“一線三直角”模型的構建與應用*

215151 蘇州市陽山實驗初級中學校 趙小花

在初三數學的復習過程中，學生經常會碰到二次函數與幾何相關聯的探究題，因題型多樣，綜合性強，學生往往無從下手.如果教師在講解過程中只是就題論題，學生對題目的認識可能只是浮于表面，是碎片化的.要想加深學生對問題的理解和把握，需要幫助學生建立完整的知識結構，挖掘問題的內涵和外延，抓住本質，才能達到“知一法，通一類”的效果.

筆者近期開設了一節二次函數的專題復習課，通過對大量習題的分類與研究，確定以構建“一線三直角”模型為本節課的主線，引導學生解決二次函數的一類綜合題.整節課銜接自然、流暢，題目設計精巧、有梯度，注重滲透數學思想，培養學生利用數學模型解決問題的能力，優化解題思路，達到了預期的復習效果.

1 教學目標

(1)掌握“一線三直角”模型的特點，能抓住本質特征，根據問題條件構造模型，歸類并總結解題方法.

(2)經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，滲透數形結合、分類討論、方程及模型思想，提升學生數學學習素養.

2 教學過程

2.1 問題引入，激趣喚知

問題1如圖1，在平面直角坐標系中，OB⊥OA，且OB=2OA，已知點A(-1，2)，求經過點A，O，B的拋物線的解析式.

圖1

師：求該拋物線解析式的關鍵是什么？

生1：確定點B的坐標.

師：如何確定點B的坐標？

生2：構造“一線三直角”模型，利用相似.

師：能具體說說嗎？

圖2

師：很好，請同學們求出該拋物線的解析式.

設計意圖：本節課是關于二次函數背景下的“一線三直角”模型的應用，通過求拋物線解析式的問題引入，給學生的思維進行熱身，既可以喚醒已有的知識經驗，又能激發他們繼續探索的興趣.求點B的坐標引出了“一線三直角”模型，也為接下來模型的提煉做鋪墊.

2.2 分析特征，提煉模型

師：剛剛求點B坐標時，同學們構造了“一線三直角”模型，這個模型有什么特征？請同學們說一說，畫一畫.

生4：如圖3，已知OA⊥OB，直線l經過直角∠AOB的頂點O，分別過點A，B向直線l作垂線段AM，BN，垂足記為點M，N，像這樣，一條直線上有三個直角就構成了“一線三直角”模型.

圖3

師：根據模型可以得到什么結論？

師：其他條件不變，將直線l繞點O旋轉，結論還成立嗎？如圖4，若直線l旋轉至∠AOB內部，結論還成立嗎？

圖4

生6：證明方法是一樣的，仍然能夠證得△AMO∽△ONB，所以結論成立.

師：圖3和圖4可以分別稱為同側型和異側型的“一線三直角”模型.若將模型一般化，把三個直角改為三個相等的角，變成“一線三等角”模型，結論有什么變化？

生7：結論不變，△AMO∽△ONB.

師：若將模型特殊化，添加條件OA=OB，有什么新發現？

生8：相似三角形中一組等角的對邊相等時，可以得到全等，所以此時△AMO≌△ONB.

師：本節課主要研究“一線三直角”模型的構建和應用，其他內容暫不深入討論.做題時可以發現很多題目中的“一線三直角”模型并不會被直觀、完整地呈現出來，需要自主構建，有什么方法？

生9：可以分三步.第一步，找到或挖掘題目中的直角；第二步，確定經過直角頂點的直線；第三步，向直線作垂線段.總結為“找直角、定直線、搭框架”.

師：非常好.接下來看看“一線三直角”模型還能夠解決哪些二次函數的相關問題.

設計意圖：學習了全等和相似三角形后，學生對“一線三直角”模型已經有了一定的認識，但結合二次函數綜合應用時往往需要自主構建模型，對學生的建模意識和能力也提出了更高的要求.本環節通過學生的自主展示、復習和總結，既幫助基礎薄弱的學生熟悉模型的特征和結論，為綜合應用做鋪墊，也有利于學生建立完整、系統的知識結構.

2.3 模型應用，總結方法

圖5

師：讀完題目大家有什么思路？

生10：要先確定點B的位置，如圖6，根據OB⊥OA，過點O作OA的垂線，與拋物線的交點即為點B.再分別過點A，B作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，構造“一線三直角”模型.

圖6

師：問題1中也是構造模型求點B的坐標，問題1和問題2在解法上有什么區別與聯系？

師：那要怎么做呢？

師：很好，抓住點的特殊位置，設坐標列方程來求解，請同學們現在求解一下.

生13：解得t1=4，t2=0.但當t=0時，點B與原點重合，舍去，所以t=4，得B(4,2).

師：特別好.要檢驗方程的解是否符合題意，再確定最后結果.本題利用“一線三直角”模型求點的坐標，能總結一下方法嗎？

生14：可以分五步.第一步，根據點的特殊位置設坐標；第二步，挖掘題目條件構造模型；第三步，用代數式表示相似直角三角形對應邊的長；第四步，由對應邊成比例列方程；第五步，解方程，檢驗，得出結果.

設計意圖：問題2的設計首先讓學生能夠根據垂直，作圖確定點的位置，為接下來直角三角形的存在性問題畫圖做鋪墊.再通過將本題與問題1進行比較分析，學生感受平面直角坐標系中點的坐標是解題的立足點，也是列方程的關鍵點，所以要抓住點的特殊位置，用字母表示數設點的坐標，再運用“一線三直角”模型理論解決問題，充分滲透了數形結合和方程思想.

2.4 變式練習，靈活應用

師：通過剛剛兩道題的探究，同學們覺得使用“一線三直角”模型的主要條件是什么？

眾生：要有直角.

師：看到直角還能想到什么？

眾生：直角三角形、矩形、正方形……

師：這些圖形都自帶直角，為模型的使用提供了必要的條件，將這些圖形放到二次函數的背景下又會出現什么新的問題呢？來看下面這道題.

圖7

師：本題是直角三角形的存在性問題，該如何處理？

生15：要使△ACP為直角三角形，需先分類討論確定點P的位置.

師：有幾種情況？如何分類？

生16：有三種情況，可以按邊、角或頂點分類.

師：哪種分類更有利于作圖找點P？請具體說說怎么作圖.

生17：按頂點分類最為簡便，如圖8，聯結AC.(1)若點A為直角頂點，過點A作線段AC的垂線，與x軸的交點記為P1；(2)若點C為直角頂點，過點C作線段AC的垂線，與x軸的交點記為P2，情況不存在，舍去；(3)若點P為直角頂點，則AC為斜邊，以AC為直徑作圓，與x軸的交點記為P3，此時AP3⊥x軸.

圖8

師：確定了點P的位置后，如何求坐標？

生18：根據上題總結的方法，先設點P的坐標，因為點P在x軸上，設P(t，0)，再通過“找直角、定直線、搭框架”構造“一線三直角”模型.

師：直角很明顯，但過直角頂點的直線可以有無數條，要怎么確定？

生19：在平面直角坐標系中，一般過直角頂點作平行于x軸或平行于y軸的直線，便于表示點的坐標.

師：非常好，要找“橫平豎直”的直線，請簡單說說解題過程.

圖9

師：還有其他求點P1坐標的方法嗎？

生21：可以過點A向x軸作垂線段，利用射影定理求解，本質上是構造了異側型“一線三直角”模型.

生22：可以根據AP1⊥AC得到這兩條線段所在直線的比例系數積為-1，通過解析式法求點P1的坐標.

生23：還可以利用兩點距離公式表示△ACP中各邊的平方，根據勾股定理列方程求解.

師：很好.同學們可以嘗試不同方法求解，比較方法的優劣，根據不同題目，選擇最優解法.

設計意圖：本環節先引導學生根據直角聯想到與直角有關的圖形，自然地過渡到用“一線三直角”模型來解決圖形的存在性問題，同時融入動點，讓學生確定直角三角形分類的標準，滲透分類討論數學思想.在教學過程中，通過學生作圖、師生問答的方式，學生深化對模型構造的理解，把握解題方法.最后，除了總結得出一般方法外，讓學生拓展思路，一題多解，發散思維.

2.5 舉一反三，思維拓展

師：問題3中條件不變，你還能提出其他直角三角形的存在性問題嗎？

生24：在y軸上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

生25：在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

生26：在拋物線上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

師：很好，問題3和這三道題都是典型的直角三角形的存在性問題，請同學們分組求點P的坐標，并思考這類問題中動點的位置有什么特點？

生27：一般在x軸、y軸、二次函數對稱軸或者函數圖像上等，目的是使設點的坐標中只含有一個未知數，或者使橫坐標確定，或者使縱坐標確定，或者使橫縱坐標之間可以建立聯系，這樣才能列方程求出未知數的值.

師：問題3條件依然不變，請同學們嘗試將直角三角形的存在性問題拓展到四邊形.

生28：點P是對稱軸上一點，點Q為平面內任意一點，是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點P，Q的坐標，若不存在，請說明理由.

師：非常好.矩形具備平行四邊形的特性又含有直角，本質上是將直角三角形的存在性問題與平行四邊形的存在性問題相結合，平行四邊形的存在性問題前面已經講過，同學們可以嘗試求解.

設計意圖：本環節設置了較為開放性的問題，也提升了一定的難度，讓學生站在更高的角度思考問題，從看題、做題到自主編題，對學生的數學素養提出了更高的要求.直角三角形、矩形、正方形等都是含有直角的圖形，通過舉一反三，學生抓住這一類問題的特征，形變質不變，最后歸納總結，形成類型問題的完整解題策略.

3 教學思考

3.1 抓住模型特征，滲透模型思想

初中數學的學習離不開數學模型，數學模型來源于對數學規律的總結、知識經驗的積累，是基于知識典型結構的特殊總結，因此模型通常具有鮮明特征[1].只有抓住模型特征才能正確構建模型得到相應結論，所以在以數學模型建構與應用為主線的復習教學中有兩個重點：一是抓住模型特征，二是滲透模型思想.本節課在提煉模型環節給了學生充分表達的機會，讓學生進行特征總結，理解模型結構，為后續順利構建模型和應用模型做鋪墊.而模型思想的滲透屬于更高層面，需要教師在平時的教學中有意識地帶領學生體驗建模過程，指導學生建模方法，從模型的角度思考問題，從根本上提升數學素養.

3.2 關注知識生長，構建整體結構

《義務教育數學課程標準》指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課所要教授的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系[2].本節課以“一線三直角”模型的提煉、構建及應用為主線，問題設計以同一條拋物線為載體，讓學生在整體上搭建知識框架.而從局部上看，將模型教學與其他知識點相串聯，層層鋪墊，形成一條問題鏈，逐步讓學生掌握解題方法和解題思路.最后又引導學生對題目進行拓展，舉一反三，培養學生高水平思維能力，讓知識得以自然地生長與延伸.

3.3 重視歸納總結，增進復習實效

模型教學的復習課中，對數學思想和數學方法的總結也尤為重要.本節課的探究過程中教師引導學生進行了四次歸納總結：一是挖掘模型特征，總結構建模型的三步法；二是對比問題條件，總結拋物線中求點的坐標的五步法；三是讓學生自主作圖，總結直角三角形三種分類標準；四是運用模型解決問題的過程中，總結二次函數中存在性問題模型.通過及時歸納總結幫助學生關注細節，掌握完整的模型解題過程，認識問題的本質規律，達到“知一法，通一類”的效果，增強復習實效.