史海鉤沉教有根的數學課

◇楊凌一（江蘇：啟東市惠豐小學）

2022年版《義務教育課程方案和課程標準》在課程理念方面強調，“關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化”。隨著數學教學改革的逐步推進，教育人對于數學史越來越關注。數學史是數學本源的集中體現，教師只有抓住本源才能認清本質，合理設計教學，提升教學質量。筆者基于數學史的視角，以2022年版課標為導向，立足大單元統整教材，選取蘇教版五年級下冊《分數的意義》一課為例，在概念教學中融入豐厚史料，注重數學概念教學的多樣性和層次性，將數學教育最終落實到立德樹人。

一、勾連歷史，正本清源

分數的意義在不同歷史發展階段的具體解釋也存在一定差異。J.Park 等人根據分數意義的歷史演變，將其分為“部分/整體”“測量”“除法”“集合論”這四種意義；張奠宙將分數的意義概括為“份數”“比”“商”“公理化”。這兩種分類在本質上是相同的。

“部分/整體”。在公元前1700年左右形成的阿梅茲草片文書記載著古埃及人使用符號將整體的一部分表示為分數。該階段是學生初步認識分數階段，蘇教版三年級上冊教材中也有“分東西時，經常出現結果不是整數的情況，漸漸出現了分數”的內容。

“測量”則與“可公度性”有關。公元前300年歐幾里得認為，可以被相同尺度測量的量即為可公度的。單位分數就被視為測量對應分數的基本單位，又稱分數單位，分數就是利用分數單位來“測量”的。這與蘇教版五年級下冊的分數意義中分數單位的內容很貼合。

“除法”與分數之間的聯系，離不開19世紀Galois、Dedekind 等人的貢獻。分數是由乘法的逆運算得到的，這也搭建起分數與運算之間的橋梁。該內容在蘇教版五年級下冊會系統學習。

“集合論”是19世紀末20世紀初康托發明的，最終促成有理數（分數）的產生。該內容涉及更高層次的知識，在小學階段不做討論。

在本節課教學之前，學生已經認識到分數可以表示部分與整體之間的關系，本課主要是讓學生歸納提煉出分數在分單位“1”，脫離具體情境講述分數的意義，明白分數是由分數單位測量得到的。

二、立足大單元，統整教材

每個知識都不是孤立存在的，而是存在于一個完整的體系中，與其他知識有著緊密的聯系。因此在分析教材時，應將本課歸于分數的意義和性質這一大單元，甚至是整個小學階段的分數教學體系中去研究。

（一）教學內容——搭建知識框架

在教學內容方面，教師要搭建完整的知識框架，將一個單元的數學知識點串聯起來。本單元主要學習分數的概念（前期已學過分數的組成、具體情境中分數的意義），單位“1”，分數單位，分數與除法之間的關系，一個數是另一個數的幾分之幾，分數的分類，比較大小包括分數與分數、分數與整數、分數與小數之間的比較大小（前期已學過同分母分數比較大小），分數的基本性質以及通分、約分。主要通過思維導圖在知識點之間搭建橋梁。

本單元共有兩大重點內容——分數的意義以及基本性質。理解分數的意義不僅會影響本單元下階段的學習內容，例如，分數與除法的關系、一個數是另一個數的幾分之幾（找單位“1”）、理解真分數假分數的含義以及分數的基本性質，同時對后面學習分數的運算以及利用分數知識解決實際問題也會產生重要影響。

（二）習題選擇——“1→n”多指向練習

在“雙減”背景下，習題的選擇要體現量少質高的原則。學生通過少量的練習就能夠將一堂課的知識體系聯系起來，有利于發展學生的邏輯思維能力。以本課教學為例，《分數的意義》的練習要讓學生將單位“1”、分數的意義以及分數單位三個核心內容連接起來。因此筆者在安排課堂練習時，選取了書本練習八中的第四題，并對題目要求進行了改編，原題要求是說出分數表示的含義。修改后的要求為：第一，找出單位“1”并說出分數的含義；第二，說出分數單位以及分數單位的個數；第三，探究分數單位和什么有關，分數單位的個數和什么有關。通過適當修改題目，可以充分發揮練習的價值，讓練習涵蓋本節課的知識點，體現一題多指向的原則。

三、聚焦重點，關注生成

“分數的意義”屬于分數領域，而分數又屬于數與代數領域，從數的發展歷程來看，數的產生過程是自然數（整數）—分數—小數。教材在編排時，也遵循了這樣的順序，符合“數”發展的進程。通過調查發現，小學生對于分數概念以及意義的理解比對分數計算的掌握困難得多。為了促進學生認知，加強理解，教師一定要聚焦重點，關注生成。筆者認為本課的重點，一個是讓學生理解單位“1”，另一個重點則是讓學生分清表示具體數量還是關系。

（一）抓住生成，理解單位“1”

課堂伊始，筆者引導學生回顧舊知，基于已有的學習經驗，讓學生用自己的方式表示，并說說所表示的這個分數代表的具體含義。通過觀察，筆者發現，學生會用各種各樣的方式表示，有畫一個蘋果平均分成四份涂一份的，有畫一個正方形平均分成四份涂一份的，還有畫一些圓片平均分成四份涂一份的，等等。此時教師應明確需要，尋找表示“一個物體”“一個整體”“一個計量單位”的作品。

（二）反復比較，深入探究

在引出單位“1”這個概念以后，將學生所說的具體含義進行概括。例如，學生會說“一個蛋糕的就是把一個蛋糕平均分成4 份，取其中的一份”，此時教師應追問：“那有多少個蛋糕呢？”學生會總結出：“一個蛋糕的就是個。”后面學生介紹的時候自然而然會說出“一筐桃子的就是筐”“1 米 的就是米”。教師將其板書后，拋出問題：“和個有什么區別？”學生會發現一個有單位，一個沒有單位，這時候教師揭示：表示的是1 個和個之間的關系，而個表示的則是具體的數量。

在這里安排學生區分關系和具體數量主要是為下面的學習做鋪墊，練習當中會出現許多表示具體數量的分數，讓學生判斷單位“1”是誰，學生往往會混淆。因此筆者在課堂上通過比較，讓學生明確分數帶單位和不帶單位的區別。

四、巧設環節，融入史料

汪曉勤教授曾概括了數學史在小學數學教學中的運用方式：附加式、復制式、順應式、重構式。目前我們課堂中運用最多的是附加式，直接將史料作為閱讀材料。在本課中，筆者主要運用附加式和復制式。

（一）學科特點的體現

在教學“分數單位”這一環節時，筆者引入“古埃及單分子分數”這一史料，通過附加式與復制式相結合的方式，讓學生了解“分數單位”的前世今生。在介紹分數單位就是分子是1 的分數后，筆者對分數單位的知識進行擴展，通過錄音讓學生了解到分數最早出現在古埃及。通過舉例，讓學生了解到古人只能用來表示，從而切實感受到過去人們表示分數的不容易，繼而認識到分數單位和分數單位個數的簡潔性。教師最后拋出問題：“現在你怎么用單分子分數表示？”讓史料鮮活起來，對課堂教學起到一定的幫助作用，并且通過古今方法的對比，體現數學學科簡潔性特點，同時也體現了教學的有效性原則。

（二）教育價值的彰顯

筆者認為，本課的一大重點是突破單位“1”。在課前談話中，筆者通過讓學生在教師的名字中尋找數字信息，將學生的目光聚焦到“1”這個數字上來。通過舉一些生活中的例子，讓學生發現這個普通的“1”并不普通。再運用老子在《道德經》中的名言“一生萬物”，將學生的興趣推至高潮，充分激發學生學習的興趣以及好奇心，對本課中單位“1”的理解和掌握有一定的助推作用。

在本課的尾聲，筆者引用德國的諺語“掉進分數計算里去了”，讓學生明白在過去分數的運算不是一件簡單的事，這不禁又讓學生產生認知沖突——“已經學過的同分母分數運算較為容易，為什么說分數計算很難呢？”同時也為本冊書第五單元“分數的加法和減法”的教學埋下伏筆。

五、總結反思，拔節生長

基于前兩次的經驗，學生對分數有了一定的認識，因此對于分數的意義以及分數單位都能很好地理解并掌握，熟練表述出分數的含義。數學史的融入加重了整堂課的文化底蘊，提高了學生的數學學習興趣以及求知欲。

任何一節課都不是十全十美的，即使在課堂中再三強調關系與具體數量之間的區別，在解釋“時”的具體含義時，仍有學生找不到單位“1”或是找錯單位“1”。在這一類有單位的分數中，找出單位“1”，學生往往錯誤頻出。其實這就與單位“1”所涉及的第三個含義——表示一個計量單位有關。由此可見，學生對于“計量單位”這個抽象的詞，還是有些模糊的。如何處理好這一部分的教學，讓學生深切體會到計量單位也與單位“1”有關，在今后的課堂教學中還要繼續深入研究。

課后，我對學生進行了相關的訪談，了解數學史融入課堂教學的情況。學生了解到與分數相關的歷史知識，知道了分數單位的源起，還有的學生已經將課上所學到的“掉進分數計算里去了”應用起來。更多的學生表示，希望課堂上有更多有趣的數學史故事呈現。通過學生的反饋，讓筆者真實地感受到數學史融入課堂給學生帶來的變化：豐富了學生的學習體驗，積淀了數學文化素養。對于教師而言，在備課、上課的過程中，擴展了自身的知識面，不僅有助于提升課堂教學能力，自身也獲得了成長。

人們對分數的認識經歷了“從畏懼到接受、從形象化到抽象化再到具體化”的復雜演變過程。在小學階段，分數內容對于邏輯推理能力尚弱的小學生來說，具有一定難度，而數學史正能喚醒課堂的活力，讓數學學科有了更多的人情味。這也決定了數學文化融入數學課堂的必然趨勢。一線小學教師不僅是數學史料的學習者，更是數學文化的傳播者。把數學史融入日常課堂教學，讓數學史與教學深度融合，既是課堂上跨越時間與空間的相融，也是數學家與小學生創造經歷的相融。教數學要教有根的數學。