淺談解題教學(xué)的“過(guò)程”教學(xué)

湖南 歐陽(yáng)才學(xué)

“解題教學(xué)”，就是通過(guò)典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)，去探究數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的基本規(guī)律，使學(xué)生會(huì)像數(shù)學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)地思維”.“解題教學(xué)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)“解題教學(xué)”.通過(guò)“解題教學(xué)”，不僅可以使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，而且有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

數(shù)學(xué)“解題教學(xué)”不應(yīng)是“結(jié)果”的教學(xué)，而應(yīng)是“過(guò)程”的教學(xué)，在“解題教學(xué)”過(guò)程中，教師不能只告訴學(xué)生每一步如何做，而是要把為什么這么做,把所思、所想的“思路歷程”展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷一次探索、解決問(wèn)題的過(guò)程，教會(huì)學(xué)生如何通過(guò)自己的分析獲得解題思路.

那么，如何體現(xiàn)解題教學(xué)的“過(guò)程”呢？本文通過(guò)以下兩個(gè)案例來(lái)說(shuō)明.

【案例1】如圖1，已知在圓錐SO中，底面半徑r=1，母線(xiàn)長(zhǎng)l=4，M為母線(xiàn)SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM=x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.

(1)求繩子的最短長(zhǎng)度的平方f(x)；

(2)求繩子的最短長(zhǎng)度的最小值和最大值.

答案：(1)f(x)=x2+16(0≤x≤4);(2)最小值為16，最大值為32.

思路探索:

①題目給出的是已知底面半徑、母線(xiàn)長(zhǎng)的圓錐，需要求的是圓錐側(cè)面上兩點(diǎn)A,M間所拉繩子的最短長(zhǎng)度(兩點(diǎn)間的最短距離)，如何來(lái)求最短長(zhǎng)度？在圓錐側(cè)面上“繞來(lái)繞去”恐怕很難確定何時(shí)長(zhǎng)度最短.如圖2，沿母線(xiàn)SA將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，“化曲為直”，連接AM即為繩子的最短長(zhǎng)度.

②繩子的最短長(zhǎng)度AM“找到”了，可如何用x表示它的平方呢？

由圖2可以看出，只好“交給”△ASM了.在△ASM中，已經(jīng)知道SA=l=4，SM=x,

那么，現(xiàn)在的關(guān)鍵就是去求側(cè)面展開(kāi)圖——扇形的圓心角∠ASA′了.怎樣求出∠ASA′？這可能是許多同學(xué)“為難”的地方.下面我們一起解決掉這一難點(diǎn).

我們知道，扇形是圓的一部分，圓周角是360°，只要知道扇形占所在圓的“份額”，扇形的圓心角就能夠求出來(lái)了.

這里，扇形所在的圓以圓錐母線(xiàn)的長(zhǎng)SA=l=4為半徑，則扇形所在圓的周長(zhǎng)C=2πl(wèi)=8π；而扇形的弧長(zhǎng)即圓錐底面圓的周長(zhǎng)C′=2πr=2π.

③求出∠ASA′=90°，在△ASM中利用勾股定理就可以用x表示出繩子的最短長(zhǎng)度AM的平方f(x).由于M為母線(xiàn)SA上的一點(diǎn)，且SM=x，所以0≤x≤4.

④根據(jù)f(x)和x的取值范圍，利用函數(shù)知識(shí)求出f(x)的最小值和最大值，進(jìn)而求出繩子的最短長(zhǎng)度的最小值和最大值.

通過(guò)上述的思路探索，請(qǐng)同學(xué)們完整地寫(xiě)出解題步驟.

這樣設(shè)計(jì)本題的講解，能讓學(xué)生感悟知識(shí)生成、發(fā)展與變化的過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

分析：觀(guān)察所求函數(shù)式的特點(diǎn)，先通過(guò)取倒數(shù)拼湊，再用均值不等式求解.

對(duì)于如此的“解題教學(xué)”，我們肯定會(huì)有疑問(wèn)：分析中所說(shuō)的“特點(diǎn)”是什么？“取倒數(shù)拼湊”出什么？“均值不等式”在哪？解題中，怎么想到“x→3x”的呢？不知道學(xué)生聽(tīng)完后會(huì)不會(huì)暈，筆者的感覺(jué)是如此高超的解題技巧令人嘆服，只是不知道這樣的方式在課堂上講解會(huì)不會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏？如果筆者是學(xué)生的話(huà)，多半會(huì)感覺(jué)數(shù)學(xué)難度很高，很難想到這種解法！這樣的講法讓不少學(xué)生遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)，嚇跑學(xué)生是遲早會(huì)發(fā)生的事！

筆者認(rèn)為，“解題教學(xué)”有個(gè)原則：從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)入手，展示教師的“思維過(guò)程”，行使教師的“傳道授業(yè)解惑”職責(zé)，因此，從大多數(shù)學(xué)生的想法也就是平時(shí)所說(shuō)的通性通法來(lái)考慮也許會(huì)更好！

思路探索:

也就是說(shuō)利用我們熟悉的“二次方程根的存在性與分布問(wèn)題”已經(jīng)解決了這個(gè)問(wèn)題：

拓展：一般地，求分母為二次式的分式函數(shù)的最值時(shí)，可以將待求的函數(shù)值先看成常數(shù)，并把分式函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次方程，利用判別式法解決.

探究：我們處理分子、分母都在變的分式函數(shù)，常規(guī)想法是把分子(或分母)變成常數(shù)來(lái)處理，這樣可以把分母改用1+x表示，并上下同除以(1+x)2，其過(guò)程：

分子、分母同時(shí)除以(1+x)2，

小結(jié)：方法2是化歸與轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，其實(shí)質(zhì)依然是二次函數(shù)的最值問(wèn)題.