我國數學核心素養研究新進展

【摘 要】 核心素養是2014年以來我國基礎教育課程改革的熱點問題. 當前，以核心素養、學科育人為導向的基礎教育課程體系（包括課程方案、課程標準、教材、高考評價體系等）已基本建立. 數學核心素養的研究取得了從“六核”觀到“三會”觀的新進展，數學核心素養的概念體系基本形成. 今后數學核心素養的研究工作應深化數學核心素養概念體系的科學架構、完善數學核心素養的測評方案、夯實數學核心素養的培養途徑，充分發揮數學的學科價值與育人價值.

【關鍵詞】 數學核心素養；研究進展；六核；三會

核心素養是2014年以來我國基礎教育課程改革的熱點問題. 當前，以核心素養、學科育人為導向的基礎教育課程體系（包括課程方案、課程標準、教材、高考評價體系等）已基本建立，這以2017年版普通高中課程方案及各科課程標準、2019年版中國高考評價體系、2022年版義務教育課程方案及各科課程標準為標志.

具體到數學學科的核心素養，筆者曾在2016年撰文論述了我國數學核心素養的研究進展：從“數學素養”到“數學核心詞”再到“數學核心素養”，該文已被中國知網（CNKI）收錄的文獻引用150余次（截至2022年10月的統計數據）. 經過6年的發展，我國數學核心素養的研究已從“六核”觀進展到“三會”觀，下面論述之.

1 數學核心素養的“六核”觀

1.1 “六核”觀的內容概要

2017年12月頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“2017年版課標”）指出：“學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力. 數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的. 數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 這些數學學科核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體.”

這段引文不僅明確提出了數學核心素養的概念，界定了其內涵，還指出了其外延：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析. 我們稱之為數學核心素養的“六核”觀.

至此，自2014年以來歷時近3年的數學核心素養概念修成正果，基本平息了關于數學核心素養概念的爭論. 數學核心素養的這一概念包括幾個要點：其一，它是數學課程目標的集中體現，這是其“課程”特征；其二，它是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，這是其“學科”和“素養”特征；其三，它是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的，這是其“形成”特征.

1.2 “六核”觀的由來探尋

2017年版課標修訂組組長史寧中教授認為，數學基本思想（抽象、推理、模型）與數學“雙基”“四基”、數學核心素養“六核”觀都是一脈相承的，基于“四基”的數學教學就是基于數學核心素養的數學教學. 相對于我們的數學教育傳統，數學核心素養并沒有另起爐灶，這也是我們一以貫之的事情. 20世紀九十年代，我們國家的數學教學大綱是把數學思想和方法含在數學“雙基”（基礎知識、基本技能）里面的，大綱里有明確的表述；2011年版義務教育數學課程標準開始出現數學“四基”，是把“數學基本思想”從數學“雙基”中單列出來，另加“數學基本活動經驗”，這是對“雙基”的繼承與發展. 數學核心素養“六核”觀中的前三個就是數學基本思想，也是傳承，后三個是傳統的數學能力. 據此，我們可以認為，“六核”觀來源于數學基本思想，數學基本思想是數學核心素養“六核”觀的“基底”.1.3 “六核”觀的模型建構

研究者們嘗試構建了數學核心素養“六核”觀的諸多幾何模型，如三棱臺模型（曹培英，2015）、魔方模型（孫成成、胡典順，2016）、金字塔模型（呂世虎、吳振英，2017）、九宮格模型（寧銳、李昌勇、羅宗緒，2019）等比較有代表性，但大多數模型停留在“閱讀理解”層面，沒有形成強有力的邏輯結構. 究其原因，數學核心素養“六核”觀還缺乏嚴密的實證研究，“六核”之于數學核心素養的完備性（是否足夠）與“六核”之間的純粹性（是否相互獨立或相關）有待考證.1.4 “六核”觀的實證研究

南京師范大學喻平教授在理論分析基礎上，通過實證研究析出數學核心素養的要素，他采用大樣本問卷，對數據進行因素分析和不同的聚類分析，得到數學核心素養的兩種結構. 第一種結構由8個成分組成：數學抽象、運算能力、推理能力、數學建模、數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格. 第二種結構由7個成分組成：數學抽象、運算能力、推理能力、建模與數據處理、空間能力、問題解決能力、數學文化品格. 這一實證工作既佐證了“六核”觀，又對數學核心素養的外延提出了建議：增加“數學文化品格”. 這符合數學核心素養內涵表述中的“情感態度價值觀”.

北京師范大學張淑梅、何雅涵、保繼光等學者的實證研究發現，“六核”之間均具有顯著的相關性，其中邏輯推理與數學運算的相關性最大，并且數學運算對邏輯推理的影響比邏輯推理對數學運算的影響更大. 數學建模與數據分析這兩種素養對其他四種數學素養的依賴程度明顯大于其他四種數學素養對它們的依賴程度. 說明數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算是基本數學素養. 據此可將“六核”分為三類：數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算作為基本數學素養為一類，數學建模與數據分析各成一類. 這一研究工作既佐證了“六核”觀，又對“六核”的相關性、層次性給出了實證.

另外，關于“六核”的測評研究已取得一定成效. 2017年版課標給出的數學核心素養評價標準只是一個描述性的標準，要落實到試題、試卷中，還需要更進一步的細化與完善. 許多研究者參考PISA的測評框架提出不同于課程標準的評價方案，比如以“六核”為一級指標并分解出若干二級指標，或增加若干與“六核”并列的指標（均為一級指標），對中高考試卷或自編測試卷進行編碼、賦值，然后進行內容分析和量化分析，從而開展數學核心素養“六核”的實證研究.

2 數學核心素養的“三會”觀

2.1 “三會”觀的內容概要

2022年4月頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）指出，數學課程要培養的學生核心素養主要包括以下三個方面：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界. 核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現. 小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解. 小學階段核心素養主要表現為：數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識、創新意識. 初中階段核心素養主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識.

這段話在默認、延續2017年版課標數學核心素養概念及其內涵的基礎上，明確提出了數學核心素養的“三會”觀（會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界），并補充說明了小學、初中階段數學核心素養的主要表現（高中階段數學核心素養的主要表現為2017年版課標所給的“六核”，外加應用意識、創新意識）.

至此，歷時近8年（自2014年以來）的數學核心素養概念體系基本建立（如表1），我國數學核心素養的研究從“六核”觀進展到“三會”觀. 表1中，“應用意識”與“創新意識”對應“思維品質表現”的觀點來自北京師范大學曹一鳴教授，“應用意識”與“創新意識”對應“跨學科表現”的觀點來自華東師范大學鮑建生教授.

2.2 “三會”觀的由來探尋

“三會”最初是作為數學教育的終極目標被提出來的. 2017年版課標修訂組組長史寧中教授在2016年4月接受訪談時說：“我們在修訂高中（數學）課標的時候，有人提出了‘數學核心素養的終極目標是什么’這一問題. 我認為不能這么提，數學的核心素養不能是終極目標，不過我們可以討論數學教育的終極目標是什么. 我提出了三個會：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界.”理由是一個人學習數學之后，即便未來從事的工作和數學無關，也應當“三會”. 本質上這“三會”就是數學核心素養，也就是說這“三會”是超越具體數學內容的數學教學目標. 因此，到了2022年版課標，史寧中教授主持的課標修訂組就把數學教育所應形成和發展的核心素養統一表述為“三會”.

2.3 “三會”觀的模型建構

到目前為止，研究者給出的數學核心素養“三會”觀的幾何模型還不多.圖1是中央民族大學孫曉天教授構建的圓環模型，該模型不僅直觀顯示了“三會”居于數學核心素養體系的核心層，環繞核心層的第二層是小學階段核心素養的11種主要表現（初中階段的9種表現、高中階段的8種表現可類似處理），而且還用箭頭動態描繪了以“情境”為載體的“四基”“四能”形成過程（即第三層）. 其中，“四基”是指數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；“四能”是指發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力. 華東師范大學鮑建生教授在多次的公開講座中也構建了類似的幾何模型.

筆者借鑒學者李藝、鐘柏昌的研究給出圖2的圓柱模型，該模型由“四基”“四能”“三精”“三會”構成，數學核心素養貫穿始終，其中“四基”“四能”是核心素養的底座與支撐，“三精”（情感、態度、價值觀）是核心素養的升華，“三會”是核心素養的統領（終極目標）.

這些模型都反映“三會”的達成要以數學具體知識、技能、方法、經驗的教學（即“四基”）為載體，以數學問題解決的能力形成（即“四能”）為依托，從而將“三會”延伸到數學教學的方方面面、數學課堂的角角落落、數學學習的時時刻刻，避免“三會”觀停留在形而上的理論概括層面、脫離數學教學實踐.

2.4 “三會”觀的研究展望

當前，關于“三會”的研究主要停留在思辨層面（比如“三會”何以成為數學核心素養？何為“三會”中的“數學的眼光”？等等），還沒有看到相關的實證研究，期待研究者開展以下三方面的研究.

一是就“三會”內部三要素（數學的眼光、數學的思維、數學的語言）的獨立性（純粹性），以及“三會”外部具體表現（小學9+2種、初中7+2種、高中6+2種，具體見表1）的完備性等問題開展實證研究，從而保障“三會”統領數學核心素養的適切性.

二是以“三會”為一級指標，以“三會”在各學段的具體表現為二級指標，構建行之有效的數學核心素養（學業質量）測評方案，真正實現數學核心素養的可測、可教. 受2022年版課標修訂組另一位組長、北京師范大學曹一鳴教授的研究啟發，筆者嘗試給出以下方案：選取課程內容、核心素養、問題情境、作答水平、題目類型等五個維度構建測評框架模型，如圖3所示（圖中圓點表示各維度二級指標的不同賦值）.

其中，“課程內容”維度劃分為若干個學習主題（具體見數學課程標準中的課程內容），“問題情境”維度劃分為“生活情境”“社會情境”“數學情境”“科學（跨學科）情境”等，“核心素養”維度劃分為若干種具體表現（小學9+2種、初中7+2種、高中6+2種，具體見表1），“題目類型”維度劃分為“選擇題”“填空題”“解答題”等，“作答水平”維度劃分為“不達標準”“達到標準”“超過標準”. 最后，五個維度的分值可通過加權平均等計算方法獲得總分值.

三是夯實數學核心素養的培養途徑，如結構化教學（也稱整體教學、主題教學、大單元教學、大概念教學、大觀念教學等）、綜合與實踐活動、跨學科學習、項目式學習、數學建模等. 所有這些培養路徑都要因地制宜、因材施教，因為人接受教育的過程不是定量發生的物理變化或化學反應過程，它是人的技能、心智、思維、情感等綜合要素的復雜變化過程. 數學核心素養的培養過程要充分彰顯數學的學科價值與育人價值.

以上三點研究展望，在一些數學核心素養研究文獻綜述中已有零星的體現. 數學核心素養與“三會”的研究還沒有抵達終點，“三會”也可能還不是數學核心素養的“終點”，我們需要持續探索下去.

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作者簡介 劉祖希（1980—），男，湖北仙桃人，華東師范大學出版社副編審;新青年數學教師工作室創始人、全國數學科學方法論研究交流中心副秘書長兼學術委員會副主任、中國教育學會青少年創新思維教育分會常務理事、中國數學會數學教育分會中學工作組成員；主要從事數學教育研究與教師培訓，倡導“讓數學教育研究更加平易近人”；主編《當代中國數學教育名家訪談》《新青年教師文庫（數學卷）》《高中數學名師工作室叢書》《高中數學素養養成手冊》等著作，發表文章百余篇.