GeoGebra軟件在高中數學“協作式學習”教學中的應用探究*

江后國

（合肥一中教育集團北城分校 安徽合肥 231100）

引言

GeoGebra=Geometry（幾何）+Algebra（代數），同時具備了處理幾何繪圖和代數運算的功能，是一套包含處理幾何、代數、微積分、概率統計等功能的動態軟件，是輔助數學教學的優秀軟件，尤其對于高中數學，因此在當前的高中數學教學中逐步得到深入使用，有著更高的探討價值。

一、GeoGebra軟件在高中數學“協作式學習”教學中的應用優勢分析

GeoGebra軟件的優點主要集中如下：完全免費；有電腦版、網頁版、手機版，更加友好，容易操作；幾何屬性多，可以進行統計分析、3D繪圖；有輸入框，使用者可以使用、下載、修改與發布軟件的可執行程序及程序源代碼[1]。GeoGebra軟件的主要功能包括：第一，作圖編輯。這是它的主要功能，包含平面作圖、和立體作圖。第二，解題驗證，比如定點問題、零點問題、取值區間問題等等。第三，動態導出，制作素材，隨時發送、隨時演示。

GeoGebra對于學生而言，不僅可以激發他們的數學學習興趣、豐富學習方式，還可以增強課堂參與度和理論聯系實際的能力[2]。對于老師而言，GeoGebra不僅可以優化教學內容的呈現方式、提高工作效率，還可以促進教師不斷學習、不斷創新，從而為學生帶來更新、更豐富、更實用的內容。學生在耳濡目染之下，最終將這種終身學習和不斷追求進步的精神內化于心，外化于行。GeoGebra描點快、畫圖快，避免進行重復工作，畫圖更精準，為探究性質提供了有利條件；讀點坐標更精準，驗證做題的準確性、驗證點坐標與解析式方程解的關系、延伸了學生學習的內容、拓展了學習的過程、豐富了學生學習的手段；GeoGebra圖形計算器是學生的數學實驗室，學生通過動手操作，主動探究，發現問題、解決問題，提高了學習興趣。

二、基于GeoGebra軟件的高中數學“協作式學習”教學主要環節設計分析

1.協作式學習小組的提前劃分

協作式學習教學課堂的展開，需要提前完成學習小組的劃分。在教學實踐中，要求教師要切實參考學生以往的數學成績、性格特點等因素，完成協作式學習小組的合理分配。在此過程中，需要遵循的原則主要如下：第一，互補原則。教師要安排數學學習能力較強與數學學習能力較弱的學生共同組建起學習小組，保證小組內各個學生之間能夠實現優勢互補，形成“幫扶式”學習小組。第二，均等原則。將學數學學習能力維持在中等水平的學生劃分為一個小組，組建起“促進式”學習小組。在此過程中，教師還要對學生使用GeoGebra軟件的能力水平進行充分考量，結合對學生使用該軟件能力的調查，完成小組劃分，保證所有學習小組內至少存在一位軟件使用能手。在此基礎上，教師還要對學生表達能力進行考量，確保所有小組內均包含表達能力較弱以及表達能力較強的學生[3]。

一般情況下，單個學習小組的人數需要維持在五人及以下，以此保證學生能夠在組內實現充分交流與溝通。需要注意的是，當學生熟悉這種教學方式之后，教師可以引導學生展開自行分組的操作，讓學生掌握方法，知曉內涵，不拘泥于形式展開協作式學習。

2.組織學生展開自主學習研究

教師要引導學生自主展開教材閱讀，并探究GeoGebra數學對象，對待學習的數學新概念形成初步認知。在此過程中，教師應要求學生結合教師提前準備的導學單以及GeoGebra課件，完成對課堂學習內容的自主學習與探索。在傳統教學模式下，學生展開自主探究學習所面對的阻礙主要為教學對象不直觀、自學過程中反饋、較少、學生之間缺少互動等等，導致學生針對一些數學概念存在理解錯誤的問題，或是難以全面理解相關知識點內容。而在基于GeoGebra軟件的“協作式學習”教學模式下，由于教師提供GeoGebra互動課件，所以學生能夠直接利用GeoGebra軟件完成互動性更強、直觀性更為明顯的自主學習，促使學生的自學興趣以及實際自學研究成效均表現出明顯提升的發展趨勢。在此過程中，學生能夠對待學習的內容進行擁有全面性與直觀性的了解，針對不理解的地方也能夠形成更為明確的視覺印象，從而達到規避盲目聽課問題發生的效果。

例如，在人教版高中數學“平面向量的分解及加減運算的坐標表示”相關知識點相關內容教學中，教師可以在自主研學階段為學生提供GeoGebra課件，對向量如何分解、各分解后向量的其他任意線性組合向量等進行描述，促使學生針對向量分解的唯一性進行理解與探索。在進行課件發送期間，教師需要對該課件的使用進行簡單描述，引導學生利用課件以及GeoGebra對圖形對象展開探索，熟悉平面向量的分解操作。依托這樣的方式以及軟件的互動探索實踐，學生能夠直觀了解向量分解過程，并形成動態視覺圖像，進一步深化學生對向量分解這一概念的理解，提升學生自主學習研究的現實成效[4]。

3.鼓勵學生進行深入探討交流

在討論交流階段，教師要引導學生在將自主學習階段的成果進行展示，以軟件以及語言配合紙筆作為交流媒介，促使所有學生主動參與探討交流，讓學生全面展現各自的思維方式，主動進行問題提出、探索、質疑以及解決。在此過程中，教師可以向學生提出問題，并鼓勵學生在小組內完成探討解決；針對一些單個小組無法解決的問題，可以引導學生聯合其他小組共同完成討論，或是在教師的引導下，在班級內探討與講解。此時，教師要著重維護學生之間的互助與協作，著重鼓勵學生展開自主思考與主動性表達，促使學生深入理解知識點，并實現對學生探究能力表達能力的更好培養。

在這一階段，教師可以投放基于數學概念的GeoGebra課件，同時新增可以支持學生展開探討交流的習題課件例題課件，方便學生對學習成果進行深化，引導學生在軟件上嘗試利用各種操作與互動，了解習題、解答習題。

4.帶領學生歸納總結所學知識

在鞏固歸納環節，教師主要完成對學生遺漏、誤解等問題的有效解決，強調歸納點評知識點，促使概念系統化。實踐中，依托GeoGebra課件向學生提供容易發生錯誤或是不規范的地方，并結合實例進行深入講解，引導學生自主輸入GeoGebra命令，完成數學對象的構建。針對一些難以進行理解的概念與方法，可以利用GeoGebra從不同角度完成解讀，并歸納總結要點內容。在教師進行知識點講解、歸納的過程中，學生可以依托與該軟件之間的互動，完成軟件上學習對象的自主操作，從而達到鞏固升華知識點、完成學習查缺補漏的成效。需要注意的是，在進行課堂效果檢測以及布置作業的過程中，教師不應當使用GeoGebra軟件。

三、基于GeoGebra軟件的高中數學“協作式學習”教學實踐要點分析

1.保證學生能夠熟練使用GeoGebra軟件

在使用GeoGebra軟件展開高中數學“協作式學習”教學之前，教師必須要讓學生學會GeoGebra軟件的基本使用操作。雖然，GeoGebra軟件簡單易學，但是對于一般高中學生而言，對其基本使用功能進行掌握也需要一段時間。基于這樣的情況，教師可以在復習課上嘗試引入GeoGebra軟件展開教學，通過教師提供所復習知識點相關的一些例子，以及針對相應軟件的簡單操作展開講解，促使學生逐步了解熟悉GeoGebra軟件的基本使用操作，避免對學習進度產生較大負面影響的同時，也使得學生切實掌握該軟件的基本使用功能。依托這種復習課的多次展開，學生初步了解并基本熟悉GeoGebra軟件的使用。此時，教師可以在后續的新知識點教學過程中，在“協作式學習”課堂內逐步引入GeoGebra軟件[5]。這時，需要教師提前完成對所需GeoGebra課件的準備，確保學生能夠將更多的學習精力投放在數學知識點學習方面，而不是熟悉軟件操作方面。另外，在展開與GeoGebra軟件的高中數學“協作式學習”教學實踐中，教師選擇切入的時機和融合度特別重要，如果學生通過GeoGebra軟件輔助探索獲得清晰的認知，那么輸入大腦信息的清晰度也是很高的，將來解決問題輸出也會是有很高的清晰度，從而達到更好提升高中數學“協作式學習”教學質量水平的效果。

2.優化搭建GeoGebra在線數學實驗室

GeoGebra在線數學實驗室是基于GeoGebra數學實驗開發的高中數學探究實驗室。實驗室使用數學軟件GeoGebra制作數學實驗課件和Applet小程序，模擬數與形的變化，通過“直觀感知、操作確認、思辨論證”來達成實驗目標。實踐中，相關教師需要依托GeoGebra平臺，精心搭建在線數學實驗室，以數學實驗帶動知識的生成和應用，用“協作式學習”的教學方式組織教學，探索GeoGebra數學實驗與探究學習的整合。課程集問題系列、實驗引導、實驗小程序（Applet）、動畫演示為一體，在線數學實驗經過科學設計后能夠實時監測并記錄學生的操作情況，可根據學生的具體情況開展前測、實驗操作、后測，生成個性化的數據報告，教師可根據數據開展個性化指導。

通過學習GeoGebra的使用以及開展相關數學實驗學習活動，學生有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程，大大增加了數學的趣味性。教師在線數學實驗室將抽象的數學問題直觀呈現給學生，能夠為數學學習注入了活力，充分調動了學生學習數學的積極性，加深了對知識的理解和應用。學習GeoGebra數學實驗不僅可以提升學生的數學能力、信息技術應用能力，更能鍛煉學生的邏輯思維和探究能力。教師應當持續充實完善GeoGebra在線數學實驗室，將其應用于高中數學教學，發展數學思維、提升數學關鍵能力、提升數學核心素養。

3.著重維護教學中GeoGebra軟件使用的合理性

誠然，應用 GeoGebra 軟件展開教學有著較大的優勢，但是在實際的教學實踐中，教師要避免盲目使用 GeoGebra軟件，著重把握以下注意事項：

第一，選擇是否用GeoGebra輔助教學要根據教學目標而定，脫離了教學目標，微課教學也就失去了意義。在內容選擇上，教師可根據教學內容的類型選擇是否利用微課教學。如在數學史方面，傳統的課堂教學并不能起到很好的培養學生科學態度與責任而良好的微課卻能夠觸發學生的心靈。在教學目標上，往往有側重點和難點，對于這一部分，教師可根據實際需要來自行決定是否利用GeoGebra輔助教學。

第二，用GeoGebra輔助教學起輔助作用，而不能完全替代教學。用GeoGebra輔助教學雖然有優勢，但是一堂課的時間往往在40-45分鐘左右，而用GeoGebra輔助教學通常在10分鐘之內，因此用GeoGebra輔助教學是課堂教學的一部分，教師切不能把一整節課都用GeoGebra輔助教學來上，導致失去與學生的互動交流。

第三，用GeoGebra輔助教學要以學生為主體。課件的制作者是教師，而課件的接受者是學生，教師在設計課件時容易忽視學生的主體地位。因此，教師只有以學生為主體，用GeoGebra輔助教學才能發揮應有的作用，教師切不能把自己當成用GeoGebra輔助教學的觀眾，自我欣賞。

結語

綜上所述，GeoGebra在高中數學教學中有著較高的應用優勢，教師應依托教學環節的合理設置，確保學生能夠熟練使用GeoGebra軟件，優化搭建GeoGebra在線數學實驗室，著重維護教學中GeoGebra軟件使用的合理性等要點的落實，進而推動了高中數學“協作式學習”課堂教學的升級。