MPCK視域下初中有理數運算的教學研究*

王譽錕 金 晶

（黃岡師范學院數學與統計學院 湖北黃岡 438000）

一、問題提出

筆者通過調研發現，學生在進行有理數運算時經常出現偏差，感覺難以適應，逐漸對數學學習產生畏難心理。而部分教師的教學方法和行為存在以下幾個問題：忽視學生已有數學經驗，不重視推導運算法則的由來；忽視培養學生的觀察能力，不利于良好運算習慣的養成；注重學生的運算熟練程度，不注重總結運算思路，擠壓學生思考時間；過度關注學生的運算過程，對算理缺少重視；一味強調“標準算法”與“常規算法”，不利于學生的思維發散。此外，許多教師缺乏先進的教學理念，對運算教學持有片面觀點，導致教學效果不突出，也不利于學生樹立正確的學習觀念。

本文擬針對學生在有理數運算中存在的問題，運用MPCK理論剖析數學運算的教學過程，嘗試提出相應的教學建議，為一線教師的教學及學生的數學學習提供借鑒與思考。

二、MPCK視域下初中有理數運算的教學

1.理論概述

MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），即數學教學內容知識，由香港中文大學黃毅英教授等學者結合數學學科的特點，在PCK的基礎上提出的數學教師從事專業教學所應具備的核心知識。MPCK結構模型主要由MK（數學學科知識）、CK（有關數學學習的知識）和PK（一般教學法知識）三部分融合而成。該理論的本質是教師如何將數學知識的學術形態轉化為教育形態，以增強學生對于數學的理解，提高學生的數學能力和數學核心素養，同時加深數學教師對專業發展的認識[1]。

2.基本維度

中學數學教師的MPCK水平對有理數運算教學有較大的影響。MPCK視閾下的有理數運算教學主要包括以下三個方面：

（1）MK維度下的有理數運算教學

MK是指數學教師應具備的學科基礎知識。教師對此知識要有一個多角度、立體化的認識，即知曉某一特定知識的產生背景、思想方法等，準確把握知識本質，明晰縱橫向聯系。該維度主要解決“教什么”的問題。教師通過分析課程標準對有理數運算的目標要求以及分析教材內容和架構確定教學重點，主要包括設定明確的教學目標，確定貫穿教學的思想，設置課堂教學的情境，呈現有梯度的課堂問題。

（2）CK維度下的有理數運算教學

CK主要是指教師從學生層面了解數學學習的知識，即從知識、思想方法、能力素養方面準確把握學生的現有學情和“最近發展區”情況，確定教學難點，解決“學什么”的問題。從知識層面，教師要對學生在有理數運算時可能存在的誤解和遇到的困難進行預判和教學預設，分析學生已有的數學經驗和認知水平，了解學生的學習特點和思維習慣，明確哪些問題的解決對學生難度不大抑或存在難度。在思想方法和數學核心素養層面，讓學生感知解決有理數運算問題的過程，注重發現、歸納等學習體驗，經歷合情推理的全過程[2]。

（3）PK維度下的有理數運算教學

“為美好生活加油”是中國石化的企業使命，中國石化青工委也積極踐行綠色低碳戰略，廣泛傳播綠色環保理念，倡導綠色生活方式，組織動員青年開展“光盤行動”、植綠護綠、綠色出行、垃圾分類等環保實踐，大力開展以綠色生產為主題的“青年文明號”“青年綠色生產示范崗”創建活動，提升青年環保意識和環保技能，助力綠色企業創建。

PK是指教師在MK和CK的基礎上具體落實數學教學內容的方法，主要解決“怎么教”的問題[2]。針對學生存在的有理數運算問題，教師要思考如何有效安排教學流程和教學活動，以及如何根據課堂教學反饋做出有效調整，幫助學生理解和解決疑點和困惑，實現知識體系的進一步建構。

三、案例呈現與剖析

1.基礎知識層面，學生對運算符號和運算法則缺乏深入理解與實踐

存在問題：學生學習有理數時，經常會出現死記硬背運算法則、對“+”“-”的本質存在理解偏差的情況。學生在小學算術的思維定式下，機械理解“正負號表示具有相反意義的量”，認為“加法表示增加，減法表示減少”。在案例1中，學生在執行乘法分配律時錯誤地轉換“+”“-”，從而導致錯誤的結果。在實際數學教學中，教師不注意推導運算法則的由來，忽視學生已有數學經驗，以致學生無法真正理解和內化運算法則。

從MK的角度：教師要對基礎知識進行“二次開發”，概括、提煉和升華運算法則和運算符號的“生長點”與“延伸點”，使學生形成多維、立體化的理解。同時，教師要準確診斷學生錯誤認識的根本原因，如知識負遷移、關聯性知識混淆等。教師還應注重學生在學習過程中的整體思維發展，為學生提供表達想法的機會，幫助學生建立合理的知識結構體系，為培養學生的數學運算能力奠定基礎。

從CK的角度：學生在以往的學習和生活中已具備一定的運算基礎，教師應善于利用學生已有數學經驗，引導學生不斷同化、順應新算法，建立知識間的聯系，培養數學遷移能力。教師可采用“錯例展示”的方式，讓學生判斷錯解與正解之間的差異，分析產生錯解的原因，使學生在頭腦中形成認知差，有“一探究竟”的沖動，讓其在“最近發展區”內不斷加深對運算知識的認識和解讀。在此過程中，教師要時刻以“引領者”身份通過提問、舉例等表征方式引導學生探究，體會知識的發生發展過程，提高學生對知識的感知和運用能力。

從PK的角度：教師在課堂教學中，應充分利用信息技術的動畫、視頻等方式支持教學，通過創設生活情境，使學生在生活實例中感知數學符號的抽象過程，使“正負號表示具有相反意義的量”這一數學意義生動化、具體化。

2.運算習慣層面，學生缺乏良好的觀察能力

存在問題：在日常學習中，多數學生缺少運算前的準備工作——觀察，表現出運算求解的盲目性，對題干與問題“一帶而過”，結果不僅耗時耗力，且正確率較低。案例2涉及的是有理數乘除混合運算，由于學生沒有仔細觀察題目特征，就按運算法則從左向右依次計算，直到運算至 ×0 后才“恍然大悟”。實際教學中，教師往往更強調具體的運算過程。因此，良好的觀察能力是學生進行有理數運算不可或缺的內容，教師也需提高對其重要性的認識。

從MK的角度：教師應“突出條件化知識的教學”[3]，引導學生明確以下幾個問題：運算類型，即觀察題目中包含有理數的哪些運算；題目特征，即觀察是否包含特殊運算內容或條件，是否與已知條件存在某種聯系；運算方法，即是綜合信息形成整體運算思路的過程。此過程不僅可以鍛煉學生分析問題的能力，且為之后思考具體算法提供基礎。

3.數學思考層面，學生缺乏利用題干探求算法的能力

案例3：已知a,b互為倒數，c,d互為相反數，m為最大的負整數，n的絕對值為2，試求的值。

存在問題：在有理數運算的練習中，部分學生理論知識扎實，但實際做題時卻經常出錯，其中部分原因是由于數學思考導致，即無法提取、運用有效信息尋求運算思路。日常檢測和考試的范圍來源于書本，為提高試題區分度和難度，往往“隱藏”運算條件。而學生對已知條件無從下手，常表現出無法正確表達題目的顯性條件，無法深挖出隱藏條件。在教學中，教師一味地進行機械訓練，增加運算熟練程度，擠壓學生思考的時間，學生無法將所學與題目條件建立聯系，不利于培養思維能力。

從MK的角度：對于案例3，學生常因題目條件冗長、問題繁雜，而感到懈怠和無助。在數學運算教學時，教師需展示數學思維過程（即如何利用題目條件逐步轉化為已學知識）。這包括由已知條件可獲得什么信息，此過程亦能檢驗學生的基礎知識是否扎實；觀察運算問題，由條件得到的信息能否直接應用進行求解；信息與問題之間是否存在某種聯系，以及是否需要“二次轉化”。“授人以魚，不如授人以漁”，數學教師應讓學生學會“舉一反三”，以類似的思維過程應對其他問題。

從PK的角度：教師引導學生進行數學思考時，要充分利用圖形、圖示，或直觀模型，促進學生對題目信息深入理解與適當轉化，實現其對運算思路的有效探求。同時，貫徹問題驅動教學理念，在講解過程中發揮“腳手架”的作用，注重師生互動和學生的學情分析，促使學生有效地開展學習活動，培養學生的化歸思想。最后，教師要引導學生及時反思思路的形成與發展過程，讓學生積累有關數學問題思考的實踐智慧。

4.在問題解決層面，學生不理解運算程序蘊含的算理

存在問題：學生運算時機械地執行教師傳授的運算規則與程序，但對其中蘊含的算理、適用條件并不清晰，以致學生在實際計算時頻頻出現錯誤使用法則和運算律、遺漏運算程序的現象。對于案例4，導致學生錯誤的原因有：一是類比乘法分配律，認為除法亦具有分配律；二是試圖按原式的倒數進行技巧運算，便機械地顛倒被除數與除數的位置，但對最終答案取運算結果的倒數產生疑惑。調研發現，部分教師過度關注學生的具體運算操作過程，而對算理重視程度不夠。

從MK的角度：學生掌握運算技能固然重要，但更應引導學生理解和掌握技能背后的“數學”。這是數學教師MK能力發展是否完善的表現之一。結合具體的運算過程，對其算理進行適當揭示，逐步加強學生對其運算意義的深入理解，既是數學運算學習的必要環節，也是進一步提升學生對某一數學運算理解水平的基本手段[4]。對于案例4的教學，教師首先要明確除法沒有分配律的根本原因是，在進行除法運算時被除數與除數不能交換位置。其次，教師應解釋將原式被除數與除數顛倒位置進行運算的原理是想運用乘法分配律進行簡便運算，由于運算的結果即是原式結果的倒數，所以最終答案應取倒數。

從PK的角度：教師是否能把對教學理論與學習理論的認識落實到具體教學中，是檢驗教師是否具有教學法知識的主要體現。教師在揭示算理時，要以“問題串”的方式，引導學生加深對運算過程的直觀理解與幾何解釋，積極參與問題求解，培養其解決問題的良好圖式。同時，根據不同層次學生的課堂反饋進行分層教學，設置有梯度的練習題及時鞏固提高，循序漸進地實現由“不知”到“理解”到“掌握”再到“實踐運用”的過程[5]，讓不同的學生得到不同的數學發展。

5.擇優運算層面，學生無法選擇最佳算法

存在問題：能否擇優運算是學生數學運算能力強弱的表現之一。研究發現，部分學生的算法單一化，且對運算題目缺乏全面思考和深究，不能實現算法優化，無法選擇最佳算法。對于案例5，由于學生沒有觀察到每個因式的一般特征，以致無法找到最佳算法的“癥結”所在，而選擇直接相乘再相加的方法稍顯不實際。教師在教學中不應一味強調“標準算法”與“常規算法”，更重要的是分析運算方法是否適當，運算過程是否合理，應引導學生注重運算過程及運算結果的合理呈現與恰當表達[4]。

從MK的角度：對于有理數運算，教師不能僅僅就題論題，而應注重對知識的概括，對思想方法的提煉，使學生能從多角度看待問題，發展靈活的解題策略，進一步加強學生對相應運算規則的掌握與運用能力[4]。教師在教學時，應重點探索如何把案例5的每個因式展開為的形式，以及發現因式展開后的規律，讓學生盡可能發掘多樣化算法，培養其數學運算與數學思維的發散性與靈活性。

從CK的角度：教師可根據實際教學情況對數學運算材料進行變式，以促進學生對數學運算的深度理解、牢固掌握與靈活運用[4]。為防止產生“一言堂”的效果，教師應讓學生通過交流、合作等方式發現因式的規律，培養其合作問題解決（CPS）的能力，同時密切關注學生的學習過程，了解學生的認知障礙，為學生的探究式學習提供良好支持。

從PK的角度：教師在講解時，要給學生提供適切的學習評價與反饋，為學生積極表達見解、揭示思維嚴謹性、師生共同探究創造條件。同時，教師要善于運用啟發式問題，幫助學生體會一般解法的不合理性，增強學生尋找最優解法的積極性，實現由“學會”到“會學”的過程。