任意角三角函數(shù)概念的分析及應(yīng)用

北京 韓靜波

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它定義了一種新的運(yùn)算，構(gòu)建了一類最典型的周期函數(shù).數(shù)學(xué)概念反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，因此新課標(biāo)、新教材重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，高考重視對數(shù)學(xué)概念的考查.本文基于對三角函數(shù)概念及其在三角函數(shù)知識體系中地位的分析，探討三角函數(shù)概念的應(yīng)用.

一、任意角三角函數(shù)概念的分析

由三角函數(shù)的定義，我們可以看出:

(1)三角函數(shù)的定義建立了角α與其終邊上除坐標(biāo)原點(diǎn)外任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系，具體地，可以根據(jù)P的坐標(biāo)(x,y)求出sinα，cosα，tanα，也可以用α的三角函數(shù)值和P到原點(diǎn)O的距離r寫出P的坐標(biāo)，即(rcosα,rsinα)；

(2)如圖，以α的終邊在第一象限為例，當(dāng)r=1時(shí)，sinα=y，cosα=x，當(dāng)x=1時(shí)，tanα=y，此時(shí)sinα，cosα，tanα可以分別看作線段MP，OM，QT的長度，可以理解為sinα，cosα，tanα的幾何意義，其本質(zhì)就是sinα，cosα，tanα的三角函數(shù)線，當(dāng)α終邊在其他象限時(shí)，sinα，cosα，tanα可以看作線段的長度或線段長度的相反數(shù)，但是都可以從幾何角度研究sinα，cosα，tanα；

(3)從運(yùn)動(dòng)變化的角度看，三角函數(shù)的定義刻畫了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，坐標(biāo)與對應(yīng)的角的函數(shù)關(guān)系，因此對于圓周上的動(dòng)點(diǎn)，可以以角為自變量刻畫其變化規(guī)律.另外，利用三角函數(shù)定義可以用三角函數(shù)模型描述現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中的周期變化規(guī)律的問題.

二、任意角三角函數(shù)概念在三角函數(shù)知識體系中的地位

在高中階段，三角函數(shù)部分知識的結(jié)構(gòu)一般是“任意角與弧度—三角函數(shù)的定義—誘導(dǎo)公式—圖象與性質(zhì)(周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大值與最小值等)—三角恒等變換—應(yīng)用”.從知識的邏輯上，在任意角和弧度制的基礎(chǔ)上，定義了任意角的三角函數(shù)，并根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)出三角函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算公式，并以三角函數(shù)定義為基礎(chǔ)，借助三角函數(shù)運(yùn)算，研究了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；借助三角函數(shù)運(yùn)算，用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，研究某些三角函數(shù)型的圖象和性質(zhì).從知識體系上，任意角與弧度制是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)的概念是三角函數(shù)運(yùn)算和三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的知識根源，它能反映很多三角函數(shù)問題的本質(zhì)，從思維上，三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，函數(shù)思想應(yīng)該貫徹三角函數(shù)學(xué)習(xí)的始終，用函數(shù)的觀點(diǎn)思考問題，用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.因此從三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)出發(fā)研究與三角函數(shù)相關(guān)的問題，體現(xiàn)知識本質(zhì)和數(shù)學(xué)思維，是一種重要的策略.例如下題：

【例1】(2020·北京卷·9)已知α,β∈R，則“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的( )

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】解決此題的關(guān)鍵在于理解“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”和“sinα=sinβ”的本質(zhì).所以如何理解抽象符號是解題的關(guān)鍵，面對這樣相對新穎且綜合的問題，需要站在三角函數(shù)整個(gè)知識框架下，以及明確研究三角函數(shù)問題基本策略的宏觀視角下，探究問題本質(zhì).根據(jù)上述三角函數(shù)知識體系的梳理，從三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)出發(fā)去思考此題是解決此題的基本策略，也是面對新穎情境以不變應(yīng)萬變的策略.

【解析】“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”,

若k=2m+1(m∈Z)，即k為奇數(shù)，則α=(2m+1)π-β,

若k=2m(m∈Z)，即k為偶數(shù)，則α=2mπ+β.

所以α與π-β終邊相同，即α與β終邊關(guān)于y軸對稱或α與β終邊相同,

或α-β=2mπ，即在數(shù)軸上α與β關(guān)于相差2π的整數(shù)倍.

根據(jù)三角函數(shù)的定義:

“sinα=sinβ”?α與β終邊關(guān)于y軸對稱或α與β終邊相同，

根據(jù)y=sinx的圖象和性質(zhì):

綜上所述，

方法一：利用三角函數(shù)定義，“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”與“sinα=sinβ”都等價(jià)于α與β終邊關(guān)于y軸對稱或α與β終邊相同，所以選擇C.

由上述可以看出，抽象的符號語言“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”和“sinα=sinβ”使題目情境新穎、綜合，但是考查內(nèi)容的知識體系是不變的，思考三角函數(shù)問題的方式是有規(guī)律的，抓住三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)體現(xiàn)知識本質(zhì)和思維，由此可以看出三角函數(shù)定義在三角函數(shù)知識體系中的重要地位.

三、任意角三角函數(shù)概念的應(yīng)用

三角函數(shù)的概念在三角函數(shù)知識體系中地位非常重要，它能反映很多問題的本質(zhì)，因此很多情況下從三角函數(shù)定義出發(fā)能幫助我們抓住問題的本質(zhì).通過上述對三角函數(shù)概念的分析，可以知道三角函數(shù)概念意義豐富深刻，可從不同的角度理解，建立知識的聯(lián)系，接下來從以下幾個(gè)角度探索任意角三角函數(shù)概念的應(yīng)用：

(一)從“數(shù)”和“形”的角度

任意角的三角函數(shù)是借助平面直角坐標(biāo)系定義的，定義體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，因此我們既可以從“數(shù)”的角度又可以從“形”的角度應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義研究問題，而且研究問題過程中“數(shù)”和“形”是緊密結(jié)合的.

1.“數(shù)”的角度

在平面直角坐標(biāo)系中，三角函數(shù)的定義建立了任意角與其終邊上除坐標(biāo)原點(diǎn)外任意一點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)上面分析，我們既可以用角α終邊上任意一點(diǎn)P(除原點(diǎn))的坐標(biāo)(x,y)表示角α的三角函數(shù)值，又可用角α的三角函數(shù)值和點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離r表示點(diǎn)P的坐標(biāo).

從上述問題可以看出，從“數(shù)”的角度，我們可以進(jìn)行角與其終邊上任意一點(diǎn)(除原點(diǎn))坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以將角的研究轉(zhuǎn)化為其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的研究，也可以將點(diǎn)坐標(biāo)的研究轉(zhuǎn)化為角的研究，這也是數(shù)形結(jié)合的過程，從這個(gè)角度思考問題，是從問題的本質(zhì)思考，可以幫助我們透過現(xiàn)象看本質(zhì).

2.“形”的角度

根據(jù)三角函數(shù)定義，若取α終邊與單位圓的交點(diǎn)P， 則sinα，cosα分別為P的縱、橫坐標(biāo),進(jìn)一步過P作PM垂直x軸于M，則|sinα|=PM，|cosα|=OM，從某種意義上，可以將對sinα，cosα的研究轉(zhuǎn)化為對PM，OM的研究.對于tanα，作單位圓與x軸垂直的切線，切點(diǎn)記為Q，切線與α終邊交于點(diǎn)T，則|tanα|=TQ，從某種意義上，可以將對tanα的研究轉(zhuǎn)化為對TQ的研究.總之，可以將三角函數(shù)值的研究轉(zhuǎn)化為幾何問題.

【分析】研究數(shù)學(xué)問題應(yīng)該思考研究對象的本質(zhì)是什么，即從定義出發(fā)，因此首先思考sinα，α，tanα的本質(zhì)是什么？根據(jù)三角函數(shù)定義和弧度制定義，可將sinα，tanα轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，將α轉(zhuǎn)化為弧長，將坐標(biāo)和弧長轉(zhuǎn)化為同類對象，即可再將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為長度，因此利用單位圓，將sinα，tanα轉(zhuǎn)化為線段長，將α轉(zhuǎn)化為弧長，即將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.另外，從代數(shù)運(yùn)算角度解決問題較困難，例如sinα-α不易化簡，但可以利用函數(shù)y=sinα-α的性質(zhì)比較sinα和α大小.

【解析】如圖，設(shè)α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P，單位圓與x軸正半軸交點(diǎn)為A，過P作PM垂直x軸于M，過A作AT垂直x軸交α的終邊于點(diǎn)T.

設(shè)P，T的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(1,y2)，

因?yàn)镾△AOP

從上述問題可以看出，從“形”的角度，可以將三角函數(shù)值賦予幾何意義，將三角函數(shù)值的研究轉(zhuǎn)化為對線段的研究，這也是數(shù)形結(jié)合的過程，從這個(gè)角度思考問題，可以把三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為更直觀的問題，進(jìn)而幫助筆者透過現(xiàn)象看本質(zhì).

(二)從運(yùn)動(dòng)變化角度

在數(shù)學(xué)內(nèi)部，如圖，從運(yùn)動(dòng)變化的角度看，圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)可以看成是角α的函數(shù)，可以以角α為自變量刻畫點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，也可以利用角α刻畫點(diǎn)P在不同位置時(shí)坐標(biāo)的關(guān)系.

1.函數(shù)的角度

對于做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，可以利用角α刻畫其運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，即用角α為自變量建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)定量研究問題中的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律.

【分析】問題為運(yùn)動(dòng)變化問題，圖形的變化可以看成是C的圓周運(yùn)動(dòng)引起的，因此根據(jù)三角函數(shù)定義，可以用變量∠COP作為自變量，用函數(shù)刻畫圖形的運(yùn)動(dòng)變化，從而將幾何中的運(yùn)動(dòng)變化問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

由三角函數(shù)定義，得BC=sinx，OB=cosx，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以AD=BC=sinx，

從上述問題可以看出，對于幾何中的運(yùn)動(dòng)變化問題，若圖形的運(yùn)動(dòng)變化可以看成是由點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)引起的，則根據(jù)三角函數(shù)定義可以用角作為自變量用函數(shù)刻畫圖形的運(yùn)動(dòng)變化，因此可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

2.坐標(biāo)變換的角度

點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換可以看成是點(diǎn)從一個(gè)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)到另外一點(diǎn)，因此可以利用三角函數(shù)定義建立變換前后兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.

【例5】(2022·海淀高三期末)已知函數(shù)f(x)=2x，g(x)=logax.若對于f(x)圖象上的任意一點(diǎn)P，在g(x)的圖象上總存在一點(diǎn)Q，滿足OP⊥OQ，且|OP|=|OQ|，則實(shí)數(shù)a=( )

【解析】設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),

所以|OP|=|OP″|，且OP⊥OP″,

所以點(diǎn)Q的軌跡為雙曲線,

從上述問題可以看出，利用三角函數(shù)定義是研究點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換的一種有效方法，更進(jìn)一步，圖形的旋轉(zhuǎn)變換本質(zhì)是圖形上每一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，因此利用三角函數(shù)定義可以研究圖形的旋轉(zhuǎn)變換.

(三)從數(shù)學(xué)建模角度

在現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中，存在大量的圓周運(yùn)動(dòng)和周期現(xiàn)象，三角函數(shù)是刻畫圓周運(yùn)動(dòng)和描述周期變化規(guī)律問題的重要模型，因此根據(jù)三角函數(shù)定義，可以用三角函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，將研究現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

【例7】(2019年人教A版必修一第238頁例2)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120 m,轉(zhuǎn)盤直徑為110 m,設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30 min.

(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hm,求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式;

(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5 min后距離地面的高度;

(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位:m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).

(2)37.5 m；

【例8】(2019年人教A版必修一第241頁例2)海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.如下表是某港口某天的時(shí)刻與水深關(guān)系的預(yù)報(bào).

時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m0∶005.09∶182.518∶365.03∶067.512∶245.021∶422.56∶125.015∶307.524∶004.0

(1)選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這一天該港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)水深的近似數(shù)值(精確到0.001 m).

(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4 m，安全條例規(guī)定至少要有1.5 m的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船這一天何時(shí)能進(jìn)入港口?在港口能呆多久?

(3)某船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船這一天在2∶00開始卸貨，吃水深度以0.3 m/h的速度減少，如果這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域，那么該船最好在什么時(shí)間停止卸貨，將船駛向較深的水域?

(2)貨船可以在零時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)45分左右出港；或在下午13時(shí)左右進(jìn)港，下午18時(shí)左右出港，每次可以在港口停留5小時(shí)左右；

(3)最好在6.6時(shí)之前停止卸貨，將船使向較深的水域.

上述兩道題分別為教材中的圓周運(yùn)動(dòng)問題與周期變化規(guī)律問題，對于現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中的此類問題，均可以根據(jù)三角函數(shù)定義，建立數(shù)學(xué)模型，用三角函數(shù)刻畫現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中的圓周運(yùn)動(dòng)或周期變化規(guī)律問題.

通過上述三角函數(shù)概念的應(yīng)用可以看出：第一，可以在“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面應(yīng)用三角函數(shù)的概念分析問題；第二，可以利用三角函數(shù)概念分析數(shù)學(xué)內(nèi)部的一類運(yùn)動(dòng)變化問題——圓周運(yùn)動(dòng)；第三，在現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中，可以利用三角函數(shù)概念對圓周運(yùn)動(dòng)和周期變化規(guī)律問題建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.