函數與導數零點問題中的易錯分析與教學探討

湖北 周 威

導數綜合問題中的零點個數問題在高考中常以解答壓軸題的形式出現，教師在關注不同層次考生得分的同時，還要關注這類問題中如何體現對學生分類討論思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想等數學思想的考查，包括學生應用這些數學思想時的思維錯亂或脫節情況.本文以2022屆高三一次大型跨區域聯考的導數綜合題為例，分析解答過程中學生容易出現的4種典型易錯類型，并提出相應的解決策略，提高不同層次考生在導數綜合問題中的得分率.

一、試題呈現

(1)證明：f(x)在(1，+∞)上有且僅有一個零點；

(2)假設常數λ>1，且滿足f(λ)=0，試討論g(x)的零點個數.

(易錯類型1：不能恰當選擇自變量的值來確定函數值的正負，從而確定不了零點的取值范圍)

①當a<0時，

(易錯類型2：不會對參數進行恰當界點的分類)

g″(x)>0，g′(x)在(0,+∞)上單調遞增.因為g′(1)=-2a>0，g′(e2a)=2a(1-e2a)<0,則存在x0∈(e2a,1)使得g′(x0)=lnx0-2ax0=0，即lnx0=2ax0,所以當x∈(0,x0)時，g′(x)<0；當x∈(x0,+∞)時，g′(x)>0,即g(x)在(0,x0)上單調遞減，在(x0,+∞)上單調遞增；

(易錯類型3：不會自設“隱零點”進行討論)

②當a=0時，

g(x)=xlnx-x+1，g′(x)=lnx，令g′(x)=0，得x=1,可得g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，g(x)min=g(1)=0，只有一個零點.

③當a>0時，

(易錯類型3：不會自設“隱零點”進行討論)

所以g(x)在(0,m)上單調遞減，在(m,n)上單調遞增，在(n,+∞)上單調遞減.

(易錯類型4：不能將參數用已知條件表述出來)

(易錯類型2：不會對g(n)與界點“0”進行分類討論)

解法二(分離參數法)：

令g(x)=0，即xlnx-ax2-x+1=0，從而有a=

(易錯類型4：不能將參數用已知條件表述出來)

結合(1)可知，φ(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，λ)上單調遞增，在(λ，+∞)上單調遞減.

(易錯類型3：不會根據“隱零點”進行單調性討論)

當a<0時，g(x)沒有零點；

(易錯類型2：不會對參數進行恰當界點的分類)

二、試題數據分析與錯因分析

1.考試數據分析

本題屬于跨地市區域聯考，不區分物理方向和歷史方向的考查結果為均分1.6分，屬于難題.具體數據如下表：

參考人數小題小題分值平均分157752第(1)問31.4第(2)問90.2

難度系數區分度滿分人數零分人數0.50.723095521330.020.1282136843

2.錯因分析

三、易錯練習

1.相同命題立意下含“單參”變式練習

【例2】已知函數g(x)=xlnx-ax2-1(a≥0).

(1)當a=0時，討論g(x)的單調性；

(2)當g(x)恰有兩個零點時，求a的取值范圍.

(2)解法一(分類討論法):

因為g(m)=mlnm-am2-1=am2-m-1<0，

當g(n)>0時，此時n>4.32且0

當g(n)<0時，此時n<4.32且a>0.29，g(m)<0且當x→0時,g(x)<0，g(x)沒有零點.

綜上所述，當0

解法二(分離參數法):

令φ(x)=xlnx-x-2，則φ′(x)=lnx，令φ′(x)=0，則x=1，所以φ(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.又φ(1)<0,φ(e)<0,φ(e2)=e2-2>0，當x→0時，φ(x)<0,故φ(x)在(e,e2)上有唯一的零點x0.根據所給數據4.32×(ln4.32-1)≈2，從而x0≈4.32.

所以當x∈(0,4.32)時，h′(x)>0，即h(x)在(0,4.32)上單調遞增；

當x∈(4.32，+∞)時，h′(x)<0，即h(x)在(4.32，+∞)上單調遞減.

且當x→+∞時，h(x)→0，且當x→0時，h(x)→-∞，

所以當0

【評注】命題意圖雖然類似，但函數形式發生了變化，題中也沒有將“隱零點”直接給出，而是給出了近似計算參考數據，要求學生對a的臨界值進行近似值估算，并根據近似值進行分類討論.高考導數綜合題中出現近似計算的情況也并不少見，教學中可以進行嘗試.對于含“單參”的導數綜合題，依然需要引導學生進行“參數分離”的嘗試，特別是在加入了近似計算的情況下，“感覺會做”與“算出來”的效果差距很大！

2.類似含“雙參”變式練習

【例3】(2021·新高考Ⅱ卷·22改編)已知函數f(x)=(x-1)ex-ax2+b.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若a>0,討論f(x)的零點個數.

【解析】(1)因為f′(x)=x(ex-2a)，令f′(x)=0，x=0或x=ln2a，所以

當a≤0時，f(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增；

當b

當b=a(ln22a-2ln2a+2)時，f(ln2a)=0，函數f(x)有兩個零點；

當a(ln22a-2ln2a+2)0，f(0)<0，函數f(x)有三個零點；

當b=1時，f(0)=0，函數f(x)有兩個零點；

當b>1時，f(0)>0，函數f(x)有一個零點．

當b>a(ln22a-2ln2a+2)時，f(ln2a)>0，函數f(x)有一個零點；

當b=a(ln22a-2ln2a+2)時，f(ln2a)=0，函數f(x)有兩個零點；

當10，f(ln2a)<0，函數f(x)有三個零點；

當b=1時，f(0)=0，函數f(x)有兩個零點；

當b<1時，f(0)<0，函數f(x)有一個零點．

【評注】當遇到含有“雙參”的函數零點個數問題，分離參數、數形結合或者“對數單身法”就可能會失去效能，這時分類討論是解決問題的首選基本技能，特別是其中某一大類又要分成很多小類，那么如何做到有效、全面和不重復分類，需要教師和學生在“討論”的做題過程中去深刻領悟.

四、教學復習策略

對于導數綜合題的零點個數問題，由于涉及多類問題特征(包括單調性、特殊位置的函數值符號、隱零點的探索、參數的分類討論等)，需要學生對多種基本方法、基本思想、基本技能進行整合，從而解題難度相對較大，再加之考試時間緊張，絕大部分學生在導數綜合題的得分為0，但是如果把握好策略性知識復習的有效性，提高不同層次考生的得分率，效果也應該是各專題中最明顯的！

1.做細解題過程的易錯類型歸類

導數在判斷函數零點個數的作用主要體現在通過極值的正負與函數單調性判斷函數圖象走勢，從而判斷零點個數.就導數綜合題中零點問題的易錯類型，一般可參照例1解題過程歸為4類，對不同題型、不同解法的解題過程，可對照這4個易錯類型從思維的角度進行歸類，建立思維痛點和易錯點之間的聯系，才能提高解題效率.

2.加強分類討論思維的步驟訓練

對于導數綜合題，分類討論才算得上是真正的通性通法.很多同學習慣了規避分類討論的解題套路，在真正遇到需要思維深度的例題(比如例3)時，依然束手無策,在解題過程中要形成如下分類討論的思維步驟：對哪個參數分類?在什么情況下分類討論?分類的界點怎么確定？分類是否全面？通過具體實例、設問層層遞進，引導學生經歷、領悟分類討論思維步驟的過程，特別是在思維痛點處、易錯點處適當搭建腳手架，讓學生逐步逼近分類討論思想的本質.

3.落實一題多解與變式遷移訓練