用導數研究函數的極值和最值高考真題分析
——以2022年全國乙卷理科第16題為例

江蘇 龔 亮

高考數學命題依據《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》，突出、落實“綜合性”考查要求，突出對主干、重點知識和內容的考查，發揮高考試題對中學教學改革的引導和促進作用.2022年全國乙卷理科第16題是一道突出“綜合性”考查要求的導數應用試題.這里，以該試題為母題，就導數研究函數的極值、最值問題中的應用進行探究.

一、母題呈現

(2022·全國乙卷理·16)已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點．若x1

二、母題分析

函數的極值和最值是利用導數研究函數性質的兩個重要應用，母題是以函數極值點的大小關系為題設背景設計的應用導數求參數取值范圍問題.解答母題首先要理解函數“極值點”的概念，并在對a分類討論的基礎上，將函數“極值點”轉化為導函數“零點”，再轉化為相應方程的“根”，進而通過構造函數，轉化為函數圖象有兩個交點，數形結合或利用函數的最值求解.解答母題要運用函數與方程、化歸與轉化、數形結合等數學思想，對數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模及數學運算等數學核心素養的要求較高.

三、母題解答

思路1：由x1，x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點可得，當x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)時，f′(x)<0，當x∈(x1，x2)時，f′(x)>0，再分a>1和0

解法1：因為f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)，

所以f′(x)=2axlna-2ex=2(axlna-ex).

因為x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點，

所以f′(x1)=f′(x2)=0，且函數f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)上單調遞減，在(x1，x2)上單調遞增，

所以當xx2時，f′(x)<0，當x10.

若a>1，當x<0時，2lna·ax>0，2ex<0，則此時f′(x)>0與當x1不符合題意，所以0

由f′(x1)=f′(x2)=0，可知x=x1和x=x2是方程f′(x)=0，即2(axlna-ex)=0的兩根，

所以函數y=axlna與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點，且交點的橫坐標分別為x1和x2.

令g(x)=axlna，則g′(x)=axln2a，0

設過原點且與函數y=g(x)的圖象相切的直線的切點坐標為(x0，ax0lna)，則切線的斜率為g′(x0)=ax0ln2a，

解法2：因為x1，x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點，所以x1，x2分別是導函數f′(x)的兩個零點，即x1，x2分別是方程f′(x)=0的兩個根，且x1

由解法1知a>1不符合題意，所以0

四、考查模式

導數及其應用是中學數學的核心內容，也是每年高考考查的重點和熱點，無論是客觀題還是解答題，多數情況下處于壓軸題的位置，起著“把關定向”的作用.高考數學“成也導數，敗也導數”是導數試題重要性的真實寫照.極值和最值是函數的兩條最重要的性質，用導數研究函數的極值和最值更是高考命題考查的熱點，常常在同一個題中同時考查.除上述母題外，還有2021全國乙卷理科第20題：“設函數f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函數y=xf(x)的極值點.

另外需要指出的是，母題的函數中出現了一般指數函數“ax”的形式，這在全國卷中不足為怪，但在新高考卷中卻鮮有涉及，主要是以特殊指數函數“ex”的形式呈現，這或許是全國卷與新高考卷的一點差異吧，2023年高考由全國卷轉為新高考卷的地區的師生在復習備考中應特別關注一下.

五、母題變式

若母題的題設條件不變，結合母題的解法2，設計求函數最值的取值范圍，則有：

若改變母題中的函數形式，同時不明確兩個極值點的屬性和大小關系，則有：

變式2：已知函數f(x)=ex(aex-1)+x(a>0)有兩個極值點x=x1和x=x2，則實數a的取值范圍為________.

解析：因為f(x)=ex(aex-1)+x，所以f′(x)=2ae2x-ex+1，

令t=ex,t∈(0,+∞)，則令f′(x)=0可得2at2-t+1=0，則判別式Δ=1-8a.

則當x∈(-∞，x1)時，f′(x)>0，當x∈(x1，x2)，f′(x)<0，當x∈(x2，+∞)時，f′(x)>0，此時函數f(x)有兩個極值點，符合題意，

若改變母題中的題設函數，設計函數存在極值，且極值為正數，則有：

變式3：已知函數f(x)=aln(x+1)-xex(a≠1)有極值，且極值為正數，則實數a的取值范圍為________．

解析：函數f(x)的定義域為(-1，+∞).

當a≤0時，f′(x)<0，所以f(x)在(-1，+∞)上單調遞減，所以f(x)無極值．

所以f′(x)在(-1，+∞)上單調遞減．

又f′(0)=a-1，f′(a-1)=1-aea-1．

①當00，所以在(-1，+∞)上存在唯一的x0∈(a-1，0)，使得f′(x0)=0．

當-10，所以f(x)單調遞增；當x>x0時，f′(x)<0，所以f(x)單調遞減，所以f(x)的極大值為f(x0)>f(0)=0，符合題意；

②當a>1時，f′(0)>0，f′(a-1)<0，同理符合題意．

綜上，可得a>0且a≠1．

故實數a的取值范圍是(0，1)∪(1，+∞).

若改變母題中的函數形式，設計判斷兩個極值的差是否有最小值的探索性問題，則有：

解析：f(x1)-f(x2)無最小值，理由如下：

函數f(x)的定義域為(0，+∞).

設g(x)=-x2+x-a.

因為函數有兩個不同的極值點x=x1和x=x2，

所以方程-x2+x-a=0有兩個不同的根x=x1和x=x2，

因為f(x1)-f(x2)的最小值為f(x)極小值-f(x)極大值，不妨設f(x1)為極小值，f(x2)為極大值，

故f(x1)-f(x2)不存在最小值.

六、方法規律

導數是解決函數問題的有力工具，運用導數研究函數的極值與最值等問題是高考命題的一類熱點題型，常常處于壓軸題的位置.這里，將函數的極值與最值相關的知識和注意事項加以歸納整理.

1.利用導數研究函數極值、最值的思維程序

2.利導數求函數y=f(x)在某個區間上的極值

利導數求函數y=f(x)在某個區間上的極值的步驟：

①求導數f′(x)；

②求方程f′(x)=0的根x0；

③檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右的符號：“左正右負”?f(x)在x0處取極大值；“左負右正”?f(x)在x0處取極小值.

利用導數研究函數的極值問題時要注意f′(x)=0為極值點的必要非充分條件.判斷極值時，一定要結合函數的單調性來判斷，避免出現錯誤.如果函數在x=x0處滿足f′(x0)=0，若導函數的值在該點附近符合“左正右負”，則x0是極大值點；若符合“左負右正”，則x0是極小值點.

3.求函數f(x)在[a，b]上的最值

若函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)上可導，則求函數f(x)在(a，b)上的最值的步驟：

①求函數f(x)在區間[a，b]上的極值；

②將求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區間[a，b]上的最大值與最小值.

利用導數研究函數的最值時應注意：①函數的最值是對整個定義域而言，是在整個取值范圍內討論問題，是一個整體性的概念；②函數在其定義域區間上的最大值、最小值最多各有一個.

4.由函數的極值或最值求參數取值范圍