順應“三新”研究趨勢 探索變式教學模式
——“數學經典試題及變式”征集活動解析幾何母題組精選

一、求圓錐曲線的方程

吉林 韓兆峰

【試題分析】考查知識：本題主要考查雙曲線的標準方程及離心率，解題關鍵在于理解雙曲線的定義及標準方程中相關參數之間的等量關系與幾何意義.

解題方法：定義法，待定系數法，運算求解能力及數形結合、化歸與轉化思想.

綜合拓展：引伸到點、直線、圓與圓錐曲線的位置關系，研究圓錐曲線的方程問題.

【答案】B

吉林 韓兆峰

【變式1】(知識變式)轉化為雙曲線的一部分

如圖,P是圓C：(x+3)2+y2=25上任意一點，定點A(3,0)，線段AP的垂直平分線l和直線CP相交于點Q，當點P在圓C上運動時，點Q的軌跡方程是______.

吉林 韓兆峰

【變式2】(方法變式)變“雙曲線”背景為“橢圓”背景,利用弦長處理參數問題

甘肅 彭長軍

【變式3】(方法變式)改變確定雙曲線的條件

【答案】D

吉林 韓兆峰

【變式4】(綜合變式)把離心率轉化為漸近線與圓的關系

經過點(2,1)，且漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切的雙曲線的標準方程為( )

【答案】A

吉林 韓兆峰

【變式5】(綜合變式)從向量的角度描述動點

【答案】D

甘肅 彭長軍

【變式6】(綜合變式)雙曲線中融入圓

【答案】A

湖北 馮愛龍

【母題2】下列命題為真命題的序號是________．

(4)已知點C的坐標為(2,2).過點C的直線CA與x軸交于點A，過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B，設點M是線段AB的中點，則點M的軌跡方程為x+y-2=0.

【試題分析】考查知識：求動點的軌跡的幾種常用方法，直線、圓、橢圓等曲線的定義與標準方程.

解題方法：求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”.所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數法求出方程中的k,a2，b2，p等參數的值．

綜合拓展：從代數與幾何兩方面認識圓錐曲線的定義與性質.

【答案】(1),(2),(4)

河北 趙偉娜

【變式1】(知識變式)給出方程看曲線

(2020·新高考Ⅰ卷·9)已知曲線C：mx2+ny2=1.則( )

A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

D．若m=0，n>0，則C是兩條直線

【答案】ACD

河北 趙偉娜

【變式2】(知識變式)變換條件，利用不同方法求圓錐曲線的方程

在平面直角坐標系xOy中：

在①②③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

湖北 馮愛龍

【變式3】(方法變式)向量作為數形結合的典型工具，將幾何條件數量化

已知點P(2,2)，圓C:x2+y2-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．求動點M的軌跡方程.

【答案】(x-1)2+(y-3)2=2

湖北 馮愛龍

【變式4】(綜合變式)利用圓的對稱性、平行線轉化得到角的等量關系，進而轉化為點的坐標，根據面積關系轉化為線段關系，進而轉化|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|為定值

設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程.

湖北 馮愛龍

【變式5】(綜合變式)拋物線的定義與焦半徑公式，點的坐標與點到直線的距離的轉化，用向量的數量積知識轉化垂直條件

設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為( )

A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8x

C．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

【答案】C

甘肅 彭長軍

【母題3】(2022·全國甲卷理·20(1))設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)，過F的直線交C于M,N兩點，當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3,求C的方程.

【試題分析】考查知識：拋物線的定義、性質及標準方程.

解題方法：化歸與轉化思想的應用.

綜合拓展：圍繞拋物線定義的綜合問題.

【答案】y2=4x

甘肅 彭長軍

【變式1】(知識變式)將垂直變為長度相等

設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)，過F的直線交C于M,N兩點，若|MF|=|MD|=3，求C的方程.

甘肅 彭長軍

【變式2】(知識變式)拋物線中嵌入向量數量積

甘肅 彭長軍

【變式3】(方法變式)將垂直變為不垂直

甘肅 彭長軍

【變式4】(方法變式)拋物線中嵌入最值

設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，過F的直線交C于M,N兩點，當原點O到直線MN的距離最大時，|MF|=3,求C的方程.

【答案】y2=6x

甘肅 彭長軍

【變式5】(綜合變式)改變題設條件

【答案】y2=3x

二、圓錐曲線離心率的取值范圍問題

甘肅 彭長軍

【試題分析】考查知識：橢圓的標準方程與性質，直線與圓的位置關系及簡單幾何性質，點到直線的距離公式以及點與曲線的位置關系等.

解題方法：推理計算法.

綜合拓展：基于上述知識的綜合問題.

甘肅 彭長軍

【變式1】(知識變式)把橢圓換成雙曲線

甘肅 彭長軍

【變式2】(知識變式)把圓換成拋物線

甘肅 彭長軍

【變式3】(知識變式)把橢圓換成雙曲線，同時把圓換成拋物線

甘肅 彭長軍

河北 趙偉娜

【試題分析】考查知識：橢圓與雙曲線的定義及其簡單幾何性質.

解題方法：數形結合、方程與不等式思想的應用.

綜合拓展：基于求離心率的取值范圍問題.

河北 趙偉娜

【變式1】(知識變式)焦點三角形頂角發生變化，由特殊角變為非特殊角

河北 趙偉娜

【變式2】(綜合變式)變換角度關系為線段長度關系，利用二次函數求取值范圍

(2022·高三模擬·8)已知橢圓C1和雙曲線C2有公共的焦點F1，F2，C1和C2在第一象限相交于點P，且|F1F2|=2|PF2|，設C1與C2的離心率分別為e1，e2，則e2-e1的取值范圍是( )

【答案】D

甘肅 彭長軍

【變式3】(綜合變式)將范圍問題變為最值問題

【答案】C

陜西 韓紅軍

A.(2，+∞) B．(1，2)

【試題分析】考查知識：雙曲線的離心率，雙曲線的定義及其性質.

解題方法：利用正弦定理的邊角互化以及雙曲線的定義解不等式，考查數形結合思想.

綜合拓展：基于雙曲線離心率的綜合問題.

【答案】D

陜西 韓紅軍

【答案】B

陜西 韓紅軍

陜西 韓紅軍

【答案】C

陜西 韓紅軍

【答案】C

廣東 龍宇

【試題分析】考查知識：橢圓的定義，直線斜率的意義，直線與橢圓的位置關系，軸對稱的性質.

解題方法：利用基本量法獲得橢圓三個參數間的關系從而獲得離心率，根據橢圓的第三定義求解，利用伸縮變換將橢圓化為圓，利用圓的性質求解，再結合伸縮變換的性質確定橢圓的離心率.

綜合拓展：通過解題培養學生的推理論證能力，數形結合等數學思想，滲透邏輯推理以及直觀想象等數學核心素養.

【答案】A

山西 李小麗

【變式1】(知識變式)將“焦點在x軸上的橢圓”變為“焦點在y軸上的橢圓”

【答案】A

山西 李小麗

【變式2】(知識變式)將“兩頂點”變為“關于原點對稱的兩點”

江蘇 沈雪明

【變式3】(知識變式)從橢圓遷移到雙曲線

【答案】D

遼寧 蔡明天

【變式4】(知識變式)關于x,y軸對稱互變

四川 王昌林

【變式5】(方法變式)通過幾何分析，求出或用未知數表示出a，c的值，求出離心率

【答案】A

江蘇 沈雪明

【變式6】(方法變式)由原題過頂點的兩直線斜率乘積為定值，轉化為過焦點的兩直線的斜率為定值

山西 李小麗

【變式7】(綜合變式)將“母題中橢圓上的點A，P，Q”均變為“橢圓上一般的三點”