推廣圓錐曲線的一個定點定值命題

［摘? 要］ 文章通過對圓錐曲線的一個定點問題的探究，得出該問題的一般形式，并且以此為基礎，經過類比遷移，解決了另一個與之相關的定值問題.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；定點定值；推廣

命題研究的一個樸素目標是對命題的結論部分不斷加強，對命題的條件部分不斷減弱，從而獲得命題更為深刻的形式；命題研究的最終目標是為了更好地理解命題，使得原本略顯突兀的命題最終變得簡單自然. 兩者相輔相成，命題的深刻形式有益于認識命題的本質特征. 本文探討吳世星老師提出的一個命題，通過對條件進行減弱，最終得出這一命題的一般形式.

吳世星老師在文［1］對一道解析幾何中的拋物線試題進行了深入探討，運用類比思想最后得出橢圓和雙曲線中也有類似的結論成立，概括如下：

緊接著，吳世星老師對命題1進一步思考后發現可以對圓錐曲線這一定點定值命題的結論部分進行推廣，給出了橢圓和雙曲線兩種情形的命題表述，概括如下：

從這一角度來看，命題1其實是對中學數學教師討論多年的圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題的逆向思考. 事實上，鄒生書老師已經在文［2］中指出：圓錐曲線對定點張直角弦過定點的逆命題是成立的（關于這一問題的推廣最為徹底的是許書華老師在文［3］中提出的）. 可見文［1］提出的命題1并非新命題.

繼續考察文［1］提出的命題2，從吳世星老師證明命題2的過程來看，文［1］限制“點M在圓錐曲線的內部”，這一條件是可以去掉的. 本文要探討的是命題2中的條件“點M在x軸上”是否也能夠去掉. 經過一番艱難計算，最終確認這一條件也是可以去掉的，即如下命題是成立的：

考慮到使用圓錐曲線統一方程證明命題3的計算過程過于復雜，因此下面分橢圓、雙曲線和拋物線三種情形證明命題3.

首先，考察命題3中的橢圓情形：

綜合命題3.1、命題3.2和命題3.3可知命題3是正確的.

推廣命題的動機源于希望獲得對命題的本質理解，然而推廣命題需要關注兩個問題：關注推廣所得命題是否已由他人提出，即注意推廣的創造性；關注推廣命題是否是本質的，即注意推廣的深刻性.

通過上述討論可以發現，前文已經指出吳世星老師獲得的命題1是重復推廣的，而吳世星老師將命題1推廣為命題2則具有創造性.命題2可以視為是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的另一角度的有益探索.

推廣的重復性有時極具隱蔽性而不易察覺，需要小心謹慎.下面以一個案例對此進行解釋說明.

徐道老師曾在文［4］指出張忠旺老師對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的推廣是非實質性的，并且嘗試給出這一問題的一個實質性推廣.徐道老師提出的推廣命題概括如下：

因為點M，N實際上是過定點P的圓錐曲線相交弦的中點，其軌跡是一條圓錐曲線（如圖1所示），而且點P也在其軌跡上. 因此徐道老師提出的這一命題，其實與如下命題是等價的：

實際上這一命題早在文［3］中就由許書華老師提出了，它并非是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”的實質性推廣. 類似的問題也出現在文［6］中. 由此可見，推廣命題是一件非常需要縝密思考的事情，稍微不慎就有可能遭受挫折.

根據查閱到的文獻，發現許書華老師的文［3］是對“圓錐曲線對定點張直角弦過定點問題”從斜率角度給出的最為徹底的推廣. 吳世星老師提出的命題2和本文進一步推廣獲得的命題3則是從向量數量積的角度給出的另一個推廣.

最后需要指出的是：本文從解析幾何的角度給出命題3的證明無法揭示命題3的本質，能否給出本文提出的命題3一個本質的證明呢？囿于自身能力，筆者嘗試了很長時間，始終不得其解. 希望讀者能夠在本文的基礎上進一步思考，給出命題3合理的解釋，那么對命題2的推廣才能算是完整的.

參考文獻：

［1］? 吳世星.圓錐曲線一類定點、定值問題的探究［J］. 數學通訊，2017（16）：40-42.

［2］? 鄒生書. 由一道拋物線競賽題引發的探究［J］. 數學通訊，2017（04）：40-42.

［3］? 許書華. 圓錐曲線頂點定值子弦性質的一般情形［J］. 數學通訊，2013（12）：42-44.

［4］? 徐道. 圓錐曲線的兩個定向、定點問題［J］. 數學教學，2015（06）：15-17.

［5］? 張忠旺. 圓錐曲線對定點張直角弦的包絡問題研究［J］. 數學通報，2013（08）：57-59.

［6］? 林新建. 圓錐曲線的一個有趣性質［J］. 數學通訊，2009（08）：18-20.

作者簡介：傅毓濤（1970—），滁州中學數學教研組長，滁州市學科帶頭人. 先后主持完成省級課題2個，市級課題2個，在《中學數學》《高中數理化》《中學數學教學參考》等雜志發表過多篇文章，指導多名教師獲得安徽省優秀課一等獎.