善用結構特征 巧解代數問題

王小梅 陳科融 湯強

［摘? 要］ 代數式的結構特征對解決代數問題至關重要，為使學生對代數式的結構有深入的認知，文章對解題中常見的代數結構進行了梳理并分類，包括“平方和”結構、“分式”結構、“和積”結構與“隱形”結構，并用例子加以解釋和說明.

［關鍵詞］ 數學解題；結構特征；代數問題

有些代數題雖然表述簡短，但學生解決起來有一定的困難，大部分原因是學生辨別數學結構的能力較弱，尤其是變換代數式時不能根據其結構特征有效使用公式與性質，但如果以代數式的結構特征為起點，問題便可快速解決.同時研究表明，學生在代數學習上的困難主要反映在四個方面：對代數的抽象性和形式化不適應；不能熟練運用代數的符號表征系統和形式規則；不能從算術思維過渡到代數思維；不能理解代數結構，不能認識到代數方程和表達式中的結構［1］. 最后一方面是最困難的. 例如，大多數學生不能把類似于（x－3）4－（x+3）4的代數式看成平方差來處理.由此可見，學生缺乏的不是數學理論知識，而是對形式結構的識別力，他們無法看到代數式的內在結構以及意義，故而忘記規則或者誤用造成各種錯誤［1］. 因此，結構特征的識別與使用對解決代數問題舉足輕重. 為了提高學生的結構意識，有必要對中學常見的代數結構進行分類整理.

“平方和”結構

解題時經常會遇到類似于“a2+b2”的代數結構（即“平方和”結構），根據與平方和的關聯度可分為“主平方和”結構與“次平方和”結構：與“主平方和”結構密切相關的有勾股定理、兩點間的距離公式、同角三角函數的平方關系（sin2θ+cos2θ=1）、圓方程以及橢圓方程等；與 “次平方和”結構緊密相關的有完全平方公式、余弦定理、基本不等式、柯西不等式等.

數學高考題中經常會出現利用正余弦定理解三角形或判斷三角形的形狀，明確正余弦定理的適用條件是關鍵.此外，若題目中出現了形如“a2+b2－ab”“a2－b2－c2”（其中的字母a，b，c可以是代數式或三角函數等）的代數式，利用余弦定理求解會快很多，如2020年全國卷Ⅱ理數第17題，題目給出的條件是“sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC”，可以先用正弦定理再用余弦定理進行求解.

余弦定理因其特殊的結構特征，應用廣泛，比如下面這個例子：

“平方和”結構在代數式中居多，不少數學公式均有此特征，解決此類問題的關鍵是識別出題目中代數式的結構特征，聯系相關的數學知識，有時可以借助數形結合思想巧妙解決.

“分式”結構

針對第一類“分式”結構，一般先要對其進行化簡，然后利用相關的數學知識解決問題. 分式化簡的常見方法有除法降次、倒數思想、拆項相消、引入參數等.對于第二類“分式”結構，其結構特征明顯，其中最為突出的是與斜率公式相關的拉格朗日中值定理，在高考的導數壓軸題中多次出現，有時常規思路復雜，計算煩瑣，但從結構特征入手可達到化難為易的目的；此外，點到直線的距離公式也屬于“分式”結構，若能識別題目中涉及的代數式是點到直線的距離公式，則解決過程會簡單很多.下面以第二類“分式”結構為例.

雖然拉格朗日中值定理屬于高等數學內容，高考不能直接用此方法求解，但是原理在學生的認知范圍內，且做選擇題或填空題時可快速得到答案.除此之外，洛必達法則、柯西中值定理、泰勒展開式等高等數學內容有時在解題中也有相同的妙用，可適當了解.

例5 設k，θ∈R，

“和積”結構

“和積”結構是另一種常見的代數結構，主要有兩種類型，一種似“ac+bd”，另一種似a+b=c，ab=d，其中字母表示代數式.

對于“ac+bd”這種結構，與之相關的有柯西不等式、向量數量積的坐標表示、兩角和與差的正余弦公式以及托勒密定理等. 而且，兩角差的余弦公式cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ的證明思路之一是向量數量積的兩種表示方法，既簡便又直觀，其思路來源于兩者相似的代數結構.

例6 （2016年全國卷Ⅰ理數第17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c. 求C.

分析：該題難度不高，利用正余弦定理、三角函數相關公式等知識即可求解，一般采用統一性原則，將角化為邊或者將邊化為角. 方法1：利用余弦定理可將角全部化為邊，得a2+b2－c2=ab，再利用余弦定理求解；方法2：觀察到2cosC·（acosB+bcosA）=c的結構屬于“ac+bd”型，用正弦定理將其化為2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，再利用兩角和的正弦公式也可以求出C. 相比之下，第二種方法明顯要快很多.

形如a+b=c，ab=d的結構，一般與韋達定理相聯系，將其轉化為一元二次方程有解的問題. 除此之外，a+b=c等價于1·a+1·b=c，已知a+b=c，ab=d，通過完全平方公式容易求得a2+b2，因此還可以聯想到柯西不等式. 我們知道平方差公式來源于古代的解方程，已知兩數和與兩數積，求這兩數，可以聯想到初中的平方差公式.下面通過一道經典的競賽題進行說明：

“隱形”結構

有時，題目條件與已學過的公式或定理的代數結構并不類似，但其結構較特殊，仍可以從結構特征入手，比如利用同構思想解決問題.同構是指根據問題解決的需要尋找與之緊密關聯的特殊函數，將關聯函數的基本性質進行遷移并運用于問題解決的過程.同構的目的在于將看似復雜的問題簡單化，從特殊到一般，經歷問題的合理轉化，即抽象問題模型化［2］. 同構思想在數學解題中的應用廣泛，利用同構思想解決代數問題的關鍵是從代數式的結構特征找到對應的函數，利用構造的新函數的性質進行求解.

例8 解不等式（x2－1）2019+x4038+2x2－1≤0.

同構思想是近幾年高考的熱點，其解題策略是：首先，對代數式進行簡單的數學運算，觀察代數式的結構特征；其次，將代數式兩邊的結構一致化，構造新的函數；最后，利用函數的單調性解不等式. 其中，最為關鍵的是識別代數式的結構特征，構造新函數.

綜上分析，可以發現利用代數式的結構特征解決代數問題的有效性.教師需要培養學生的結構意識，善于捕捉代數式的結構特征. 那么，在公式教學中對結構特征的深入講解就很有必要了. 雖然教材沒有強調，但是教師應當幫助學生梳理常見的代數式的結構特征及其聯系. 值得注意的是，代數結構是一種形式，具有高度的抽象性，學生很容易忽視其數學本質意義，只顧形式不考慮實質內容，生搬硬套，忽略適用范圍. 比如學生的錯誤認知“sin（x+y）=sinx+siny”，就是類比“a（b+c）=ab+ac”導致的，原因是學生只關注代數式的形式而忽視了其數學本質（乘法與三角函數是兩種不同的數學運算）. 所以，教師需要同時強調代數式的結構特征和數學本質.

參考文獻：

［1］? 鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］? 唐明超，潘敬貞，袁錦前. 例談同構視角下函數與導數高考試題的求解策略——從2020年高考試題談起［J］. 中學數學研究，2021（05）：45-47.

作者簡介：王小梅（1994—），碩士研究生，從事中學數學研究工作.

通訊作者：湯強（1975—），博士，碩士生導師，教授，從事教師培訓、數學課程與教學論研究工作.