實二次型的主軸化的一種幾何解釋

趙杰玲，張 鴿

（平頂山技師學院，河南 平頂山 467000）

科學認識活動的過程是：從具體客體出發，經過思維加工，達到抽象客體。然后，從抽象客體的種種概念出發，經過邏輯推理，形成關于抽象客體的理論體系。隨后，利用關于抽象客體的理論體系對具體客體的過去、現在的表現進行解釋，對具體客體的未來的表現進行預測。最后，利用理論體系的解釋和預測功能的現實表現確定抽象客體是否是對具體客體的正確把握。

而現實客體是復雜多變的，主體在研究客體的過程當中，如何把握客體的主要方面，以濃縮的形式反映客體的本質的東西，舍棄非本質的東西，進而獲得一類事物的理論體系，從而將理論體系運用于同類事物上，達到對同類其他事物的認識，往往成為主體研究客體的關鍵。

本論文探討實二次型主軸問題，進而加深對高等代數的理解。

1 實二次型的主軸問題

平面解析幾何告訴我們，在平面直角坐標系下，中心在原點的有心二次曲線，不管坐標軸與其相對位置如何，它的方程為：

而且，我們總可以通過坐標系的旋轉得到一個新的坐標系，在新坐標系內，有心二次曲線的方程具有標準形式（只含變數的平方項）

這叫做把有心二次曲線化到主軸上去。

現在我們問，在直角坐標系下，由方程

表示的有心二次曲線，能否通過坐標系的旋轉化為除常數項外只含變數平方項的形式？

2 旋轉直角坐標系，把實二次型化為主軸形式

所以，在直角坐標系下，由方程（3）表示的曲線能夠通過坐標系繞原點的旋轉化簡為除常數項外只含變數平方項的形式。我們稱它為將（3）化到主軸上去。也就是說，當我們選擇以曲線的焦點所在直線為一坐標軸建立新直角坐標系，新坐標系可以由舊坐標系通過旋轉得到，即它們之間的變換為正交變換。

因為方程的常數項在坐標系繞原點的旋轉變化下不變，所以上述事實也可以用下面的形式描述：

3 結語

本論文通過對平面直角坐標系旋轉變換化二元二次型為主軸形式的討論，探究獲得元實二次型主軸形式存在的認識。在加深對知識理解的過程當中，初步領略了科學認識活動的具體過程。