基于數學核心素養對高考真題的深度探究
——以2022年新高考Ⅱ卷第22題為例

甘肅 劉延明

高考命題往往設置綜合性的問題和較為復雜的情境，重視基于數學核心素養的關鍵能力的考查，而以函數、導數與數列不等式結合為載體的綜合問題則是高考命題考查的重點和熱點，往往處于解答題壓軸題的位置.2022年新高考Ⅱ卷的第22題就是基于數學核心素養與關鍵能力考查的一道綜合試題，該試題將函數、導數、數列與不等式等知識有機結合，考查學生靈活應用函數、不等式思想解決復雜問題的能力，對抽象概括能力和推理論證能力有較高的要求，無論是在數學知識層面、數學能力層面，還是在創新思維層面都很好地體現了基于數學核心素養與數學關鍵能力的考查.為此，本文以該試題為母題，從解法和變式等不同視角進行深度探究.

一、母題呈現

【例】(2022·新高考Ⅱ卷·22)已知函數f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

二、母題分析

該母題是以高考中高頻次出現的基本函數“ex”為背景的導數應用試題，其中第(3)問是數列不等式的證明問題，解答這一小問的基本思路是：逆向“執果”分析，尋求與目標不等式等價的不等式→構造函數，由導數知識證明或推理得到函數的基礎不等式結論→將結論通過賦值轉換為數列的不等關系→運用數列中諸如裂項、累加等方法或結合“放縮法”的應用→數列不等式得以證明.

三、母題解答

(1)當a=1時，f(x)=xex-ex，所以f′(x)=(x+1)ex-ex=xex.

所以當x≥0時，f′(x)≥0；當x<0時，f′(x)<0，

故f(x)在[0，+∞)上單調遞增，在(-∞，0)上單調遞減.

(2)解法1:令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1(x>0)，

則由f(x)<-1，得g(x)0恒成立.

又g′(x)=eax+axeax-ex，所以g′(0)=0.

令h(x)=g′(x)=eax+axeax-ex，

則h′(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex，h′(0)=2a-1.

點評：解法1直接轉化，構造函數，借助導數定義在分析和推理論證的基礎上求解，落實了數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

解法2：由題意可知f′(x)=(1+ax)eax-ex，f′(0)=0.

令g(x)=f′(x)=(1+ax)eax-ex，則g′(x)=(2a+a2x)eax-ex，g′(0)=2a-1.

所以g(x) 在(0，x0)上單調遞增，又g(0)=0，所以g(x)>0在(0，x0)上恒成立，

則h(0)=-1，

點評：解法2首先對函數求導，然后構造函數，借助“二階”導數在分析和推理論證的基礎上求解，落實了數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

(3)證法1(分析法)：令Sn=ln(n+1)，

故不等式得證.

點評：證法1首先將所證數列不等式逆向分析、轉化，發現其結構形式、特點，然后換元、構造函數，利用導數研究函數的單調性證明不等式結論，從而利用該不等式結論證得不等式.

所以τ(x)在(0，+∞)上單調遞增，所以當x>0時，τ(x)>τ(0)=0.

點評：證法3直接利用對數均值不等式來證明，過程簡潔，十分巧妙.這里需要說明的是，在考試中對數均值不等式不可以直接應用，需要先進行證明.

四、考查模式

導數及其應用是高考考查的核心內容，其解答題常處于高考壓軸題的位置.在導數及其應用解答題中融入數列不等式證明問題，不僅體現了高考命題知識間的交匯、綜合，也使得“導數題”起到了高考“把關定向”的作用.在高考中，數列不等式的證明往往設置在導數及其應用解答題的最后一問考查，先由導數知識證明或推理得到函數的基礎不等式結論，然后將結論通過賦值轉換為數列的不等關系，再運用數列中如裂項、求和、累加等知識或方法并結合“放縮法”的應用，使得數列不等式得以證明.

五、母題變式

若只改變母題的題設中的函數形式，數列不等式不變，可有：

(1)解關于x的不等式f(x)>0；

所以f(x)在(0，+∞)上單調遞減.

又f(1)=0，所以f(x)>0的解集為(0，1).

當n≥2且n∈N*時，由(1)可知，

然后賦值、累加證得不等式，下同母題第(3)問證法2.

若母題的題設中的函數形式不變，改變第(3)問所證明的數列不等式，可有：

【變式2】已知函數f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

解析：(1)，(2)見母題的解析.

若母題的題設中的函數形式，深度改變第(3)問所證明的數列不等式，可有：

【變式3】已知函數f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

解析：第(1)，(2)問解析見母題的解析.

(3)因為Sn=2n-1，

所以當n=1時，a1=S1=21-1=1，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，當n=1時，等式成立.

故數列{an}的通項公式為an=2n-1.

所以bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2(n-1+1)=2n，

證法1：從不等式左邊式子是分式連乘積的形式等結構特點，聯想到運用累乘法，首先研究、變形“通項”，然后運用累乘法來證明.

上述各式左、右兩邊分別相乘，得

點評：證法1由不等式左邊式子的特點，聯想累乘法，通過“放縮”變形左邊連乘積的分式的“通項”，運用累乘法證得不等式.

所以cn+1>cn，所以數列{cn}是單調遞增數列.

所以cn>c1>1，

點評：證法2首先通過構造數列，推證數列的單調性，利用數列的單調性證明不等式成立.在推證不等式的過程中運用了“分母擴大，分式縮小”的放縮技巧，值得重視.

證法3：由于所證不等式是與正整數n有關的數列不等式，所以考慮運用數學歸納法來證明.

則當n=k+1(k∈N*)時，

所以當n=k+1時，不等式也成立.

點評：證法3運用數學歸納法證明不等式，思路清晰、自然，但有兩點值得注意：一是由n=k時不等式成立，證明n=k+1時不等式也成立，務必要用歸納假設；二是在n=k+1在證明不等式時，用到配方、分離、放縮等代數式的變形技巧.

六、方法規律

通過上面母題和變式題的解析可以看出，解答函數、導數與數列不等式結合的綜合問題的關鍵是數列不等式的證明，在證明數列不等式的過程中往往需要用到 “放縮法”.“放縮法”靈活多變、技巧性強，如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是“放縮法”的精髓和關鍵所在.在解題中要多觀察、分析、思考和體會，深入剖析問題特征，抓住規律進行恰當地放縮，從而順利完成數列不等式的證明.在數列不等式證明時，用到的“放縮法”主要有：

1.裂項放縮證明數列不等式

2.分式放縮證明數列不等式

3.添舍項放縮證明不等式

根據數列不等式的特點，將數列不等式的一邊添項或舍項進行放縮以達到解決問題的目的.如變式2.許多時候是多種方法共用，比如測試題或經過多次放縮后才能達到證明不等式的目的.

七、教學啟示