體現共情理念的數學教學設計研究
——以“勾股定理的逆定理”為例

司雋男 張 杰

(淮北師范大學數學科學學院，235000)

教學藝術的本質不在于傳授知識,而在于激勵、喚醒、鼓舞.在數學教學的過程中,如果教師只是將知識通過一系列教學活動“奉獻”給學生,不與學生進行情感上的交流,那么學生所學到的只是冰冷的空中樓閣.唯有從心理上理解并認同這些知識，學生課上才能火熱地思考，并讓知識內化于心.

一、“共情”的內涵

“共情”一詞屬于心理學的范疇,最早由美國心理學家鐵欽納所提出,之后羅杰斯首次將共情從理論層面運用于實踐層面[1],不同學者對其有不同的詮釋.通常來說,共情是指能夠體驗他人的內心世界,對于他人的處境能夠感同身受,既能夠理解其情感,又能夠對其情緒進行客觀且理智的分析.共情既是一種心理過程,又是一種能力.對于教師而言,在日常教學過程中,需經常踐行共情,識別、感受并且接收學生的情緒狀態,及時調整教學方式.

共情是一個具有多維度的復雜概念,由三個部分組成,如圖1所示.其中情緒共情處于核心部分,是三種共情中較為內隱的部分;而行為共情處于最外層,是三種共情中最直觀表現出來、最易發現的.

認知共情是指認同學生的想法或觀點,能夠快速且準確地識別學生的情緒，理解學生的感受,認同學生的觀點的能力.情緒共情是指教師能夠與學生換位思考,體驗學生當下的情感,對學生的情緒狀態產生共鳴.行為共情是指教師能夠對學生所表現出的情緒行為給予學生以鼓勵或者幫助,從而激發學生學習數學的信心.

二、共情在數學教學設計中的體現

對一名數學教師而言,“共情”就是指教師能夠敏銳地感知到蘊藏在學生的言語、神情之中真正的需求,意識到學生在學習數學時產生的諸多困惑,從而在教學設計時就從學生的心理出發,幫助學生構建數學知識的框架結構.

對學生而言，他們能夠產生數學認識主要是由情緒、認知以及行為這三個方面共同作用的結果.情緒方面主要指心理內驅力,這是學生豐富數學知識認識以及生長新知識的心理動力;認知方面主要指構建新知識的平臺,包括學生原有的認知結構、學習方法、數學思維等方面;行為方面主要指通過師生之間、生生之間情感交流的方式形成數學認識.

因此,教師在設計數學教學活動時應當注意在這三個方面與學生共情,站在學生的立場上,促進數學知識構建活動的發生.一是要情緒共情,教師從學生的心理出發,設計學生感興趣的情境,引入教學內容,調動學生學習新知識的動力;二是要認知共情,教師要分析學生現有的認知結構,找到學生的“認知出發點”,在學生的最近發展區內,鼓勵學生運用已有知識,成功生長出新知識;三是要行為共情,教師在教學過程中不僅通過鼓勵性的言語與學生進行交流,更要進行非語言性的溝通,走入學生的內心[2],敏銳地捕捉到并充分利用課堂上教學機會,豐富數學教學的素材,增強學生學習數學的動力.實際教學中,這三種共情應該是貫穿始終的.教師通過多維度、多方面與學生共情,不僅能夠豐富學生數學知識結構,而且能夠建立良好的師生關系,營造和諧的課堂氛圍[3].

三、基于共情理念的數學教學設計示例

共情能力能夠幫助教師快速地與學生的情緒狀態關聯起來,在數學課堂教學中發揮著十分重要的作用.下面以“勾股定理的逆定理”的教學設計為例,闡明如何運用共情理念于數學課堂之中,主要分為理解——共情——認同這三個步驟,層層遞進,從而強化學生對于數學知識的理解,提高教學效果.

1.理解——激發興趣

教師在數學課堂中要從學生的角度出發,以他們感興趣的話題切入,激發其進一步探究的興趣.

師:請同學在紙上畫一個直角三角形.老師看到大家都想到借助三角板或量角器幫忙,可是在古埃及的時候是沒有任何工具的,大家知道他們是如何構造直角的嗎?

注從學生思維最近發展區出發,以一個簡單的問題作為本節課探究的出發點以及新知識的生長點.面對教師提出的問題,學生們都能夠應對自如,這增強了他們繼續學習的信心.教師就有意利用了“認知共情”.

師:觀看一段視頻(關于古埃及人如何構造直角三角形),說一說你提取到哪些數學信息.

生:古埃及人以打繩結的方式,分別找到3，4，5個結間距,從而構出一個直角三角形.

師:總結的非常到位.

注通過古埃及人的故事,激發學生繼續探索的好奇心和求知欲,將學生“卷入”課堂,啟發學生思考,逐步深化,進而拉開證明勾股定理逆定理的序幕.此外,教師對學生的回答表示肯定,給予了學生學好數學的信心,與學生進行情感上的交流.教師就有意地利用了“情感共情”和“行為共情”.

2.共情——探究活動

教師發揮共情能力的最終目的是為了在教學過程中引起學生的共鳴.因此,教師創設的情境既要與新知識相關,又要是學生能夠理解并接受的,只有這樣才能真正驅動學生深入探究.筆者在勾股定理的逆定理的教學設計中設計了如下探究活動,以期引起學生的共鳴.

師:請學生們拿出事先準備好的小棒,嘗試用第一組小棒(長度分別為3，4，5厘米)構造出一個三角形,大家有什么發現?

生:構造出來的三角形是一個直角三角形.

師:拿出第二組小棒(長度分別為5，12，13厘米)和第三組小棒(長度分別為6，8，10厘米),再次構造三角形,你又有什么發現?

生:構造的這些三角形都是直角三角形.

師:有沒有發現這三組小棒的長度的特點?

注教師引導學生利用上節課所學的有關勾股定理的知識,大膽發表觀點,這就是為學生提供了新知識生長的“合適根據地”,給他們一個思考的支點與方向,不至于漫無目的地探索.同時，也調動學生找到已有知識結構中能夠承接新知識的部分,便于后面新舊知識的同化與順應.教師就有意地利用了“認知共情”.

生:每組小棒的長度都是勾股數,并且滿足a2+b2=c2.

師:看來大家對勾股定理掌握得牢固.在這位同學猜想的基礎上,是否可以更進一步?

生:當三角形的三邊滿足a2+b2=c2時,這個三角形就是直角三角形.

師:精確！

注如果教師直接拋出“三邊滿足a2+b2=c2的三角形是直角三角形”這個問題,組織學生討論如何證明,看似啟發學生思考,實則是只啟不發,起不到引導作用,甚至會導致學生對新知識的抵觸情緒.數學教學不是枯燥知識的傳遞,而是內心情感的交流.因此通過上述的探究活動,引導學生自主發現問題,大膽猜想,體驗學習數學的樂趣.這里,教師就發揮了“情感共情”“認知共情”以及“行為共情”,實現師生共情,共同構建知識結構框架的目的.

3.認同——證明定理

通過一系列的探究活動,教師引導學生猜出勾股定理的逆定理.下面教師啟發學生對猜想進行嚴格證明.

師:同學們,猜想的正確性需要嚴密的證明.小組之間討論,看看有沒有好的證明思路.

生:想要證明?ABC是直角三角形,只需證明∠C=90°即可.

師:那你有什么好的辦法嗎?

生:想要證明∠C=90°,只需證明∠C與一個直角相等即可.

師:想法獨到!不妨構造∠C′=90°,如圖2所示,令B′C′=a,A′C′=b.現在連結A′B′,你能求出A′B′的長嗎?

生:依據上節課所學的勾股定理的相關知識,知道了A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2,又因為已知a2+b2=c2,所以A′B′=c.

注充分利用學生的已有認知,找到適合新知識生長的“根據地”,促使學生不斷豐富原有的知識結構.在師生共情基礎上,構造出了Rt?A′B′C′,下面只需證明∠C=∠C′=90°即可.

師:我們之前遇到證明兩個三角形對應邊相等或者對應角相等等類似問題時,通常會采取什么方法?

生:通常會證明兩個三角形全等,利用全等三角形的性質進行證明.

師:你可真厲害,接下來如何證明?ABC≌?A′B′C′呢?

生:在?ABC與?A′B′C′中,有BC=B′C′,AC=A′C′,AB=A′B′,

所以?ABC≌?A′B′C′.

師:證明過程很簡潔.既然已經證明出兩個三角形全等,你能得到最終的結論了嗎?

生:由于?ABC≌?A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,因此?ABC是直角三角形.

師:邏輯非常縝密.由此我們就證明了上述猜想的正確性,這也就是勾股定理的逆定理.即如果三角形的三邊長a,b,c,滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

注在原有認知結構的基礎上幫助學生構建起有關勾股定理的逆定理的知識結構,在枯燥、復雜的數學知識之間,找到了新知識的落腳點.引導學生證明猜想的過程教師有意地運用了“情感共情”“認知共情”以及“行為共情”.

四、結束語

如果學生所學的新知識不能與舊知識之間建立有效的聯系,新知識就如同無源之水、無本之木,學生并不能真正的掌握,更談不上靈活運用.因此,教學設計一定要為學生在新舊知識之間連起一條“紐帶”,而教師的共情能力正是編織這條“紐帶”的必要材料.

“情緒共情”激發了學生發生數學知識認識的內驅力,促使教師站到學生的身邊,與學生感同身受.對于學習主體來說,學習數學知識其實正是利用已有的認識結構同化新知識的結果,作為教師有必要幫助他們找到聯系新舊知識的突破口.而“認知共情”就是一條連接新舊知識的“紐帶”,能夠幫助學生找到“認知出發點”.特別地,這條“紐帶”是學生與教師合力編織的,學生積極參與其中,主動探究.“行為共情”促使教師在數學教學的過程中適時地針對學生的課堂表現給予語言性或者非語言性的正確表達.學生能夠在教師鼓勵與支持下,找到學習數學的信心與樂趣,從而自發地對數學問題進行探索.因此,教師需要提高共情能力,這樣才能實現預期的教學效果.