運用課堂學習評價培養數學推理能力
——以《平行四邊形的性質（2）——對角線》教學為例

姚家輝 程麗萍 林燕青

（1.閩南師范大學教育科學學院，福建 漳州 363000；2.福建省漳州市第二中學，福建 漳州 363000）

推理一般包括合情推理和演繹推理。初中數學學習的合情推理作用舉足輕重，不僅能發展空間觀念、幾何直觀，還助力初中生創新意識培養。演繹推理的培養對數學知識的積累有著較高要求，因此在演繹推理過程中，學生符號意識、運算能力、模型思想等方面都得到了促進和提升。本文結合北師大版數學八年級《平行四邊形的性質（2）——對角線》的教學實踐，探討課堂活動情境中初中生推理能力培養及提高策略。

一、創設問題情境，發展合情推理

數學課堂上，創設問題情境旨在啟發學生運用數學思維，解決實際問題，發展合情推理能力。

然而，在實際教學中發現，學生常對數學問題情境不感興趣。結合課題組教學實踐與課題研究中的案例分析，主要原因有：（1）問題情境脫離學生日常生活，所創設的情境脫離學生所熟知的背景，學生不能融入及理解情境，所以無法運用實際問題中的相關量進行分析推理；（2）問題情境的范圍太大，教師所提出的問題指向性不強，學生無法聚焦某個問題進行思考，無法運用數學思維抽象化實際情境這一重要環節。結果是學生上課就沒有了研究對象和研究目標，被動應付教師問題，學生的主體性就沒有了保障，這將極大地阻礙數學課的順利進行。

因此，教師問題情境設置應注重與學生生活實際契合，做到心中始終有學生。教師在課堂設計的過程中，應重視學生身邊相關生活素材的挖掘，體現數學學科的實用性，然后在課堂實施的過程中將推理能力的培養滲透在每節課中，讓學生養成嚴謹思考的習慣。

在《平行四邊形的性質（2）——對角線》一課中，教師先從學生小學就接觸的平行四邊形紙片出發，設置了如下具體操作步驟：

（1）請同學們過點O 任意畫一條直線l，直線l 分別交平行四邊形的兩邊于點E、F，你能畫出幾條？

（2）沿所畫的直線剪開，你得到兩個什么圖形？

（3）兩圖重疊，你發現什么規律？

這樣分步設置可操作性強，操作內容具有層次性。學生在明確具體的操作內容后，就可以自主經歷畫線、裁剪、拼接等過程。在此過程中，學生基本都能進行自主操作，能在教師的引導下發現問題，有針對性地進行猜想，從而順利引出解決猜想的關鍵問題——對角線。該情境環節設計貼近學生生活與認知，引導其切實融入數學課堂情境，進行合情推理，一舉多得。

二、鞏固基礎知識，奠定推理基礎

學生的推理過程要做到“步步有據”，而“步步有據”的前提是學生已經掌握性質、判定、常見定理等數學基礎知識。沒有基礎知識，學生的演繹推理就無法順利進行。為此，（1）對于教材里呈現的定理，教師應足夠重視。首先，在講授新課時，教師應通過實例讓學生理解定理所陳述的對象以及對象所具備的特征，然后再通過不同形式的問題，將定理的關鍵點進行突出考查，促使學生深入理解定理；（2）重視對學生定理表述準確度的要求。性質定理內容的準確表述是學生理解定理后的一個重要環節，學生每一次準確表述，其實就是對定理的特征進行再次的深化和思考，這個環節的落實對于學生數學抽象、數學建模等核心素養的發展起著重要的作用。

在實際教學過程中，教師往往忽略了學生對推理過程中依據的表達，僅關注學生的證明過程。因此，在教學中，教師有必要通過設置不同的課堂活動，從多個方面不斷鼓勵學生完整表達證明過程中的依據，引導學生嚴謹思考計算，嚴密邏輯推理，為學生強化數學意識與思維奠定理論基礎。

例如：理解應用“平行四邊形對角線互相平分”，教師可在課前根據“問卷星”對學生已經學過的平行四邊形的邊、角性質進行小測試，教師根據測試數據對學生的學情進行精準的分析后，在一節課的不同環節設計豐富的課堂活動，循序漸進，讓學生逐步理解平行四邊形的各種性質。以下是本節課設計中的部分環節：

1.在情境引入的環節，通過畫圖、剪紙、拼接讓學生直觀感受平行四邊形對角線交點的特殊性，然后設置如下問題串，讓學生思考和表達。

（1）點O 與對角線AC、BD 有什么關系呢？

（2）你是如何發現點O 的特殊性呢？

（3）你能用文字語言描述你的發現嗎？

目的是讓學生能初步表述平行四邊形對角線的性質，同時學生在第（2）問中經歷的旋轉、測量等動手實踐，能讓學生初步感知平行四邊形的中心對稱性是關鍵。

2.在證明“平行四邊形的對角線互相平分”的問題情境中，教師結合學生在情境引入環節中對所發現結論的描述，再次讓學生經歷數學三大語言的轉化，借助圖形語言和符號語言，對學生的文字表述進行修正，讓學生在性質定理證明的學習體驗中，加深對該性質定理本質的理解。

3.例題講解、課堂練習等環節是鞏固學生基礎知識的好時機，問答互動中，教師聆聽學生作答，同時找準切入點，提問學生，并根據課堂反饋對學生答題進行優化，幫助學生提升數學思維品質，養成養好的數學思維習慣。

三、明確角色定位，拓展推理思維

引導學生提升數學推理能力，課堂教學是主陣地。教師應打破傳統，不拘一格，科學開展學習分析，融合多樣化的講解手段，通過形式多樣的課堂活動、多元的評價項目，激勵學生融入課堂，留給學生足夠的時間和空間進行探究、思考和表達，拓展學生的邏輯推理思維［1］。

要拓展學生的推理思維，教師就必須對自身角色進行準確定位，創設數學思維探究活動。首先，教師應明確探究的內容和方向，讓學生的探究具有針對性，做到“有準備、有目標”；其次，在組織探究環節，教師應引導好互動，給學生提供適時的幫助，促進學生探究活動和推理的順利進行；在活動結束后，可借助信息技術，給學生提供平臺，讓不同的學生介紹探究的過程，解釋探究的結果，將發散思維的培養融入到拓展學生推理思維的活動中，促進數學學習良好習慣的養成。

本節課的重點在于探索并證明平行四邊形的對角線性質，發展學生的推理能力。學生學情是已經完整學習三角形教材內容，并會利用三角形的相關性質和判定進行推理和證明。此外，在上一節課學習中，學生已了解平行四邊形方向（邊、角、對角線），并對數學三大語言（圖形、文字、符號）三者間的相互轉化有了初步認識。不妨以學情為基，創造性運用學科教材：結合學生已有的對中心對稱性的認識，本節課設計了“魔術show”（情境引入環節），讓學生自主操作，大膽猜想。然后在學生經歷了探索、發現、證明等過程后，讓學生進行“魔術大揭秘”（問題解決），激發學生探究證明的熱情，引導學生規范嚴謹地表達書寫。

在這些環節中，學生暢所欲言、一題多解，合作探究交流，不僅解題經驗得到了積累豐富，合情推理與演繹推理能力得到有效提升，發散性思維與啟發式思維也得到進一步培養。

特別要注意的是，教師在教學中應根據學段合理安排操作活動和演繹推理的時間分配。從初一年級到初三年級，學生邏輯思維能力逐年提升，因此在不同的年級，操作活動的安排應有所區別。在初一年級，應更重視學生在動手操作中探索問題，發現結論。注重表達的嚴謹、經驗的積累、能力的培養。在初二年級，操作活動的時間分配應較初一有所減少，應鼓勵和引導學生從本質上對問題進行思考，重視學生推理能力的培養，讓學生養成用推理的方式解釋數學問題的習慣。在初三年級，學生的操作經驗、推理經驗等各方面都有了一定程度的積累。因此，在問題研究中，操作活動的意圖應定位在發現結論，而應把教學的重點放在結論的證明和書寫上，使學生的推理具有系統性。

此外，教師還可以根據各校生情，在不同的年級，將尺規作圖有層次地融入課堂思考中，拓展學生的推理思維。尺規作圖要求學生“從作圖結果出發，執果索因”。［2］教師在教學中，可以在基本尺規作圖的基礎上借助變式作圖等方式加深學生對問題本質的理解，發展學生綜合解題能力，評價學生多維度推理能力，引導其加深對圖形的理性認識。

四、運用學習評價，提高推理能力

教師在制定學習評價項目時，要立足于學生的現有水平，周全考量評價過程中的各個因素。關于推理能力評價項目，除知識技能、數學思考等，還應關注評價學生的解題過程和情感態度等。因為解題過程不僅是充分體現學生主體性、綜合發展學生合情推理和演繹推理的過程，也是運用學習評價，激發情感態度、提升推理能力的過程。

教師要借助信息技術手段，設置學習評價項目，科學分析學習過程和結果，推進學生推理能力培養。教師還可以根據差異化評價項目及評價結果，有針對性地對學生推理能力的各個方面的發展進行幫助和指導。同時，可以參考學習評價結果，在保護學生自信心前提下，根據學情組建學習小組，在組內進行互學互助。

在教評實踐中，教師可以借助“班級優化大師”等軟件，對學生評價項目進行合理化設置。如本節課可以設置“合作交流”“數學表達”“邏輯推理”“規范書寫”“大膽質疑”“圖形語言”“符號語言”“文字語言”“發散思維”等9 個項目，在課堂中利用軟件進行學習行為記錄，根據學習評價項目，進行過程和結果分析，然后對學生給予針對性指導。

在課堂教學的自主訓練環節，教師可以讓學生通過上臺講解思路、投屏證明過程、小組合作糾錯等活動，引入學生評價主體，強化師生互動和生生互動，在學習過程中進行生成性評價與激勵性評價，以推動教學相長。

教學中發現，對于圖形與幾何類問題，學生在準確地表達定理內容、合理選擇最優方法、推理過程的嚴格書寫及輔助線的表述上均存在不同程度的問題。此時，教師可以利用軟件對存在問題的每一個學生學習行為進行記錄分析，為學情評價及教學對策提供依據。值得一提的是，教師還應充分了解并尊重學生個體的獨立性和差異性，強化過程性動態評價。因此，教師在實施評價時，應結合學生實際，注意評價方式的多樣性，甚至必要采取“延遲評價”，如在一章結束后或者某一階段學習結束后再生成對應的學習評價報告，讓學困生收獲進步與成功，明確素養提升方向。例如，本節課中，在課堂小結——“收獲與感悟”環節設置了如下問題：

（1）我學會了什么知識點？

（2）我掌握了哪些研究問題的方法？

（3）我還想探究什么問題？

此環節可以用在每一節課中，在學生學習行為分析與自我評價中，啟發及鍛煉其數學思維品質和能力，培養其嚴謹規范表達的習慣，將推理能力的培養和滲透落實到學習行為和點滴生活中。

在小結環節中，教師可以組織學生合理使用思維導圖，踐行“數學思考”。［3］教師可根據本節課或者本章知識結構的特征，采用不同形式的思維導圖進行整合。通過“可視化”的導圖，讓學生熟悉知識之間的聯系，在解決問題過程中循章依法，強化邏輯。

在本節課中，教師還要注意學生對性質、定理的描述是否準確，如發現學生表述不嚴謹，應鼓勵學生及時發現問題，并給予適當的幫助，使學生能夠科學地表達。同時及時記錄下相應的學習分析評價，通過每節課的記錄積累學生的成長歷程，讓學生樹立學好數學的信心。

五、結語

學生是教師工作的中心，發展初中生推理能力，提升數學學科核心素養，需要教師在教學的每一個環節深入地思考，精心地設計，將推理能力培養貫穿于數學教學及評價始終。同時，要充分利用學習分析評價，將合情推理和演繹推理進行有機結合，提升學生推理能力，使學生真正感悟數學之美。