基于“基礎性”考查要求對高考真題的分析研究
——以2022年新高考Ⅰ卷第17題數列解答題為例

湖南 張新民

高考命題注重對“基礎性”的考查要求，解答題的前幾道試題往往設置一些“基礎性”試題，旨在考查學生的基礎知識、基本能力和基本素養，包括全面合理的知識結構、扎實靈活的能力.這些試題看似素材質樸、背景平淡，但往往平中蘊奇，有著豐富的思想方法內涵，反映出數學本質性的東西，多角度進行分析、探究，對提高數學思維能力大有裨益.2022年新高考Ⅰ卷第17題的數列解答題就是基于“基礎性”考查要求的一道優質試題，本篇以該試題為母題，從母題變式、推廣及知識聯系等方面進行分析研究.

一、母題呈現

(1)求{an}的通項公式；

二、母題分析

試題以基礎知識、基本方法、基本數學思想的面目對數列解答題進行考查，試題設置兩小問：第(1)問利用題設所給等差數列的條件以及數列“和”與“項”的關系轉化為遞推式，運用累乘法或構造常數列求出數列的通項公式，這一小問是該道試題的重點部分，需要運用分類討論和化歸與轉化等數學思想及累乘法，其中還考查思維的全面性；第(2)問依據第(1)問求得的通項公式，進行裂項求和，然后“放縮”證得結論.試題雖然是試卷中首道解答題，但對數學抽象、邏輯推理、數學建模及數學運算等數學核心素養要求是比較高的.透過試題表象，可以看出命題者對數列解答題命題的深層次思考.

三、母題解答

解法1(累乘法+裂項相消法)：

整理得(n-1)an=(n+1)an-1，

顯然對于n=1也成立，

點評：對于第(1)問，利用數列“和”與“項”的關系轉化為遞推式后，運用累乘法求得an后，需要注意的是不要忽視對于n=1是否成立的驗證.

解法2(構造常數列+裂項相消法):

(2)同解法1.

點評：對于第(1)問，首先利用數列“和”與“項”的關系轉化為遞推式，變形后，通過構造常數列求出數列的通項公式.

四、考查模式

數列是高中數學的核心知識，也是新高考卷解答題中必考的基本內容之一.新高考Ⅰ卷已啟用三年，這三年對數列解答題的考查均以考查基礎知識、基本方法、基本數學思想的面目出現，試題處于17或18題的位置.試題設置兩問：第(1)問求數列的通項公式，主要考查基本量思想的應用、數列有關性質或數列遞推關系；第(2)問設置數列求和或與數列通項、前n項和等有關的數列不等式證明、求參數的取值范圍等問題.其中“數列求和”是命題的“主旋律”，方法有直接利用求和公式、裂項相消、錯位相減、分組求和或分段求和等，這是數列解答題的重點考查方向.下表是2020～2022年新高考Ⅰ卷對數列解答題的考查一覽，新高考Ⅰ卷對數列解答題的考查特點由此可窺見一斑.

表 2020～2022年新高考Ⅰ卷數列解答題考查一覽

筆者預測2023年新高考Ⅰ卷對數列解答題的考查風格總體上會繼續沿用現有模式.從命題形式上看，近年來新高考Ⅰ卷刻意避開“結構不良”的命題形式，盡管在近幾年各地的新高考模擬卷中數列解答題的結構不良試題出現的頻率很高，命題較多，但新高考Ⅰ卷對以結構不良題型出現的數列解答題還未曾涉及，而數列卻是作為命制結構不良試題最佳的素材和載體，因而預測2023年新高考Ⅰ卷命制數列結構不良試題的可能性很大，希望新高考Ⅰ卷地區的教師在指導復習備考時予以關注.

五、母題變式

(1)求{an}的通項公式；

和母題一樣，對于第(1)問，也是用兩種方法分別來解答.

整理得(n-1)an=(n+k-2)an-1，

因為a1=1，且與組合數公式相聯系，

所以當k≥3時，

等式左、右兩邊分母同乘以(n+1)(n+2)(n+3)×…×(n+k-2)，

(2)同解法1.

點評：變式1將母題延伸、推廣到一般情形，運用數列知識并結合計數原理中的排列數、組合數及其變形推導、證明結論，抽象程度高，邏輯思維能力強，需要有較強的運算求解能力，很好地考查了數學抽象、邏輯推理、數學建模及數學運算等數學核心素養.

考慮到母題的第(2)問是運用裂項相消法求和的，這里在直接給出數列{an}的遞推關系的條件下，(1)利用累乘法求通項；(2)考查利用錯位相減法求和，則有：

(1)求{an}的通項公式；

(2)證明：a1+a2+a3+…+an≤-2.

因為a1=-2，所以得an=-n·2n(n≥2，n∈N*).

又a1=-2符合上式，故數列{an}的通項公式為an=-n·2n.

(2)設數列{an}的前n項和為Sn，即Sn=a1+a2+a3+…+an.

由(1)知Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n)，

兩式相減，得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=-2+(1-n)·2n+1≤-2.

故a1+a2+a3+…+an≤-2得證.

考慮到裂項相消法求和的多樣性，這里將母題第(2)問的裂項相消法求和變為“指數型”，則有：

【變式3】已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1，n∈N*.

(1)證明：數列{an+1}是等比數列；

【分析】(1)首先利用Sn與an的關系，得到an+1與an的遞推關系，配湊后證得結論.

【解析】(1)因為Sn+1=Sn+2an+1，

所以Sn+1-Sn=2an+1，

所以an+1=2an+1，

所以an+1+1=2(an+1)，

又a1=1，所以a1+1=2，

故數列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數列.

(2)由(1)得an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，

故Tn<1得證.

考慮到命題形式的多樣性，這里設置一個結構不良試題，則有：

【變式4】已知數列{an}與正項等比數列{bn}滿足an=log2bn(n∈N*)，且________.

(1)求{an}與{bn}的通項公式；

(2)設Cn=an·bn，求數列{Cn}的前n項和Sn.

從①b3=16，b6=128；②b1=4，b5-b1b3=0這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【分析】本題是以結構不良試題形式命制的試題，首先從題中所給的兩個條件中任選一個，補充到題目中，然后按結構良好試題的模式去作答.

(1)利用已知條件和等比數列通項公式求出數列{bn}的通項公式，再利用已知中兩數列關系求出數列{an}的通項公式.

(2)將{an}與{bn}的通項公式代入Cn=an·bn，然后運用乘公比錯位相減法求出數列{Cn}的前n項和Sn.

【解析】若選①，

(1)因為數列{bn}是正項等比數列，所以b6=b3q3.

所以bn=b1qn-1=4·2n-1=2n+1.

所以an=log2bn=n+1.

故數列{an}的通項公式為an=n+1，{bn}的通項公式為bn=2n+1.

(2)Cn=an·bn=(n+1)·2n+1，

所以Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1，

2Sn=2·23+3·24+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2.

故Sn=n·2n+2.

若選②，

(1)由b5-b1b3=0，得b5=b1b3.

因為數列{bn}是正項等比數列，設{bn}的公比為q,所以b1q4=b1·b1q2.

因為b1=4，所以q2=4，又bn>0，所以q=2.

所以bn=b1qn-1=4·2n-1=2n+1.

所以an=log2bn=n+1.

故數列{an}的通項公式為an=n+1，{bn}的通項公式為bn=2n+1.

(2)同選①的解法.

六、方法規律

1.求數列的通項公式是高考考查的重點，其中累加、累乘法是求數列通項的基本方法.

(1)累加法

將遞推公式變形為an+1-an=c(c為常數)或an+1-an=f(n)，分別令n=1，2，3，…，n-1，n，再將這n個式子相加得an+1-a1的表達式，從而求得數列{an}的通項公式.

(2)累乘法

2.常考的數列求和的主要方法

(1)裂項相消法求和

將數列的各項拆分成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項和變成首尾若干少數項之和.裂項相消法求和用得比較多，一般是把通項公式分解為兩式子的差，再相加抵消，但是在抵消時，有的是依次抵消，有的是間隔項抵消，特別是間隔項抵消時要注意規律性.另外，要注意的是裂項相消后剩余的正項和負項的項數一樣多.

(2)錯位相減法求和

若數列{cn}的通項公式為cn=anbn，其中{an}，{bn}中一個是等差數列，另一個是等比數列，求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和，這種方法就是錯位相減法.

(3)分組求和

數列的通項是若干項的代數和，要將其分成幾部分來求解.

(4)分段求和

對于以分段形式給出的數列求和問題，先研究各段的規律，然后分段求和后再合并.

七、教學啟示