信息技術(shù)助力 沁潤(rùn)數(shù)學(xué)文化
——以初中數(shù)學(xué)“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

蔣恩妮 李春蓉

(廣西南寧市第十四中學(xué) 廣西 南寧 530028)

在當(dāng)今信息化社會(huì)中，各種不同的信息技術(shù)被廣泛地用于工作、個(gè)人生活和教學(xué)情境中，信息技術(shù)的運(yùn)用已經(jīng)成為信息和知識(shí)的生產(chǎn)、使用、存儲(chǔ)、評(píng)價(jià)、分析和交流的組成部分。服務(wù)于教育教學(xué)的信息技術(shù)越來(lái)越人性化，它們的設(shè)計(jì)理念是：根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，向?qū)W生提供直觀、動(dòng)態(tài)、豐富的學(xué)習(xí)工具，達(dá)到幫助學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)習(xí)效率的目的。在提倡學(xué)生自主探究、合作交流的今天，信息技術(shù)作為一種認(rèn)知工具應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，將對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生意義深遠(yuǎn)的影響。

數(shù)學(xué)文化，其狹義理解為發(fā)展與形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言、觀點(diǎn)、方法、思想的過(guò)程；其廣義理解為數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)與社會(huì)關(guān)系中的人文成分以及數(shù)學(xué)與其他文化之間的關(guān)系等[3]。數(shù)學(xué)文化有著豐富的德育價(jià)值、精神價(jià)值和美育價(jià)值。數(shù)學(xué)文化的德育價(jià)值，是指數(shù)學(xué)積極促進(jìn)了學(xué)生道德品質(zhì)、精神品質(zhì)形成和發(fā)展。比如說(shuō)，數(shù)學(xué)其知識(shí)體系內(nèi)在的邏輯體系和嚴(yán)格的推理體系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)讓學(xué)生注重推理證明，認(rèn)識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹匾浴Ｔ跀?shù)學(xué)文化發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，很多學(xué)者敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神至今滋養(yǎng)著我們。西帕索斯對(duì)“萬(wàn)物皆數(shù)”的質(zhì)疑，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，產(chǎn)生了無(wú)理數(shù)的定義；華羅庚心系民生，發(fā)現(xiàn)優(yōu)選法，解決了人民群眾生活中的難題……要想深入探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，科學(xué)的研究方法還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要的堅(jiān)強(qiáng)的意志品。數(shù)學(xué)文化的德育價(jià)值，是指學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，在一次次與數(shù)學(xué)家的“對(duì)話”中，感悟數(shù)學(xué)精神，提升思維的探究品質(zhì)，形成正確面對(duì)挫折的人生態(tài)度。數(shù)學(xué)文化的美育育價(jià)值，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔和圖形的對(duì)稱上。我們可以用一個(gè)字母代表任意實(shí)數(shù)，“垂線段最短”、“兩點(diǎn)之間,線段最短”等命題的表述也能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美；正方形、圓等圖形的特點(diǎn)則體現(xiàn)了圖形的對(duì)稱美。在日常的學(xué)習(xí)中，這些美將引導(dǎo)學(xué)生追求美、創(chuàng)造美。

數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中可以借助信息技術(shù)和多媒體資源在課堂教學(xué)中沁潤(rùn)數(shù)學(xué)文化，深入促進(jìn)初中數(shù)學(xué)課程改革，從數(shù)學(xué)學(xué)科的本身特點(diǎn)出發(fā)，充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能，提高數(shù)學(xué)課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和面對(duì)挫折的勇氣，從而落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。下面筆者以“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，淺談信息技術(shù)助力沁潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的思考。

1.備課構(gòu)思

1.1 勾股定理的發(fā)展史。勾股定理的歷史發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，3000多年前的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，古埃及人曾應(yīng)用勾股定理的理念設(shè)計(jì)宏偉的金字塔和解決測(cè)量尼羅河泛濫后的土地問(wèn)題。[2]2000多年前，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家中的地板圖案發(fā)現(xiàn)了勾股定理，中國(guó)也是發(fā)現(xiàn)、研究和運(yùn)用勾股定理最古老的國(guó)家之一.公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高提出“勾三、股四、弦五”。根據(jù)該典故也稱勾股定理為商高定理。

勾股定理的證明方法十分豐富，有400多種，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)，都愿意探討和研究它的證明方法，其中較為有名的有，中國(guó)的青朱出入圖，古印度的“無(wú)字證明”等等。

1.2 教學(xué)目標(biāo)。勾股定理的內(nèi)容是直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。把直角三角形的形狀特點(diǎn)轉(zhuǎn)化成三邊的數(shù)量關(guān)系，在幾何圖形與數(shù)量關(guān)系之間搭建了一座橋梁，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網(wǎng)格中直角三角形(直角邊長(zhǎng)為整數(shù))，再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探究過(guò)程和研究方法。證明勾股定理的思路是利用割補(bǔ)法，等面積法，通過(guò)不同方式表示出以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積?；谝陨戏治?，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：(1)經(jīng)歷探索驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，加強(qiáng)對(duì)割補(bǔ)法、等面積法的應(yīng)用，掌握勾股定理；(2)通過(guò)不同證明方法的探究，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和推理能力，體會(huì)從特殊到一般的探究過(guò)程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；(3)借助勾股定理豐富的歷史文化，培養(yǎng)人文底蘊(yùn)與科學(xué)精神的核心素養(yǎng)；(4)能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

1.3 教學(xué)重、難點(diǎn)。學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生一方面通過(guò)字母表示數(shù)、整式的運(yùn)算等內(nèi)容的學(xué)習(xí)初步形成了符號(hào)化意識(shí)，能熟練地進(jìn)行整式的計(jì)算和化簡(jiǎn)；另一方面，通過(guò)三角形等章節(jié)的學(xué)習(xí)積累了用割補(bǔ)法、等面積法求圖形面積的基本經(jīng)驗(yàn)。但他們對(duì)通過(guò)將圖形特點(diǎn)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系的方法還比較陌生，因此，學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中可能存在如下困難：(1)如何構(gòu)造圖形證明勾股定理；(2)怎樣歸納不同的證明勾股定理方法的共性。

由此，筆者將本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)確定為:勾股定理的探究和證明。

2.教學(xué)概述

2.1 課前預(yù)習(xí)，成果展示。上課前一天，布置學(xué)生完成《勾股定理》課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單中的三個(gè)任務(wù)。任務(wù)一：用平板掃描二維碼自學(xué)微課；任務(wù)二：上網(wǎng)查閱有關(guān)勾股定理的史料，梳理勾股定理的發(fā)展史及我國(guó)古代在勾股定理研究方面的成就，培養(yǎng)民族自豪感；任務(wù)三：在平板的“理想人人通”的作業(yè)上完成“課前自學(xué)檢測(cè)”，完成后自行查看答案解析。

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)觀看教師準(zhǔn)備好的微課視頻和自主上網(wǎng)查閱有關(guān)勾股定理的史料進(jìn)行課堂翻轉(zhuǎn)，學(xué)生帶著問(wèn)題和勾股定理的文化背景觀看微課，能增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，之后運(yùn)用理想人人通推送電子作業(yè)(預(yù)習(xí)小測(cè))，而后通過(guò)預(yù)習(xí)小測(cè)生成的數(shù)據(jù)，可以實(shí)時(shí)分析學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握情況。

信息技術(shù)亮點(diǎn)：筆者在備課時(shí)根據(jù)本節(jié)內(nèi)容相應(yīng)地命制好預(yù)習(xí)小測(cè)的題目，該次預(yù)習(xí)小測(cè)題型均為選擇題。目的是為了系統(tǒng)能夠直接批閱并生成小測(cè)的數(shù)據(jù)結(jié)果，這樣高效率的統(tǒng)計(jì)效率與反饋速度，能讓教師第一時(shí)間看到可視化的結(jié)果。當(dāng)學(xué)生完成作業(yè)后，系統(tǒng)自動(dòng)批閱，教師得到以下數(shù)據(jù)：學(xué)生提交情況、學(xué)生完成情況(未完成的學(xué)生可設(shè)置提醒)、每個(gè)題目的答題情況和答錯(cuò)的學(xué)生姓名，從而分析學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，有助于教師實(shí)時(shí)掌握每位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，調(diào)整教學(xué)策略，優(yōu)化評(píng)價(jià)方式，提高評(píng)價(jià)成效。

2.2 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題。情境1：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)器材中水的變化情況，得到三個(gè)長(zhǎng)方體體積之間的關(guān)系，進(jìn)而得到三個(gè)正方形之間的面積關(guān)系，最后得出直角三角形中邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系情境2：相傳2000多年前，畢達(dá)哥拉斯去好友家聚會(huì)時(shí)無(wú)意中發(fā)現(xiàn)好友家的地面圖案存在一個(gè)讓特殊的數(shù)量關(guān)系：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的面積。他進(jìn)而猜想論證出等腰直角三角形三邊的特殊關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。

教學(xué)說(shuō)明：從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，通過(guò)探究三個(gè)正方形的面積關(guān)系得到三邊的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而猜想出一般直角三角形的三邊關(guān)系。

2.3 合作探究，活動(dòng)領(lǐng)悟?；顒?dòng)1：學(xué)生通過(guò)在網(wǎng)格中(每個(gè)格子的邊長(zhǎng)為1)任意畫一個(gè)各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的直角三角形，分別以這個(gè)直角三角形的三邊作正方形，計(jì)算出這三個(gè)正方形的面積，探究三個(gè)正方形面積之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得出直角邊長(zhǎng)是整數(shù)的直角三角形的斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

教學(xué)說(shuō)明：網(wǎng)格中的直角三角形通常把兩條直角邊長(zhǎng)設(shè)定為整數(shù)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用割補(bǔ)法求面積的方法，為探究一般的直角三角形三邊關(guān)系提供研究思路。

活動(dòng)2：學(xué)生通過(guò)幾何畫板進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)演示，初步驗(yàn)證勾股定理的內(nèi)容——直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

活動(dòng)3：以5個(gè)同學(xué)為一組，每個(gè)小組借助學(xué)件上的直角三角形，通過(guò)希沃白板中克隆圖形的功能，拼接成一個(gè)無(wú)重疊無(wú)縫隙的圖形，利用等面積法來(lái)驗(yàn)證勾股定理。各小組成員各司其職，合作完成活動(dòng)探究并進(jìn)行自評(píng)，小組代表上臺(tái)展示成果。教師在過(guò)程中對(duì)每個(gè)同學(xué)的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，最后匯總自評(píng)、組評(píng)及師評(píng)，形成總評(píng)，并對(duì)表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)。

2.4 設(shè)計(jì)小組合作學(xué)習(xí)任務(wù)分配單，安排小組長(zhǎng)、拼圖員、列式員、記錄員、計(jì)時(shí)員。教學(xué)說(shuō)明：好的活動(dòng)能引發(fā)學(xué)生的思維沖突，激活學(xué)生內(nèi)在的思維潛能。從網(wǎng)格中特殊的直角三角形到一般直角三角形，通過(guò)幾何畫板大量數(shù)據(jù)演示和拼圖活動(dòng)驗(yàn)證，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)定理的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。本環(huán)節(jié)中，先讓小組學(xué)生分配組內(nèi)成員任務(wù)，進(jìn)行思考討論交流，形成一個(gè)核心的見(jiàn)解后，引導(dǎo)小組代表展示分享本組的解答方法。教師在巡視過(guò)程中可清楚了解到小組討論的情況，及時(shí)給予幫助、指導(dǎo)和評(píng)價(jià)。這種開放式的討論，鍛煉了學(xué)生的溝通能力，讓學(xué)生能在質(zhì)疑、討論和答疑中展現(xiàn)、發(fā)展和提升思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了核心素養(yǎng)的落地。同時(shí)，教師、同學(xué)之間對(duì)本節(jié)課中學(xué)生的個(gè)人展示、自主探究和小組的組內(nèi)組間合作、交流進(jìn)行全面的評(píng)價(jià)，提高每個(gè)學(xué)生的課堂參與度。

信息技術(shù)亮點(diǎn)：語(yǔ)言是思維的載體，借助語(yǔ)言可讓學(xué)生的思維展現(xiàn)出來(lái)，每一種表達(dá)都代表了一種思路。本節(jié)課學(xué)生主要采用希沃白板和互動(dòng)精靈平臺(tái)作為他們的展示交流工具。本節(jié)設(shè)計(jì)了兩種展示交流的方式：第一種是依托希沃一體機(jī)上的幾何畫板，大屏幕演示；第二種是依托互動(dòng)精靈平臺(tái)推送+學(xué)生投屏進(jìn)行演示。借助信息技術(shù)工具，給學(xué)生提供豐富、多元的展示平臺(tái)，一方面創(chuàng)新的展示方式能提高學(xué)生的興趣，吸引學(xué)生的注意力，調(diào)動(dòng)其關(guān)注問(wèn)題的積極性；另一方面運(yùn)用信息技術(shù)可讓學(xué)生在座位上就能直觀、具體、快捷地展示自己的思路、板書，氛圍更加輕松、活躍，其他學(xué)生也更容易理解，整體提高了學(xué)生的積極性和課堂效率。

2.4 適時(shí)小結(jié)，興趣延伸。

方法一：趙爽弦圖證法。

方法二：總統(tǒng)證法。方法三：青朱出入圖證法：出入相補(bǔ)原理。

方法四：畢達(dá)歌拉斯證法。

教師選取有代表性的不同證法進(jìn)行匯總，并請(qǐng)同學(xué)們討論多種證法的共性，并歸納出勾股定理的證明思路及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法：從特殊到一般、等面積法、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想。而后，教師播放同學(xué)們事先錄制好的介紹勾股定理發(fā)展史的視頻。

教學(xué)說(shuō)明：勾股定理還是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠。從4000年前的巴比倫、3000前的中國(guó)、2000年前的畢達(dá)哥拉斯,一直到現(xiàn)在，人們始終在對(duì)它進(jìn)行不斷的探索。它的教學(xué)可以同時(shí)兼有三種價(jià)值：發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)邏輯推理能力，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化教育。數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容應(yīng)以中國(guó)成就為主轉(zhuǎn)變?yōu)榉叛蹏?guó)際成就。勾股定理的學(xué)習(xí)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義思想，民族自豪感，還體現(xiàn)了學(xué)習(xí)多元文化，把多種文化融會(huì)貫通的重要性。

2.5 著重關(guān)聯(lián),揭示本質(zhì)。請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容、方法，談?wù)勛约旱氖斋@。

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后自由發(fā)言，教師適時(shí)評(píng)價(jià)，最后呈現(xiàn)本節(jié)課的思維導(dǎo)圖。

教學(xué)說(shuō)明：讓學(xué)生從不同角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)美，感悟數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

3.教學(xué)思考

3.1 借助多樣化載體，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。教育的本質(zhì)在于參與，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生最大程度地參與到學(xué)習(xí)中去，讓學(xué)生用自己的思維方式，主動(dòng)地獲取知識(shí)。[4]信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合，為師生多元互動(dòng)、學(xué)生開展交互式學(xué)習(xí)及展示平臺(tái)創(chuàng)造了良好的條件。現(xiàn)如今很多信息技術(shù)的教學(xué)輔助類軟件既可以起到幫助學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)定義、定理的作用，還可以拓展學(xué)習(xí)的內(nèi)容和豐富學(xué)習(xí)的形式，使學(xué)生能充分體驗(yàn)思考的過(guò)程，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

3.2 營(yíng)造數(shù)學(xué)文化氛圍，凸顯學(xué)科育人。數(shù)學(xué)不僅應(yīng)該作為一門傳授知識(shí)的學(xué)科，更應(yīng)該作為人們好好學(xué)習(xí)和研究的文化。它蘊(yùn)藏著的獨(dú)特的思維方式與學(xué)科特點(diǎn)，都能對(duì)學(xué)生思維和道德的發(fā)展產(chǎn)生意義深遠(yuǎn)的影響。數(shù)學(xué)知識(shí)通常來(lái)源于實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)的積累，雖然知識(shí)本身對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，較為抽象和枯燥乏味，但基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)知識(shí)理解，更能引起學(xué)生的好奇心，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，在日常數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)文化的有效沁潤(rùn)，使學(xué)生在探究抽象符號(hào)與圖形的過(guò)程中，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的獨(dú)特韻味，這也能幫助教師將數(shù)學(xué)教育的價(jià)值推向更高維度。

在學(xué)科核心素養(yǎng)的指引下，基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)有助于教師系統(tǒng)地梳理數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的知識(shí)結(jié)構(gòu)，挖掘顯性與隱性的文化素材之間的聯(lián)系，關(guān)注數(shù)學(xué)與與現(xiàn)實(shí)生活、與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)與融合，進(jìn)一步更新教育觀念、優(yōu)化課程內(nèi)容、改革教育教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)科育人的目標(biāo)。