該二元二次方程實(shí)際上是圓的方程展開化簡(jiǎn)后的式子，未知量的平方和實(shí)際就是圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方的話，則通過畫圖能直觀看出圓的位置及動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離大小的關(guān)系，如圖3所示，從而簡(jiǎn)化思維、簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高做題速度。數(shù)與形之間的結(jié)合與轉(zhuǎn)化是化歸思想的一個(gè)重要方面。

（三）主次轉(zhuǎn)化

一般解含參數(shù)的不等式時(shí)，我們往往將x 看作自變量，將其他未知量看作參數(shù)。若已知參數(shù)范圍，求讓不等式恒成立的自變量的范圍時(shí)，正面求解一般是難以入手的，即便是分類討論也會(huì)存在很多問題，計(jì)算上也會(huì)有較大難度。此時(shí)我們可以將主與次進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將已知范圍的量看作自變量，可能是m 或者t，將需求解的未知量看作參數(shù)，往往是用x 進(jìn)行表示的，這里需要對(duì)自變量有更深的認(rèn)識(shí)，跳出字母的限制，大膽嘗試轉(zhuǎn)化。例如已知參數(shù) t＞1，求不等式 x2-（t+1）x+t＞0 恒成立的 x的范圍，此時(shí)再進(jìn)行（x-t）（x-1）＞0 這樣的轉(zhuǎn)化后，會(huì)大大減少原來不等式的運(yùn)算量，即便還需要分類討論，難度也會(huì)小很多，從而達(dá)到解決問題的目的。把不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范的、簡(jiǎn)單的問題，正是化歸思想的基本思路。

三、化歸思想的原則

我們利用化歸思想解決問題時(shí)，形成一套固定的流程和操作性很強(qiáng)的步驟往往難以實(shí)現(xiàn)，因此，為了更好地把握化歸的方向，我們必須遵守其自身的三個(gè)基本原則。

（一）簡(jiǎn)單化原則

簡(jiǎn)單化原則是指把原來困難問題的結(jié)構(gòu)通過某種方法或手段，向容易解決的方向去發(fā)展。我們的目標(biāo)仍然是解決之前的問題，化歸成新的問題只是我們解決過程中的橋梁，若發(fā)現(xiàn)化歸之后問題更加抽象、更加復(fù)雜，則應(yīng)該反思化歸方向是否出現(xiàn)問題，要及時(shí)止損，從別的切入點(diǎn)入手，重新尋找問題解決的思路。例如解決立體幾何問題的一個(gè)重要策略就是將空間問題平面化，將三維問題降為二維問題后再解決。例如二元二次方程的求解，可以將y=1-x 代入x2-2xy-3y2=5 當(dāng)中可以求出解x=2，y=-1。當(dāng)然，如果要用數(shù)形結(jié)合的方法去解這道題目就比較復(fù)雜了，因?yàn)樾枰玫絤atlab 編程求解，畫出如圖4 的圖形求交點(diǎn)。

具體的matlab 程序如下：

此時(shí)通過程序運(yùn)算可以求出交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），和代數(shù)方法解出的結(jié)果一樣，但這已經(jīng)超出了中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)范圍，因此，化歸思路若出現(xiàn)問題，要從其他切入點(diǎn)入手轉(zhuǎn)化思路。

（二）具體化原則

具體化原則是指將抽象的題目或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀、具體的表現(xiàn)形式，從而使題目中抽象度高的、不易察覺的關(guān)系變得具體而明確，便于解決問題。例如在函數(shù)部分常常使用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，這就是用圖象或圖形把抽象的式直觀地表示出來。例如求橢圓x2+4y2=5 和拋物線x2+y=1 的交點(diǎn)，在用代數(shù)的方法和畫圖方法結(jié)合求出對(duì)稱交點(diǎn)如圖5，使運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率大大提升。

（三）形式標(biāo)準(zhǔn)化原則

形式標(biāo)準(zhǔn)化原則指的是中學(xué)大多數(shù)知識(shí)都是關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)形式的討論，因此把待解決的問題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式后再去計(jì)算，會(huì)較為容易。如在函數(shù)部分，解決問題時(shí)往往要轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用通式通法進(jìn)行解決。再如在圓錐曲線部分，橢圓、雙曲線及拋物線等的圖象、性質(zhì)等都是針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行研究的。因此，在我們遇到非標(biāo)準(zhǔn)型問題時(shí)，首先要考慮通過某種手段或方法，是否能將待解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的標(biāo)準(zhǔn)型的形式，從而借助相關(guān)結(jié)論或定理去解決問題。例如討論表示何種圓錐曲線，在分析題目時(shí)若為橢圓則具有標(biāo)準(zhǔn)形式，若為雙曲線則具有標(biāo)準(zhǔn)形式，因此在分情況討論時(shí)轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型即可求出。

四、結(jié)語(yǔ)

本文通過具體實(shí)例分析了化歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我們要充分認(rèn)識(shí)到化歸思想的重要性和簡(jiǎn)潔性，提高對(duì)該思想的重視程度，但同時(shí)也要客觀地認(rèn)識(shí)它的局限性。當(dāng)化歸思維成為一種習(xí)慣并總結(jié)出固定的化歸步驟后，往往會(huì)阻礙學(xué)生嘗試用新方法解決問題，在一定程度上不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。因此，在培養(yǎng)學(xué)生化歸意識(shí)的同時(shí)，要重視其他數(shù)學(xué)思想的訓(xùn)練，保持學(xué)生其他的數(shù)學(xué)思維和意識(shí)齊頭并進(jìn)，將各種思想方法靈活地結(jié)合在一起高效利用。