微積分方法在概率論教學中的運用

余月力，胡 慧

（1.武漢大學數學與統計學院 湖北 武漢 430072；2.湖北第二師范學院數學與經濟學院 湖北 武漢 430205；3.南昌航空大學數學與信息科學學院 江西 南昌 330063）

在大學工科概率論的教學中，特別是涉及連續型隨機變量時，往往需要運用大量微積分的計算。由教學反饋的情況來看，求解二維連續型隨機變量函數的概率密度函數，需要運用較多微積分的方法和技巧，對很多學生來說是一個難點。筆者在教學中發現，學生未嚴格推導，只通過簡單類比已有公式，得到的結論往往是不正確的。本文將通過二重積分計算以及二重積分變量代換的一些思路和方法，以一種新的方式，幫助學生理解和掌握二維連續型隨機變量函數的概率密度函數的計算和相關公式的推導。

1 常見方法以及難點

對于二維連續型隨機變量（X，Y），已知其聯合概率密度函數f（x，y）,隨機變量Z=g（X，Y），如何求解隨機變量Z的概率密度函數？常見的方法有下述兩種[1-4]。

方法一，先求隨機變量Z的分布函數Fz（z），再將分布函數求導即得到概率密度函數fz（z）。具體而言，通過

來計算隨機變量Z的分布函數，其中積分區域

則隨機變量Z的概率密度函數為

下面，通過具體的例子來分析這一方法的運用。例如求解Z=X+2Y的概率密度函數，（X，Y）的聯合概率密度為

與通常微積分課程里二重積分的計算不同，在微積分課程里計算二重積分，積分區域往往是平面內一個確定的區域，被積函數在該區域上也是唯一的一個函數表達式。而在計算分布函數的時候，這時積分區域D是與z有關的區域，即區域D的邊界或端點往往與z有關。同時，被積函數中聯合概率密度函數f（x，y）是分塊定義的，在不同的區域上表達式是不同的或者在某些區域上取值為0。因此真正需要積分的區域是區域D與聯合密度函數不為0的區域G的公共部分。因此需要分情況討論，當z≤0時，D與G的公共部分為空集；當0

由上面的分析可知，此方法的麻煩之處在于對于不同的z，積分域D不同，需要對不同取值范圍的z，分情況討論。這需要先分不同情況計算二重積分再計算導數，計算量較大。

方法二，即積分轉換法。若對于任意的有界連續函數h（z），下面的等式

成立，則Z的概率密度函數為

在上述積分等式的轉化中，需要把對x，y的二重積分轉化為對z的定積分。在本文參考文獻中，往往先進行定積分的換元，再交換積分次序。這里的定積分換元，被積函數是二元函數，對其中一個變量積分。故定積分的換元相當于含參變量的定積分作換元積分，因此對于非數學專業的學生往往不習慣也不熟練。在第三節，我們將運用新的思路來處理，即運用二重積分變量代換的方法來取代參考文獻中先定積分換元，再交換積分次序的方法。

下面分析特殊的情況Z=X+Y，本文參考文獻中的推導過程都是運用方法一，即先求分布函數

接下來，對上述二重積分，先對括號里的定積分做換元u=y+x，再交換積分次序，得到

即學生的處理方法為將聯合密度函數中y用z2x和（z x）/2作替換，則得到上面的結論。本文將在第三節運用二重積分變量代換的方法來證明這兩個結論第一個是正確的，第二個是錯誤的。

2 運用積分區域的轉化解決定積分的計算問題

下面通過具體的實例來說明對于Z=X+Y，如何通過公式中的定積分來求Z的概率密度函數，本例中（X，Y）的聯合概率密度函數為

計算上述定積分，關鍵是確定被積函數何時不為0，設D表示xOz平面內被積函數不為0的區域，則

上述區域D在文獻[5]中稱為X型區域，則D可以寫成兩個Z型區域D1和D2的并集，其中

其他情形下，被積函數恒為0，故概率密度函數為0，即

因此通過把xOz平面的X型區域寫成Z型區域的方式就很容易確定z的取值范圍以及x的積分區間。

3 運用二重積分的變量代換來求解和推導概率密度函數

在這一部分，對于Z=aX+bY，本文將采用二重積分的變量代換的方式，從而避免含參變量的定積分換元。例如對于Z=2X+Y，考慮線性變換

則該線性變換的雅可比行列式為

則

故由第一節的方法二知

但是，當Z=X+2Y時，此時考慮線性變換

與上面的線性變換不同，該線性變換的雅可比行列式為

與之前的情況不同，此時的雅可比行列式不是1，因此在做變量代換的時候，會出現1/|J|，因此

由第一節的方法二可知

故第一節未經嚴格推導，只通過類比得到的兩個結論第一個正確，第二個不正確。

因此，運用二重積分的換元法，可避免含參變量的定積分的換元，對于非數學專業的學生易于理解和掌握。通過二重積分的換元法和第一節的方法二，可用于一般的線性函數Z=aX+bY（a，b0）求解概率密度函數。例如對于Z=2X3Y，考慮線性變換u=x，z=2x3y，則該線性變換的雅可比行列式

則運用第一節的方法二，可以得到

如果聯合概率密度函數已經給出，則利用上面Z的概率密度函數的計算公式，由第二節積分區域從X型區域轉化為Z型區域的方法計算上面的定積分，由此即求出Z的概率密度函數的具體表達式。這樣就完全避免了含參變量積分的定積分換元。另外對于

可用方法二和二重積分的極坐標變換求解。例如

這里積分區域D表示第一象限，用極坐標表示出來，即為

故由第一節的方法二知

4 總結

在概率論中計算積分的時候，與微積分里通常計算的定積分和二重積分不用，積分區間或區域往往不是固定的，帶有一個參數，而被積函數往往是分段或分塊函數，因此積分需要寫成不同的區間或不同的區域上分別積分之和；二重積分交換積分次序以及積分區域的轉化在概率論的計算和推導過程中會經常用到；二重積分的變量代換除了解決前文的相關問題以外，在其他一些重要結論的證明和計算時仍會用到，例如對于二維連續型隨機變量作正交變換，求得到的新的二維隨機變量的聯合概率密度函數。因此，在高等數學（微積分）的教學中，教師可引導學生適當多加強這些知識點的練習，或者在概率論的課程中對這部分高數的內容做一些針對性強化，都將有助于學生更快更好地理解和掌握相關概率論的知識點。