例談三類二次函數問題的解法

杜佳星

二次函數是一種基本初等函數.二次函數問題的常見命題形式有求二次函數的解析式、最值、對稱軸、單調區間、零點等.這類問題側重于考查二次函數的圖象和性質.下面重點談一談如何求解有關二次函數的最值問題、零點問題和不等式問題.

一、二次函數的最值問題

二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線，若a>0，則拋物線的開口向上；若a<0，則拋物線的開口向下.當x=-b2a時，函數在R上有最值b2-4ac4a.若函數的定義域為[m，n]，則需分三種情況考慮：（1）當-b2a∈[m，n]時，函數在x=-b2a處取得最值；（2）當x=-b2a，在[m，n]的左側時，若a>0，則函數在x=m處取最小值，在x=n處取最大值，若a<0，則相反；（3）當x=-b2a在[m，n]的右側時，若a>0，則函數在x=m處取最大值，在x=n處取最小值；若a<0，則相反.

例1.

所以二次函數圖象的開口向下，當x=-65時，函數有最大值1.

利用二次函數的圖象，即可確定二次函數在對稱軸處取得最值.除了用圖象法求解最值問題，還可以用配方法，比如y=x2＋4x＋3=（x+2）2-1，可知當x=-2時函數的最小值為-1.

例2.

第一個問題中的函數對稱軸x=-32∈[-2，3]，所以函數在x=-32處取得最小值，在距離對稱軸較遠的點處取最大值.第二個問題中的函數對稱軸為x=-2a-12，其中含有參數，需對其取值范圍及其與定義域[-1，3]之間的關系進行討論，才能確定函數的最小值.

二、二次函數的零點問題

我們知道，一元二次方程的根就是二次函數與x軸的交點的橫坐標，即二次函數的零點.在求解二次函數的零點問題時，可以通過求一元二次方程的根來求函數的零點.求解一元二次方程的根的方法很多，比如利用求根公式、配方法、十字相乘法.

例3.

一元二次函數y=ax2＋bx＋c（a≠0）的零點與一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的判別式Δ有以下關系：

當Δ>0時，ax2＋bx＋c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根x1，x2，此時，二次函數與x軸有兩個不同的交點，即x1，x2是函數的零點；

當Δ=0時，ax2＋bx＋c=0（a≠0）有兩個相等的實數根x1=x2，此時，二次函數與x軸有1個交點，即x1（x2）是函數的零點；

當Δ<0時，ax2＋bx＋c=0（a≠0）無實數根，此時，二次函數與x軸沒有交點，即函數沒有零點.

三、二次函數不等式問題

解二次函數不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，往往要先求方程ax2＋bx＋c=0的根，然后根據二次函數的圖象，確定y>0或<0時對應的x的取值.一般地，ax2+bx+c>0（a≠0，Δ=b2-4ac）的解有以下幾種情況.

例4.

解含參數的二次函數不等式的一般步驟為：第一步，將不等式化二次項系數大于0的方程；第二步，根據求根公式，或通過因式分解，求得方程的根；第三步，根據一元二次方程根的分布情況畫出對應的二次函數草圖；第四步，根據圖象寫出不等式的解集.

可見，求解二次函數的最值、零點問題、不等式問題，都需要運用函數的圖象、性質，方程的根以及判別式，因此，在解答二次函數問題時，同學們要學會將問題與函數的圖象、方程關聯起來，靈活運用數形結合思想、方程思想來輔助解題.

（作者單位：甘肅省靖遠縣第一中學）