從八省聯考數列題研討線性遞推數列通項公式

［摘? 要］ 新高考下的數列試題，著重對等差、等比數列的定義、通項公式及前n項和公式進行考查，數列與函數、不等式、幾何等知識的綜合依然是高考考查的重要方面.注重貼近教材，創新試題情境，進而達到考查學生邏輯推理和數學運算等素養的目的. 文章結合一道八省聯考數列題，談談對線性遞推數列通項公式的備考，進而把握好數列教學，更好地體現數學的核心素養和價值.

［關鍵詞］ 線性遞推數列；特征根；數學運算

二階遞推數列問題在課改前即大約2010年前一度成為高考的熱點，并且難度居高不下，是高考試題的一道亮麗風景. 課改后數列試題的難度有所下降，主要考查等差數列和等比數列，不再考查或很少考查二階遞推數列，似乎從此數列無難題. 但2021年新高考的八省聯考卻出乎意料地在第一大題的位置就考查了二階線性遞推數列. 其實這并不意外，實際上，二階線性遞推數列已經出現在普通高中課程標準實驗教科書上了.

題在試卷，根在課本. 八省聯考這道數列題與課本題目如出一轍. 課本題目只有一問，是通項公式的探索性試題；而八省聯考數列題設置了兩問，實際上，第（1）問是為第（2）問題求通項公式設置的臺階，這樣就大大減小了試題難度. 另外，八省聯考數列題相對于課本題目來說，要特殊一些，課本題目更具有一般性. 因此，本文先通過對一階線性遞推式進行解法研究，從中提煉出線性遞推數列通項公式的求解通法和一般性結論——特征根法和特征根通項公式. 然后用所得公式求解線性遞推數列的通項公式，體驗公式在簡化運算、縮短解題長度的作用，最后再迂回解答這道八省聯考數列題.

希望本文能使讀者對特征根法的來龍去脈以及所蘊含的數學思想方法有一個比較全面而深刻的認識.

題目再現

題1：普通高中課程標準試驗教科書人教版必修五第69頁復習參考題B組第6題.

題2：八省聯考.

解法探究

1. 一階線性遞推式求通項

已知一階線性遞推式求數列通項公式這是我們所熟悉的問題，所用思想方法是：用一個待定系數構造等比數列或等差數列.

2. 二階線性遞推式求通項

分析：對于二階線性遞推式求通項問題，可以采用方法類比，用兩個待定系數將二階線性遞推式數列求通項公式的問題轉化為一階線性遞推式數列求通項公式的問題來處理.

例4 八省聯考.

解析：（1）證明略；

求二階線性數列的通項公式，既可用特征根法直接求解，也可用證明定理所用的待定系數法和方程思想求解.

作者簡介：繆葦偉（1986—），本科學歷，中小學一級教師，省奧賽高級教練員、徐州市優質課一等獎獲得者、縣帶頭優師、縣數學教研組中心成員.