萃取數(shù)學史 建構概念課
——以蘇科版八上“平方根”為例*

魏宇亭 (江蘇省邳州市戴莊中學 221347)

1972年第二屆國際數(shù)學教育大會(ICME-2)在英國舉行，會上組建了“數(shù)學史與數(shù)學教學之關系國際研究小組”(簡稱為HPM)．該組織成立后，致力于數(shù)學史在數(shù)學教學中的應用研究，如美國數(shù)學史專家福韋爾指出數(shù)學史具有可增加學生的學習動機，有助于學生理解概念等教育價值；美國學者瓊斯認為用數(shù)學史進行新課引入可以幫助學生“發(fā)現(xiàn)”新概念或新思想方法．史寧中、孔凡哲教授也指出，數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學教育是數(shù)學文化的教育，而數(shù)學史是數(shù)學文化的一種載體，數(shù)學史融入數(shù)學課程有助于學生理解數(shù)學．[1]基于上述理論，筆者在徐州市級同課異構活動中，通過萃取數(shù)學史建構概念課，執(zhí)教了蘇科版八上“4.1平方根”一課，得到與會師生的好評．

1 教材分析

1.1 基于知識鏈的教材分析

本課是蘇科版數(shù)學八上(以下簡稱為教材)第四章第1節(jié)．七年級時，學生已學習了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方等運算，能識別簡單的無理數(shù)．本學期，學生已學習勾股定理，經(jīng)歷了運用平方求直角三角形邊長的過程，奠定了學習平方根的基礎．本章將學習實數(shù)的概念，八下將學習二次根式，九上將學習解一元二次方程．因此，平方根是重要的概念樞紐，發(fā)揮承前啟后的作用，體現(xiàn)課標對重要數(shù)學概念螺旋式上升的要求．據(jù)此，可繪如圖1所示的結構圖．

圖1

1.2 基于數(shù)學史的教材分析

·蘊藏勾股定理的歷史背景

本課教材中設計了如圖2的引圖，要求學生在邊長為1的網(wǎng)格中求AB,A′B′的長，雖然AB,A′B′是矩形的對角線，但實質是運用勾股定理求解，圖形上略顯復雜，會給部分學生帶來識圖困難．因此，抓住勾股定理這一線索，依據(jù)HPM的理念，萃取畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理后提出萬物皆數(shù)的數(shù)學史，直接創(chuàng)設求直角三角形邊長的情境，劍指學習平方根的必要性，既可達成引圖的目標，又能解決識圖困難，讓學生在傳承有序、自然而然的數(shù)學史情境中建立新概念．

圖2

·蘊藏發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的歷史背景

2 教學設計

2.1 跨越時空，引出概念

(1)出示圖3，回顧郵票的圖案是根據(jù)勾股定理設計的．

圖3 圖4

(2)出示圖4，數(shù)學史：在西方，勾股定理被稱為“畢達哥拉斯定理”，它是古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的.畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理后，試著從數(shù)學擴大到哲學，用數(shù)的觀點解釋世界，經(jīng)過刻苦實踐，提出了“萬物皆數(shù)”的觀點，這里的數(shù)是指一個精確的數(shù)字，隨后逐漸形成畢達哥拉斯學派．

(3)出示圖5，求直角三角形第三邊長，經(jīng)歷運算過程，體驗“萬物皆數(shù)”的觀點．

(4)出示圖6，數(shù)學史：希帕索斯是畢達哥拉斯學派中一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數(shù)學家，他在研究勾股定理時，發(fā)現(xiàn)了一個大問題．

圖5 圖6 圖7

(5)出示圖7，求腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長，用逼近法，感受斜邊的數(shù)值特征．

(6)數(shù)學史：希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，打破了畢達哥拉斯萬物皆數(shù)的權威，史稱“第一次數(shù)學危機”．他堅持真理，并付出了生命的代價．后世數(shù)學家在此基礎上定義了新數(shù)字，開創(chuàng)了新運算．

設計意圖萃取與畢達哥拉斯和希帕索斯相關的數(shù)學史創(chuàng)設情境，在求等腰直角三角形斜邊的問題中，讓學生感受無理數(shù)的客觀存在性、數(shù)字擴充的現(xiàn)實性、開創(chuàng)運算的必要性，為建構概念奠定思維基礎，用希帕索斯寧死求真的故事對學生進行情感、態(tài)度、價值觀的教育，發(fā)揮學科育人功效．

2.2 抽象本質，生成概念

·建立互逆，感悟特征

(1)出示圖8左側3題，快速求解．

(2)追問：請舉出相同的例子，有何發(fā)現(xiàn)？

(3)出示圖8右側3題，學生思考后，指名回答．

圖8

(4)追問：你有什么發(fā)現(xiàn)？

設計意圖建立互逆關系，使學生感悟運算的互逆性及已知冪和指數(shù)求底數(shù)的運算特征．

·追問促思，生成概念

(1)指名回答，組織討論，統(tǒng)一意見．

若x2=0，則x=；若x2=-4，則x=．

(2)抽象本質，逐步建構，生成概念．若用字母a表示等號右邊的數(shù)字，則可表述為：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根．

(3)追問：若x2=2，則x=．

2.3 列表歸類，探究概念

(1)整理下表，設問：觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

a9140.1620-4a的平方根±3±12±0.4±20無

(2)學生思考，小組合作，發(fā)表意見．

(3)小結：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．

(4)開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運算叫開平方．

2.4 例題教學，運用概念

(2)先出示①至③，指名回答；再依次出示④至⑥，討論完成．

2.5 辨析鞏固，深化概念

(1)判斷下列說法是否正確：① -5是25的平方根；② 25的平方根是-5；③ 0的平方根是0；④ 1的平方根是1；⑤ (-3)2的平方根是-3．

(2)學生在獨立思考、小組討論后完成辨析．

設計意圖辨析討論，學生進一步感悟平方根的概念和性質．

2.6 課堂小結，升華概念(略)

2.7 沙場點兵，鞏固概念

組織學生以搶答的形式，解答習題．

(1) 4的平方根是( )．

A.16 B.±4 C.±2 D.8

(2)如果1.2是a的平方根，那么另一個平方根是．

(3)一個實數(shù)的平方根是a+3和2a，則a=．

2.8 板書設計

本節(jié)課的板書設計如圖9所示．

圖9

3 教學反思

3.1 萃取數(shù)學史，創(chuàng)設產(chǎn)生概念的模擬情境

3.2 萃取數(shù)學史，建構概念體系的知識鏈條

3.3 萃取數(shù)學史，在概念教學中滲透“三會”