探尋2022年新高考Ⅰ卷第8題的“前世今生”

福建 湯小梅

2022年新高考Ⅰ卷的數學試題對能力的要求比往年高，“題海戰術”的功效明顯下降．這就需要我們面對高考數學試題時，學會多角度欣賞，從中發現試題的解決規律．高考對立體幾何取值范圍問題的考查也不例外，通過背景包裝、更換幾何體、變條件、變結論等多種方式對教材的例題、習題、高考真題進行重新加工，看似平常，實則有很多值得品味的東西．現以2022年新高考Ⅰ卷第8題為例，從考題點評、解法探究、解法點評、追根溯源、同源變式等角度來欣賞它，輕松突破求立體幾何取值范圍問題的思維瓶頸．

1.試題呈現

2.考題點評

這道立體幾何試題是單選題的壓軸題，屬于課程學習情境，其文字表述流暢，考查內容豐富，但題目表述簡潔美觀，令人賞心悅目．借用正四棱錐的外接球為背景，表面考查的是空間幾何體的體積取值范圍問題，實際上考查考生利用導數或三元均值不等式解決正四棱錐體積的取值范圍問題，考查學生化歸與轉化思想、空間想象與運算求解能力，以及直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學核心素養，意在考查理性思維、數學探索、數學應用．在近六年新課標試卷中，利用導數解決最優化立體幾何問題在2017年全國卷Ⅰ理科第16題首次考查，這次是第二次考查．此類考題彰顯了規避特殊技巧，凸現數學本質，強調通性通法的深入理解和綜合運用，促進學生將知識和方法內化為自身的知識結構．

3.解法探究

圖1

所以正四棱錐的體積

所以正四棱錐的體積

【解法3】如圖1，設該球的半徑為R，正四棱錐的側棱與高的所成角為θ，

【另解】也可以利用余弦定理，得

所以l=6cosθ，

所以正四棱錐的體積

=144(sinθcos2θ)2，

則y=sinθcos2θ=t(1-t2)=t-t3，

【解法4】如圖1，設該球的半徑為R，正四棱錐的側棱與高的所成角為θ，

所以l=6cosθ，故正四棱錐的體積

=72×2sin2θcos2θcos2θ

【解法5】如圖1，底面正方形ABCD的對角線的交點為E，球的球心為O，設該球的半徑為R，∠EOC=α，

所以正四棱錐的體積

=18sin2α(1+cosα)

=18(1-cosα)(1+cosα)2

=9(2-2cosα)(1+cosα)2

4.解法點評

在上述的五種解法中，解法1用“導數法求取值范圍”是常規解法，為大多數同學所選．通過作出草圖，觀察圖形特征，利用球的體積公式，即可求出球的半徑．設正四棱錐的底邊長a和高h，利用球心、正四棱錐底面的外接圓的圓心、正四棱錐的頂點所構成的直角三角形，再利用勾股定理，得a，h與l的關系式，從而找到四棱錐的體積關于l的函數，借用“導數”的工具性，通過求導，判斷函數的單調性，求出四棱錐體積的取值范圍．解法2用“均值不等式法求最值”，對解法1中所求的四棱錐的體積關于l的關系式，借用“三個正數的算術幾何平均不等式”(也稱基本不等式的推論)．解法3用“換元法求范圍”，即設正四棱錐的側棱與高的所成角為θ，求出四棱錐的體積關于θ的函數，并對三角函數進行換元，再借用導數，得四棱錐體積的取值范圍．解法4用“均值不等式法求最值”，對解法3中所求的四棱錐的體積關于θ的關系式，借用“三個正數的算術幾何平均不等式”，即可得其最值.解法5用“均值不等式法求最值”，即設∠EOC=α，此種角的設法，相比解法4的角的設法求出的四棱錐的體積更為簡單，求出四棱錐的體積關于α的函數，借用“三個正數的算術幾何平均不等式”，即可得其最值，展現了基本不等式的推論在求最值中的威力和魅力，充分顯示了解法的靈活性，實屬巧思妙解，干凈利落，意猶未盡．

5.追根溯源

本題來源于2017人教A版必修第二冊第169頁復習參考題8第4題：如圖，一塊邊長為10 cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分．將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，把容器的容積V(單位：cm3)表示為x(單位：cm)的函數．

2022年新高考Ⅰ卷第8題仍用本題的正四棱錐的背景，以及把四棱錐的體積表示為某個變量的函數，添加了四棱錐的外接球的背景，在原來的難度上，加大難度，考查了導數最優化問題或三個正數的算術幾何平均不等式的應用．

在強調命題改革的今天，通過改編、創新等手段來賦予課本例題、習題新的生命，這已成為高考命題的一種新走向．近幾年高考試題的命制越來越新穎多變，尤其對立體幾何的考查，形式多樣，但萬變不離其宗，大多數高考題都能在課本中找到其原型．所以我們在高三復習備考的過程中要注意對課本例題、習題的訓練，把握其實質、掌握其規律、規范其步驟，做到“胸中有本”．

6.同源變式

俗話說“鐵打的營盤，流水的兵”．高考中不變的是知識，變化的是情境的呈現形式、問題的結構方式．這就要求我們面對數學題能突破常規，陳題巧改編、舊瓶裝新酒．

【變式與思考1】為了加強考查學生破解新定義問題的能力，并會利用“三個正數的算術幾何平均不等式”解題，故把此高考題中的背景給予精雕細琢，變為新定義“n元均值不等式”，把求正四棱錐體積的“取值范圍”問題變為求正四棱錐體積的“最大值”問題，其他不變，便可得到如下立意新穎，構思獨特的好題：

【簡析】解析過程同高考題的解法2、解法4、解法5，應選C．

【變式與思考2】以中華優秀傳統文化為試題情境材料的試題，一直是高考的熱點，讓學生領略中華民族的智慧和數學研究成果，進一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國主義情感.為了包裝數學文化的背景，引進《九章算術》中的方錐概念，其他不變，便可得到如下平淡中見新奇的好題．

【變式與思考3】把條件中的“正四棱錐的頂點在球面上”變為“四棱錐的頂點在球心”，其他條件不變，結論變為“求該四棱錐體積的最大值”，并把單選題變為填空題，即可得到如下題意簡潔清晰的好題．

變式3：已知四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，若該球的體積為36π，則該四棱錐體積的最大值為________.

【變式與思考4】仍用此高考題的錐體的外接球為背景，只是把條件與結論中的“正四棱錐”變為“正六棱錐”，即可得如下“新口味”的好題．

變式4：已知正六棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的體積為36π，則該正六棱錐體積的最大值為( )

令t=sinθ,t∈[0,1)，