數形結合思想在高中數學教學中的應用

江蘇省昆山中學（215300）薛國清

高中數學是一門較為復雜的學科，也是一些學生的短板科目。許多教師深入研究高中數學教學方法，試圖在授課模式、技能傳授等方面有所創新。數形結合思想能夠有效幫助學生思考，增強學生對數學知識的記憶，讓學生在解決實際問題的過程中形成數學思想，提高數學學習興趣，它是高中數學教學中常用的思想方法。高中數學教師基于數形結合思想講述數學基礎知識，直觀展現數學原理，可讓學生了解數形結合思想，形成良好的數學思維。

一、數形結合思想與高中數學的關系

“數”和“形”是高中數學的重要概念，也是最為基礎的數學形式，大部分的數學問題和數學知識都圍繞著這兩個基本概念。在數學學科的演變和發展中，“數”和“形”越來越融會貫通。在高中數學教學中，通過數形結合可以揭示數學條件和數學問題之間存在的內部規律和聯系，融合幾何直觀和代數意義，獲得良好的教學效果。高中數學的很多知識都與數形結合思想有關，比如曲線與方程的問題、實數在數軸上對應點的問題、復數問題、三角函數問題、代數式結構問題等。

數形結合思想能夠達到“以形助數”和“以數解形”的效果。在一些抽象的數學問題中，“以形助數”能夠讓原本抽象的數學問題具體化，使問題變得更加簡單。學生可以通過圖形把握數的規律，靈活運用數學解題方法，抓住數學問題的本質。反之,針對一些圖形問題，比如平面幾何、立體幾何等，學生可以運用“以數解形”，讓圖形問題的數量關系更加明確，使圖形數量化。這樣，他們就可以用傳統的代數方法解決復雜多變的幾何問題，提高解題過程的精確性和嚴謹性。通過數形結合，學生可以將新掌握的數學知識與實踐方法相結合，在畫圖、對比的基礎上，深入吸收數學知識，增強數學綜合能力。在教學實踐過程中，教師需要引導學生對數形結合思想的應用進行總結，在不同的知識模塊中簡化其使用過程，進而使學生的學科技能獲得質的提升。

二、數形結合思想的價值

（一）有助于激發熱情

高中數學學科具有特殊性，大部分數學知識都具有符號化和形式化的特點，數學原理抽象且復雜，學習難度較大。通過調查可以發現，當前有部分學生認為高中數學枯燥乏味，即便掌握了數學基礎知識和原理，也難以解決千變萬化的數學問題。在解決上述問題的過程中，數形結合思想能夠起到重要的作用。教師可以圖為輔，提高學生解決數學問題、鉆研數學原理的熱情。數形結合思想能夠引導學生正確解讀數學結構和數學關系，幫助學生找到數學結構和數學關系的驗證方法，指引學生反復探究數學問題的本質，并從多個角度展開論證。如在講解幾何問題時，教師可以先將幾何知識抽象為代數知識，再將代數知識通過幾何手法展現出來，從而降低幾何問題的難度。又如在學習求曲線方程的相關知識時，學生需要掌握直接法、幾何法、代入法等。學生要明確，運用幾何法求曲線方程，只要結合曲線分析動點存在的幾何特征，并融入平面幾何的定理，就可以找到動點軌跡和平面幾何之間的聯系，然后從中抽象出已知量和動點的坐標，以等式的方式表達出來，經過化簡和整理后得到軌跡方程。教師必須引導學生抓住數形結合思想的精髓，掌握數形結合的方法，進而激發學生的學習熱情。

（二）有助于提升能力

在高中數學教學中，大部分的基礎知識、數學思維都會在解題中有所呈現。如果學生缺乏解題能力，只會紙上談兵，那么數學教學目標便難以實現。通過數形結合能夠讓問題以更加清晰、直觀的形式展現出來，讓學生在最短的時間內找到解題思路和解題方法，獲得數學思維的發展。比如，一道解析幾何題通常會涉及多個模塊的知識點，因此解題時學生必須在知識網絡中搜索解題思路，將題干給出的信息進行轉化、整合，充分挖掘隱含條件，通過畫圖、對比，做到深入研究。解析幾何中常見的問題形式有求直線的斜率、求兩點之間的距離等，很多問題還涉及最值問題。學生需要抓住題目中的代數式結構、等式結構所蘊含的幾何特征，嘗試用圖形來展現問題，建立直角坐標系，將圓、直線、曲線等幾何圖形描繪出來，從而順利解答問題。比如，直線上的兩點坐標分別為（2，7）和（8，1），求直線的斜率。在解這道題時，學生首先可以建立平面直角坐標系，然后標出這兩個點，畫出直線的幾何圖形，最后運用斜率公式，求出直線的斜率。高中數學知識是復雜的、系統的，而數形結合思想能夠幫助學生拓展數學思維，發掘想象空間，構建問題模型。在解決一些比較復雜的問題時，可以優先考慮數形結合的方法，但這種方法并不是萬能的，只有抓住其使用規律，才能充分發揮其價值。

（三）有助于傳遞信息

通過數形結合可以有效傳遞數學信息，幫助學生更好地理解數學知識，增強學生的記憶力。高中數學中有很多抽象的定理和概念，如果教師單純依靠解說開展教學，學生就會容易混淆概念，抓不住學習的重點，同時，教學過程也會變得枯燥。針對這種情況，教師可以通過數形結合的方法為學生展示概念背后的含義，讓數學知識可視化、直觀化。比如在教學函數時，教師可以通過圖形展現反比例函數、指數函數等不同的函數類型，并在此基礎上歸納和系統化函數知識。通過數形結合，學生可以深入理解函數背后的意義，掌握函數的定義域、值域、單調性等性質，在腦海中呈現不同函數的圖像。教師還可以為學生展示平移變換、對稱變換、伸縮變換等函數變換方法，引導學生對基礎函數進行變形，全方位學習函數知識。可見，函數的相關知識與數形結合有著緊密的聯系，如果不利用圖形，函數的意義就無從體現。再比如，如果教師單純采用推導公式的方式講解中值定理的相關知識，那么學生就會在大量的公式中迷失方向，難以理解中值定理。中值定理能夠反映函數和導數之間的特定關系，對公式推導具有重要作用。教師可以運用數形結合的方法，指導學生通過圖形來理解中值定理的意義，鼓勵學生深入探究，開發學生的數學邏輯思維。

三、數形結合思想在高中數學教學中的應用

（一）在新授課中的應用

在課堂教學中，教師可以將數形結合思想與知識講解相結合，幫助學生更加順利地理解和掌握知識內容，提高學習效果。在新授課中，學生對數學知識還比較陌生，教師可以運用圖形輔助教學，引導學生深入思考數學問題，充分復習已經學過的知識內容，讓學生建立完善的知識架構，用舊知識輔助新知識的學習，并增強課堂教學內容的直觀性。比如，在教學指數函數時，教師可以展現a＞1和0＜a＜1 的指數函數圖像，進而引導學生比較不同底的指數函數圖像。一般情況下，如果要判斷不同底的指數函數，可以先作出與各個函數圖像相交的直線x=1，再比較各交點的縱坐標，最后就可以得出底數的大小。如人教A 版必修第一冊教材第117 頁例3中的第（3）題要求比較1.70.3和0.90.3的大小。在接觸數形結合思想之前，學生只能通過計算的方法比較大小，即先把函數值求出來，再進行對比。但是這道題很難通過計算求出這兩個值。為此，教師可以引入數形結合的方法，將1.70.3和0.90.3分別看作指數函數y=1.7x當x=0.3 時的函數值，以及指數函數y=0.9x當x=3.1時的函數值，再利用指數函數的單調性進行比較，從而快速解決問題。數形結合的方法可以將抽象的數學概念、數學基礎知識借助圖形展現出來，將抽象化為形象，降低數學知識的學習難度，增強學生學習數學的熱情。

（二）在課后練習中的應用

高中階段是運用數形結合方法的重要時期，很多數學題都需要借助圖像進行解答。教師可以在課后練習中滲透數形結合這種方法，以提升學生的解題思維。教師需要引導學生主動運用這種方法，以使學生養成良好的思考習慣和做題習慣，提高做題效率。如“中心投影和平行投影”的課后習題中，有關于三視圖的題目。學生需要根據一個圖形的三視圖，畫出直觀圖。這一類數學題目非常考驗學生的空間想象能力和作圖能力。有些學生經常在畫直觀圖時出錯，這是由于沒有做好前期分析，對圖形本身不夠了解，以致腦海中呈現的立體圖形與實際情況存在差距。通過數形結合，學生可以從三視圖中分析出立體圖形的整體面貌，還可以用實際工具進行模擬，進而做出不同假設模型，最終完成直觀圖。這一類的課后習題有很多，教師要不斷滲透數形結合思想，以使學生及時發現問題當中蘊含的幾何信息，最終得到答案。數形結合思想的滲透需要循序漸進，學生只有真正體會到數形結合思想的價值，才能在頭腦中構建代數與幾何的聯系，熟練掌握這種思想方法。

（三）在實際解題中的應用

教師需要在不同類型題目的解題過程中滲透數形結合思想，讓學生找準該思想的使用方法，包括如何尋找幾何信息、如何作圖等，抓住所求問題，不斷挖掘條件。教師的引導和滲透是一方面，而另一方面,學生必須學會獨立使用數形結合思想，這樣才能在高考和現實問題的解決中做到有效應用。

1.在集合中的應用

集合在整個高中階段是非常基礎的知識，學生需要在必修一中學習，以打下堅實的理論基礎。面對高一新生，數學教師不但要透徹地展示數學原理，而且要幫助學生擺脫初中的不良學習習慣，靈活運用數學知識。并集和交集是集合知識中的難點問題，學生需要理解并集、交集、補集等概念。集合之間的關系可以用Venn 圖來表示。例如，已知全集U＝｛x|x小于10，且x?N｝，A＝｛3，4，6，8｝，B＝｛1，2，6，8｝，求?u（A∪B），?u（A∩B）。講解這道題時，教師可以運用圖示法，清晰地呈現A集合和B集合，讓學生了解兩個集合之間的交集和并集，用圖像來打開學生的思路。集合知識是非常基礎的內容，圖形的表示過程也比較簡單，教師只需要將重點放在文字與圖形的轉化上，以促使學生自主解答問題，增強其求知欲望。在數形結合思想的應用過程中，教師不但要展現解題過程，而且要讓學生了解每一步的解題思路，將數形結合思想傳遞給學生，全面提高學生的自主學習能力。

2.在不等式中的應用

不等式是高中數學的重點和難點，高考中出題頻率較高。部分學生面對不等式問題時常常會摸不著頭腦，以致解題正確率較低。針對這種情況，教師需要讓學生全面了解不等式的相關題型，為不等式類的題目提供解題思路。例如，f（x）是R上的偶函數，已知這個函數在［0，+∞）上是減函數，f（a）＝0（a＞0），求不等式xf（x）＜0 的解集。對于這道數學題，教師可以鼓勵學生結合題干內容畫出f（x）的函數圖像，再根據xf（x）＜0 的條件，判斷出x和f（x）異號，得出x的取值范圍，即x＞a或-a＜x＜0。高中數學中的不等式問題有多種類型，如解不等式、求參數取值范圍等。不等式問題通常與函數問題相關，在解題時，需要通過數形結合的方法展示問題本質，提煉有效條件，從而找到解決問題的正確途徑，提高解題效率。數形結合思想是解決函數問題的終極武器。教師需要在解題教學中應用數形結合思想，以全面提高學生對函數問題的理解能力和感知能力。

對高中數學而言，數形結合思想是一種極其重要的數學思維，它主張將代數與幾何相結合，讓抽象的數學知識更加直觀，并以展現問題的本質，降低學習難度。數形結合思想可以在新授課和課后練習中應用。在函數問題、解析幾何問題、代數問題等的解決過程中，數形結合思想都發揮著重要作用。值得注意的是，教師和學生必須正確認識數形結合的可行性和有利性，挖掘問題中的隱含條件，這樣才能充分發揮數形結合思想的價值。