HPM視角下高中數學概念教學策略

徐軍琴

(甘肅省定西市岷縣第四中學 甘肅 岷縣 748400)

我國現行《普通高中數學課程標準》中明確指出："數學與人類的生活以及社會發展有著緊密的聯系，不但是一種成熟的運算與推理工具，同時也可以作為一種進行信息表達與交流的語言。數學學科知識承載的是一種文化和思想，其也是人類文明發展與積累下的文化精髓。"同時，新課程標準中還提到數學承載的是文化，課堂教學中也要注重教材知識的拓展，不可只局限于教材內容，要加強數學知識產生背景與發展過程的講授。HPM是數學史與數學教育之間的關系，企業是新課程標準下對高中數學教育改革提出的新方向，以HPM視角進行高中數學課堂教學不但能夠激發學生學習的主動性，同時也可以在不同程度上提升學生數學理解能力、創新能力，尤其數學概念教學中，對于一些難以被學生快速理解的概念可以進行"追根溯源"，使學生快速梳理數學概念結構，達到理解與掌握數學概念知識的效果。

1.HPM背景及其應用價值

1.1 HPM背景。簡單來講，HPM是指數學史與數學教育之間的關系，是Relations between History and Pedagogy'of Mathematics)的簡稱，最早是在上世紀七十年代初由專注于數學史與數學教育之間關系研究的組織"數學史與數學關系國際研究小組"提出，對于數學研究者而言，是屬于一項新的研究領域。事實上，早在十九世紀就曾有數學家關注了數學史與數學教育之間的關系，但并未在大范圍內進行學術討論，僅作為一項研究內容，到上世紀末，HPM才逐漸進入眾多數學家視野，并成為了數學教育研究的一項重要課題，我國則是于本世紀初方開始關注HPM相關理念的研究。[1]

1.2 HPM教學融入的價值。從教師角度來說，通過HPM的融入和應用能夠了解到更多有關數學知識的歷史和數學思想以及數學文化，從而幫助教師提高自身的數學教學素養，使教師可以從不同的角度去進行數學問題的研究與分析，提高其教學能力，而且HPM的應用也能夠讓教師從數學教學活動角度去進行教學的創新，打開教學的新思路與新視角。

從學生角度而言，通過HPM理念的融入可以幫助學生開拓知識的視野，使學生快速理解所學的數學概念和數學命題，尤其在數學知識的學習過程中可以讓學生充分了解數學概念知識和數學命題的根源，從而激發學生對數學知識學習的積極性，對學生探究欲望和探索知識的精神也有著很好的培養作用，使學生可以掌握現代科學的學習方法。[2]

2.基于HPM視角下高中數學概念教學的原則

高中數學概念、知識內容對于高中生來講較為抽象，難以做到快速的理解和掌握，而且在學習數學概念相關知識，學生往往也會遇到多種不同的困難。如果高中學生始終無法掌握數學概念、知識學習的思路和方法，就容易產生厭學心理，從而失去學習數學知識的興趣。在HPM視角下高中數學概念教學過程中，教師需要依據學生身心發展特點選擇合適的策略，以便于學生能夠快速接受數學概念、知識并實現理解和靈活運用。這也需要教師通過對HPM相關理念的研究，從不同的視角去進行數學概念知識的理解，從而為教學開展提供新的思路，但也必須要遵循一定的原則。

2.1 真實性原則。HPM是數學史與數學教育之間的關系。將其在高中數學概念教學當中的融入和應用，需要注重數學史的選擇必須要真實，尤其要注意不可為活躍課堂教學氛圍而隨意進行數學歷史上人物與相關故事的篡改，如此會容易誤導學生對數學歷史信息的了解。目前，網絡上常常會流傳多種不同版本的數學史料和一些數學家的歷史故事等等。而教師在課堂上講述數學史的過程中，也常會出于個人喜好而主觀進行加工創造，對所融入的數學史是否真實卻并沒有進行確認。一但廣為傳播，就會導致失去這一數學知識發展歷史的真實性。所以，在進行教學設計時，教師需要仔細查閱與所選擇數學史相關的書籍和資料，對多種不同數學史相關知識要進行總結歸納，尤其要懂得去進行甄別，審核數學史故事的真實性和可靠性，并挑選與上課內容相關的準確的數學史料來進行教學應用。[3]

2.2 遵循適用性原則。基于HPM視角下高中數學概念，教學開展中需要明確本堂課程教學內容的目的，而且要充分了解引入數學史想要達到什么效果？要體現出哪些數學知識的價值？并且也要清楚地掌握應該在哪一教學環節引入數學史，如此才能夠全面把握教材課標要求和數學史之間的融合。另外，還要重點考慮所選擇的數學史是否符合高中學生的理解水平和認知能力，是否真正能夠滿足學生的實際需要。不同地區學校，無論教學內容還是教學目標或者教學時間以及教學順序也會存在差異性，所以要充分考慮學生課堂教學的各項要素與數學史的適用性，尤其注意高中數學概念教學案例設計時需要確保數學史在教學中能夠發揮出具有的價值，合理進行數學史料的選擇，使數學史料可以自然地融入到概念教學當中，達到預期的效果。

2.3 遵循可接受性原則。數學學科有著悠久的發展歷史，其中必然會存在著一些晦澀難懂的數學概念與數學公式以及數學定理。尤其數學概念、數學公式與數學定理的推導證明過程，對于高中學生來講，有著很高的難度，而且不同年齡層次的學生也會有不同的個性特點，如果所選擇的數學史料沒有滿足學生心理發展特點的要求，則數學史料的融入作用必然無法得以凸顯。所以，所選擇的數學史料要具有較高的可接受性，要能夠被高中學生年齡層次、理解能力、認知水平所接受。[4]

2.4 遵循趣味性特點。數學史料在高中數學概念教學過程中的融入與應用，需要考慮到學生的心理特點。尤其高中階段的學生，面臨著高考的巨大壓力，其心理壓力較大，在繁重的學習任務當中會產生濃烈的疲倦感，所以，教師不能只是為了提高課堂教學的效率而將一些枯燥乏味的知識強加給學生。所以再進行概念教學之前，要選擇具有一定趣味性的數學史料，并以生動形象的語言傳遞給學生。在保證數學史料真實性與可靠性基礎上，激發學生對數學概念學習的興趣，緩解學生的心理壓力，使其能夠在愉悅、輕松的氛圍下感受到古人的聰明智慧，體會到數學概念知識的魅力。教師可以選擇將數學史料當中的一些故事設計為小情景劇或話劇片段，以直觀的形式展示給學生，讓學生更加愿意接受這樣的教學內容。

3.基于HPM視角下高中數學概念教學的策略

3.1 高中數學導數概念中的應用策略。高中數學當中，導數是屬于微積分中的重要基礎概念。當自變量增量趨于零時，因變量的增量與自變量增量之商的極限。例如，在函數當中存在導數時，則可以稱這一函數可導或可微分。可導的函數通常連續，而不連續的函數則一定不可導。本質上講，導數是一個求極限的過程。

例如，實際教學過程中，首先需要進行情境的創設。教師可以將現實生活當中較為常見的易拉罐來作為舉例，易拉罐對液體的實際容量是相同的，其設計尺寸基本一致，此時，教師可以提出問題，如此設計是巧合還是必需？

如此進行提問的原因就在于讓學生進行相關問題的探究。對于易拉罐的設計，在最初必然會考慮一些因素。例如，怎樣才能保證材料成本的節約？在制作易拉罐過程中，材料與易拉罐表面積有著直接的關系，所以這就可以提煉出一個問題，體積相同的圓柱體，其高與半徑如何取值時，方才能夠保證其面積最小？這一問題如果運用算數法，往往很難算出。

因此，需要通過導數概念的引入來進行問題，解決方法的探尋，這就需要引入導數概念的相關資料。以易拉罐來解釋導數概念，經過測量可以發現，高度為實際半徑的四倍左右。而這一測量結果與計算出的結果顯然并不相同。問題癥結的關鍵在于易拉罐厚度，與其側面及底面厚度是不同的。通過測量可發現易拉罐側面厚度約為0.012厘米，頂部厚度則約為0.027厘米，底部實際厚度約為0.020厘米，為確保計算的便利性，可將側面厚度近似計算為0.01厘米，底面厚度計算近似為0.02厘米，并讓學生進行易拉罐高度與半徑實際比值的計算，通過再次計算，就可以發現測量值與計算值幾乎相同。基于HPM視角下的概念教學，能夠很好的實現問題的簡化，使學生在接觸到導數概念之后產生導數概念難度并不高的認知，且重點是能夠利用HPM理念，結合導數概念，來進行生活中常見問題的解決。從而吸引學生的注意力，激發學生學習數學概念相關知識的熱情和興趣，為導數概念后續知識的學習奠定堅實基礎。[5]

此外，在進行導數概念課程設計時，教師也可以考慮情境的不同，設計以問題為引導，通過提出問題、解決問題來幫助學生了解導數的概念。如對易拉罐半徑與高度最佳比例相關問題的深入探究和思考，使學生不由自主的去通過實踐去尋找解決問題的答案。如此，就能夠很大程度上提高課堂教學的效率和質量，但必須要注意的是進行導數概念理解和深入研究，需要結合具體的問題的設計與導數概念，要深度契合通過遞進式的問題，來逐漸將學生引入導數概念的學習與理解當中，通過實際探究過程去幫助學生理解概念知識和問題。例如導數概念當中，關于球體最佳比例相關問題的探究，教師可以進行情境的創設和引入，將現實生活當中交通網的設計和模擬作為情境創設的背景，為學生進行例題的設計。通過交通網圖片的展示標出圖中A點與D點分別位于寬度為50米的河上，而其中B點和D點又分別位于河兩邊的對岸。其中A點和B點之間的距離為100米，可知陸地運輸速度為水上運輸的兩倍，為確保A點到D點實際運輸時間最短，需在C點進行轉換碼頭的設立，此時求BCD與AC之間的距離。

實際解題方法探究過程中，教師需要引導學生。首先，進行水流速度的設定，在陸地運輸速度是水上運輸速度的二倍，此時可以假設BCD角度為MA，則由此可以得出導數函數進而利用相關算式解出答案。

3.2 基于HPM理念附加式方式引入高中數學概念。于高中數學課堂教學而言，引入使其初始環節發揮著重要的價值作用，數學概念教學更是如此。在實際教學開展當中，如果直接給出數學概念，往往會導致學生不明所以，無法獲知數學概念產生的原因和根源，也就難以培養學生獨立思考和知識探究的能力，對學生個性化發展和數學知識的理解與運用會產生一定的影響。而將附加式方式運用在概念教學當中，并融入與該數學概念相關的數學史料則能夠讓學生掌握數學概念產生的原因和過程，從而了解知識結構，優化其對概念的認知和識別。例如，在高中數學課堂當中，進行對數與對數運算這一知識的講解時，可以為學生講述數的發現過程，在16世紀末到17世紀初，隨著航海與天文的快速發展，對于數字計算的運用也越來越廣泛，但彼時，對于運算方法的研究不足。為此，蘇格蘭數學家納皮爾在進行天文學研究過程中，為了能夠實現分別計算，而發明了對數，可以說對數的發明對于數學來講是重大的突破，天文學界與數學界對對數的發明高度認可。所以在講解對數這一概念數學史時，可以培養學生對數學未知、探索的意識，從而激發學生對數學概念了解和學習的熱情。另外，在進行情境創設時，也可以根據相關概念知識，歷史和發現過程為背景。事實上，數學是伴隨著人類的存在和發展而不斷發展的，有著悠久的歷史，從古至今也流傳著很多經典的數學名題，吸引著眾多數學家和數學愛好者去不斷的探索，也可以將這一段一段真實的數學史料比作一把把鑰匙，讓學生打開一個又一個數學知識的寶庫，引入數學猜想在數學故事的了解當中明白數學的產生過程和創造過程。利用數學史料來創設情境，能夠真正實現數學概念教學與數學史的融合，增加學生對數學知識學習的興趣，使其具備探索意識和數學思維，讓學生可以更加容易地理解數學概念和數學思想，以及數學方法。例如，教師在講述等差數列的前N項和這一刻的過程中，可以引用高斯計算一加二加三加100的例子。在講述高斯這一案例時，可以有選擇的保留原始的史料，用趣味性的語言去講述高斯算法，通過高斯算法的介紹和故事的情節，吸引學生以簡單的案例來作為概念知識的引入，使學生開始對相關概念、知識產生探究的興趣，而且快速地理解數學概念知識，也往往能夠讓學生建立自信，使其更好地投入到數學概念的學習和相關問題的探究當中。

3.3 以順應方式講述平面概念相關知識。高中數學概念有著其固有的發現、推導和證明的過程。通過這些過程，可以更好地了解高中數學概念相關知識。所以教師在進行數學概念教學過程中，不但要幫助學生從推導證明過程去學會分析，數學概念的相關思路，理解并掌握這一過程中的數學思想與數學方法，還要能夠真正學會正確表達這一數學概念的證明過程，如用語言表達來敘述這一數學概念的發現、推導和證明過程。例如在學習空間點、直線、平面的位置關系這四個公里時，可以為學生引入平面的概念和公理，從初期發展對平面的認知到平面構造性階段，數學家所總結出的定義，再到最后希爾伯特公理化階段所誕生的平面概念這整個發展過程。其中，教師要合理的選擇數學史料根據學生的個性特點和理解能力進行推導，證明過程中還原公式、定理等相關知識過程的講述，以這一推導證明的過程，幫助學生了解其中所包含的數學思想，并掌握數學概念證明的方法，整個平面歷史的發展過程當中，教師需要讓學生明確希爾伯特公理化出現之后，有效解決了平面相關定義與邏輯的問題。而現代數學課本當中，關于平面定義與公理的闡述也是于彼時所定型，在教學過程中，通過這一過程能夠幫助學生加強對平面概念的深刻理解，使其全面了解公理之間所存在的聯系。從而提高課堂教學的效果。

結束語：

結合上述文章內容所述，HPM理念在高中數學概念教學當中的融入與應用，既是對傳統數學課堂教學方式的改革與創新，使學生能夠真正了解和理解，數學文化與數學價值，同時也能夠從本質上激發學生學習和了解數學文化，數學概念知識的興趣，使學生能夠快速掌握學習和運用數學概念、知識的方法。此外，在進行數學知識發展過程的模擬中，也有利于培養學生獨立思考能力、探究能力和自主學習能力，在HPM視角下，高中數學教師要重視對整個數學概念相關知識，探究過程的，講述合理選擇數學史料，并采用順應式、附加式等多種不同的方法，通過情境的創設幫助學生融入概念教學課堂，使其快速了解高中數學概念的產生過程相關知識內容，使學生可以在數學問題的分析和解決過程中提高其自身的數學綜合素養。